數學模型-數學論文指導-傳染病模型1

傳染病模型王秀蓮一、問題在人類的生活中，一直受傳染病的困繞，盡管諸如霍亂、天花等曾經肆虐全球的疾病已經得到有效的控制，但是一些新的、不斷變異著的傳染病卻悄悄向人類襲來，如20世紀80年代開始的十分險惡的愛滋病；21世紀第一個在世界范圍內傳播的SARS（俗稱非典型肺炎）等等，給人們的生命財產帶來極大的危害。長期以來，建立傳染病模型，描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國專家和官員關注的課題。研究傳染病模型，不可能通過實驗獲取數據，而從醫(yī)療部門得到的資料也是不完全和不充分的，同時不同的傳染病的傳播過程各有不同的特點，所以，我們在這里只能是按照機理分析的方法，按一般的傳播機理建立幾種簡單的模型。*機理分析法根據對現(xiàn)實對象特性的認識，分析其因果關系，找出反映內部機理的規(guī)律.１、模型的假設1、在疾病傳播期內，所考察地區(qū)的總人數N不變。人群分為健康人（易感染者Susceptible）和病人（已感染者Infective）。設在t時刻它們所占總人數的比例分別為s（t）和i（t）2、每個病人在t時刻有效接觸的人數為，在較短時間內，可以設為常數（成為日接觸率）。3、在開始時刻病人數為模型1（SI模型）（控制前自然傳播）每個病人每天可使個健康人變?yōu)椴∪?，所以有?/p>

（此模型為阻滯增長

logistic）模型）解此微分方程組得

此式中當時，，說明在不進行控制的情況下，最終所有人全變?yōu)椴∪?。同時由（1）式知，當時，達到最大，這個時刻為這時病人增加得最快，預示著傳染病高潮的到來，是醫(yī)療部門關注的時刻。與成反比。說明的值越大，該地區(qū)的衛(wèi)生水平越高，傳染病高峰期的到來越遲。模型2（SIS模型）（控制后的傳播模型）有些傳染病如傷風、痢疾等，病人治愈后又成為病人，所以應考慮治療情況。設每天治愈的病人數占病人總數的比例為（稱為日治愈率）。顯然，為這種傳染病的平均傳染期。于是模型變?yōu)椋?/p>

（2）此微分方程的解為（3）定義（整個傳染期內每個病人有效接觸的平均人數，稱為接觸數）。此時方程組（2）的第一、二式可以改寫為（4）此時（3）式變?yōu)椋寒敃r，由（4）可以看出，時，達到最大，預示著傳染病高潮的到來；同時當時，病人比例越來小?？梢娛且粋€閾值。模型3（SIR模型）有一些傳染病如天花、肝炎等治愈后具有很強的免疫能力，所以治愈的人既非健康人又非病人，他們已經退出了傳染系統(tǒng)，此時，人群分為三類，健康人、病人和治愈后的移出者。設他們所占總人數的比例分別為s（t）、i（t）、r（t）。又設開始時病人數，移出者數為，于是所建立模型為：方程（5）無法求出相應的解析解，我們利用相軌線討論解的性質。平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域為（5）

若微分方程組其右端的函數不顯含自變量t，稱為一階n維駐定系統(tǒng)(自治系統(tǒng)、動力系統(tǒng)).一般二維駐定系統(tǒng)形式為存在且唯一，則在三維空間(x,y,t)中有且僅有一條解曲線通過點(x0,y0,t0).基本思想將空間曲線投影到平面上進行分析.

定義：稱平面(x,y)為相平面，稱解曲線在相平面上的投影為相軌線，相軌線族稱為相位圖.xyt