和差化積、積化和差、萬(wàn)能公式

正、余弦和差化積公式之南宮幫珍創(chuàng)作指高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的一組恒等式sina+sinB=2sin[(a+B)/2]?cos[(a-B)/2]sina-sinB=2cos[(a+B)/2]?sin[(a-B)/2]cosa+cosB=2cos[(a+B)/2]?cos[(a-B)/2]cosa-cosB=-2sin[(a+B)/2]?sin[(a-B)/2]【注意右式前的負(fù)號(hào)】以上四組公式可以由積化和差公式推導(dǎo)得到證明過(guò)程sina+sinB=2sin[(a+B)/2]?cos[(a-B)/2]的證明過(guò)程因?yàn)閟in(a+B)=sinacosB+cosasinB,sin(a-B)=sinacosB-cosasinB,將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sin(a+B)+sin(a-B)=2sinacosB,設(shè)a+B=0,a-B=6那么a=(0+6)/2,B=(0-6)/2把a(bǔ),B的值代入，即得sin9+sin6=2sin[(0+6)/2]cos[(。-。)/2]編輯本段正切的和差化積tana±tanB=sin(a±B)/(cosa?cosB)(附證明)cota±cotB=sin(B±a)/(sina?sinB)tana+cotB=cos(a-B)/(cosa?sinB)tana-cotB=—cos(a+B)/(cosa?sinB)證明：左邊二tana±tanB=sina/cosa±sinB/cosB二(sina?cosB±cosa?sinB)/(cosa?cosB)二sin(a±B)/(cosa?cosB)二右邊???等式成立編輯本段注意事項(xiàng)在應(yīng)用和差化積時(shí)，必須是一次同名三角函數(shù)方可實(shí)行。若是異名，必須用誘導(dǎo)公式化為同名；若是高次函數(shù)，必須用降冪公式降為一次口訣正加正，正在前，余加余，余并肩正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦反之亦然生動(dòng)的口訣：(和差化積)帥+帥二帥哥帥-帥二哥帥咕+咕二咕咕哥-哥二負(fù)嫂嫂反之亦然編輯本段記憶方法和差化積公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指出了各自的簡(jiǎn)單記憶方法。結(jié)果乘以2這一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的記憶方法是通過(guò)三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是［-1,1］，其積的值域也應(yīng)該是［-1,1］，而和差的值域卻是［-2,2］，因此乘以2是必須的。也可以通過(guò)其證明來(lái)記憶，因?yàn)檎归_(kāi)兩角和差公式后，未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2,如：cos(a-B)—cos(a+B)二［(cosacosB+sinasinB)-(cosacosB-sinasinB)］=2sinasinB故最后需要乘以2。只有同名三角函數(shù)能和差化積無(wú)論是正弦函數(shù)還是余弦函數(shù)，都只有同名三角函數(shù)的和差能夠化為乘積。這一點(diǎn)主要是根據(jù)證明記憶，因?yàn)槿绻皇峭呛瘮?shù)，兩角和差公式展開(kāi)后乘積項(xiàng)的形式都分歧，就不會(huì)出現(xiàn)相抵消和相同的項(xiàng)，也就無(wú)法化簡(jiǎn)下去了。乘積項(xiàng)中的角要除以2在和差化積公式的證明中，必須先把a(bǔ)和B暗示成兩角和差的形式，才干夠展開(kāi)。熟知要使兩個(gè)角的和、差分別等于a和B,這兩個(gè)角應(yīng)該是(a+B)/2和(a-B)/2,也就是乘積項(xiàng)中角的形式。注意和差化積和積化和差的公式中都有一個(gè)“除以2”，但位置分歧；而只有和差化積公式中有“乘以2”。使用哪兩種三角函數(shù)的積這一點(diǎn)較好的記憶方法是拆分成兩點(diǎn)，一是是否同名乘積，二是“半差角”"-8)/2的三角函數(shù)名。是否同名乘積，仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開(kāi)中含有兩對(duì)同名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開(kāi)則是兩對(duì)異名三角函數(shù)的乘積。所以，余弦的和差化作同名三角函數(shù)的乘積;正弦的和差化作異名三角函數(shù)的乘積。(&-8)/2的三角函數(shù)名規(guī)律為：和化為積時(shí)，以cos(a-B)/2的形式出現(xiàn)；反之，以sin(a-B)/2的形式出現(xiàn)。由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。如果要使和化為積，那么a和B調(diào)換位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，也就是若把(&-8)/2替換為(B-a)/2,結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，從而(a-B)/2的形式是cos(a-B)/2；另一種情況可以類似說(shuō)明。余弦-余弦差公式中的順序相反/負(fù)號(hào)這是一個(gè)特殊情況，完全可以死記下來(lái)。當(dāng)然，也有其他方法可以幫忙這種情況的判定，如(0,兀]內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因?yàn)檫@個(gè)區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以當(dāng)a大于B時(shí)，cosa小于cosB。但是這時(shí)對(duì)應(yīng)的(a+B)/2和(a-B)/2在(0,n)的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應(yīng)大于0,所以要么反過(guò)來(lái)把cosB放到cosa前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號(hào)。積化和差公式sinasinB=[cos(a-B)-cos(a+B)]/2(注意:此時(shí)差的余弦在和的余弦前面)或?qū)懽鳎簊inasinB=-[cos(a+B)-cos(a-B)]/2(注意：此時(shí)公式前有負(fù)號(hào))cosacosB=[cos(a-B)+cos(a+B)]/2sinacosB=[sin(a+B)+sin(a-B)]/2cosasinB=[sin(a+B)-sin(a—B)]/2編輯本段證明積化和差恒等式可以通過(guò)展開(kāi)角的和差恒等式的右手端來(lái)證明。即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開(kāi)就能證明：sinasinB=T/2[-2sinasinB]=T/2[(cosacosB-sinasinB)-(cosacosB+sinasinB)]=T/2[cos(a+B)-cos(a-B)]其他的3個(gè)式子也是相同的證明方法。(拜見(jiàn)和差化積)編輯本段作用積化和差公式可以將兩個(gè)三角函數(shù)值的積化為另兩個(gè)三角函數(shù)值的和乘以常數(shù)的形式，所以使用積化和差公式可以達(dá)到降次的效果。在歷史上，對(duì)數(shù)出現(xiàn)之前，積化和差公式被用來(lái)將乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算，運(yùn)算需要利用三角函數(shù)表。運(yùn)算過(guò)程：將兩個(gè)數(shù)通過(guò)乘、除10的方冪化為。到1之間的數(shù)，通過(guò)查表求出對(duì)應(yīng)的反三角函數(shù)值，即將原式化為10力*sinasinB的形式，套用積化和差后再次查表求三角函數(shù)的值，并最后利用加減算出結(jié)果。對(duì)數(shù)出現(xiàn)后，積化和差公式的這個(gè)作用由更加便捷的對(duì)數(shù)取代。編輯本段記憶方法積化和差公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指出了各自的簡(jiǎn)單記憶方法。結(jié)果除以2這一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的記憶方法是通過(guò)三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是［-1,1］，其和差的值域應(yīng)該是［-2,2］，而積的值域確是［-1,1］，因此除以2是必須的。也可以通過(guò)其證明來(lái)記憶，因?yàn)檎归_(kāi)兩角和差公式后，未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2,如：cos(a-B)-cos(a+B)二(cosacosB+sinasinB)-(cosacosB-sinasinB)=2sinasinB故最后需要除以2。使用同名三角函數(shù)的和差無(wú)論乘積項(xiàng)中的三角函數(shù)是否同名，化為和差形式時(shí)，都應(yīng)是同名三角函數(shù)的和差。這一點(diǎn)主要是根據(jù)證明記憶，因?yàn)槿绻皇峭呛瘮?shù)，兩角和差公式展開(kāi)后乘積項(xiàng)的形式都分歧，就不會(huì)出現(xiàn)相抵消和相同的項(xiàng)，也就無(wú)法化簡(jiǎn)下去了。使用哪種三角函數(shù)的和差仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開(kāi)中含有兩對(duì)同名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開(kāi)則是兩對(duì)異名三角函數(shù)的乘積。所以反過(guò)來(lái)，同名三角函數(shù)的乘積，化作余弦的和差；異名三角函數(shù)的乘積，化作正弦的和差。是和還是差？這是積化和差公式的使用中最容易出錯(cuò)的一項(xiàng)。規(guī)律為：“小角”8以cosB的形式出現(xiàn)時(shí)，乘積化為和；反之，則乘積化為差。由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。如果B的形式是cosB,那么若把B替換為-B,結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，也就是含a+B和a-B的兩項(xiàng)調(diào)換位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，從而結(jié)果的形式應(yīng)當(dāng)是和；另一種情況可以類似說(shuō)明。正弦-正弦積公式中的順序相反/負(fù)號(hào)這是一個(gè)特殊情況，完全可以死記下來(lái)。當(dāng)然，也有其他方法可以幫忙這種情況的判定，如[0,n]內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因?yàn)檫@個(gè)區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以cos(a+B)不大于cos(a-B)。但是這時(shí)對(duì)應(yīng)的a和B在[0,n]的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應(yīng)大于等于0，所以要么反過(guò)來(lái)把cos(a-B)放到cos(a+B)前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號(hào)。萬(wàn)能公式【詞語(yǔ)】：萬(wàn)能公式【釋義】：應(yīng)用公式sina=[2tan(a/2)]/{1+[tan(a/2)r2}cosa=[1-tan(a/2廠2]/{1+[tan(a/2)-2}tana=[2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)「2}將sina、cosa、tana代換成tan(a/2)的式子，這種代換稱為萬(wàn)能置換。【推導(dǎo)】：(字符版)sina=2sin(a/2)cos(a/2)=[2sin(a/2)cos(a/2)]/[sin(a/2廠2+cos(a/2廠2]=[2tan(a