不等式的常用解法 論文

PAGEPAGE1不等式的常用解法【摘要】1、整式、分式不等式的解法（有理不等式）2、絕對值不等式的解法3、指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的解法4、含參數(shù)的不等式的解法【關(guān)鍵詞】參數(shù)討論被迫考查，比如導(dǎo)數(shù)、函數(shù)等等。下面，筆者總結(jié)了幾種不等式的最常用的解法：例1：高次不等式：解不等式(x23x2)(x2x6)0解：將原不等式變形為：(x1)(x2)(x2)(x0則易求出方程(x2)(x1)(x2)(x0的根為x，并將這些根標(biāo)在數(shù)軸 上 。 這 些 根 將 數(shù) 軸 分 成 了 五 部 分 ， 如 圖 ：在每一部分取一個整數(shù)值，代入（1）中檢驗得：原不等式的解為{x/2x{x/2x例2：分式不等式：解不等式：

x24x1 13x27x22x23x1解： 03x27x2

(2xx0，用例1中的方法，可得下圖(3x1)(x2)原不等式的解集為{x/x1或1x3 2整式不等式和分式不等式的求解過程中，都要用到取整驗證法。但是，在求解過程中，也要注意“重根”的問題。偶數(shù)次“重根”兩側(cè)的符號是相同的！二、絕對值不等式解絕對值不等式的關(guān)鍵是化為等價的不含絕對值符號的不等式(組).主要有以下方法：（1）根據(jù)絕對值的意義去絕對值

|f(x)|a|f(x)a

f(x)a或f(x)f(x)a(a0)2例3、不等式2

xx2x的解集為 2xx2x2x且x0解法一：2x2x 2xx3 0或x

0x3x0x(x1)2x易求得該不等式的解集為|0x

xx12x

x12合到一起，即取并集。例4.若對一切xR,x3x1a都恒成立，試確定a的取值范圍解：（分段討論法）當(dāng)x<-3時，|x3||x1|x3x124當(dāng)3x1時，|x3||x1|4當(dāng)x>1時,

x3x13xx12x24故對一切xR,x3x14,從而a(,4)（數(shù)形結(jié)合）如作出yx3x1的圖象可知此函數(shù)的最小值為４于是a(,4)（3）巧用圖像解不等式2例5：解不等式x2

4x3x2

4x3解：利用圖像變換作出1yx24x31

的圖像（圖象是yx24x3，x軸下方的部分翻折上來）2yx24x32

（圖象當(dāng)x>0的圖象，關(guān)于y軸對稱兩部分組成）如圖：所以該不等式的解集為然后按整式不等式的思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化。絕對值不等式中含有兩個或三個絕對值時，一般利用圖像來分類解決。三、指數(shù)、對數(shù)不等式的解法指數(shù)、對數(shù)不等式的解法通常要利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化成整式不等式來解決。但對數(shù)不等式在轉(zhuǎn)化時，要優(yōu)先考慮定義域。2例6、解不等式：2

32xx

(1)3

x22x52解：原不等式即：32x2

x3

x22x5利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，并化簡得3x2x40(可以分為x0求解）２3x－x40２即(|x||x|0(而|x|0恒成立)3x40

x43x原不等式的解集為/xx

4或x433 3例7、解不等式log

2x2

(3x22x1)1log

2x2

(2x2-1)解：需優(yōu)先考慮定義域①當(dāng)02x211x2或2x12 23x22x12x21

x02x12②當(dāng)2x211，即當(dāng)x>1或x<-1時3x22x12x21

x0x(22指數(shù)、對數(shù)不等式主要是利用指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，在轉(zhuǎn)化過程中要正確使用性質(zhì)，注意等價性，對數(shù)不等式要特別注意定義域，解題過程中涉及分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想。四、含參數(shù)的不等式解法的關(guān)鍵。參數(shù)的討論往往是“被逼迫的”即按照解相應(yīng)不等式的步驟進(jìn)行，參數(shù)會影響其中的某些步驟而被迫討論。例8、解關(guān)于x的不等式：x1ax1ax(a1)0ax1就影響分子方程ax(a1)0“根”的求解）①當(dāng)a=0時，該不等式的解集為：(,1)a1②當(dāng)a0a

與1的大小關(guān)系，故需要再次討論）：a0時，解集為(a1：當(dāng) a當(dāng)a(a1,)a (a1)2

(a1)2x例9、設(shè)A= 2

2 B

x|x2

3(a

1)x

2(3a

1)

，其中aR,若AB，求a的取值范圍．解：=x|2axa2a212a)）不等式x2(a)x2a)0可化為：(x2)[x(3a0分類討論按兩根大小討論：①當(dāng)23a1,即當(dāng)a1時，B/x3x這時A/x 3

x

10B不包含A.9②當(dāng)3a11時，B/2x3a3ABAB

a3③當(dāng)a1時，B/3a1x3 A

B 3a22a2

a綜上所述，a的取值范圍是