安徽省無為縣開城中學高二下學期期中考試數(shù)學（文）試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2012-2013學年安徽省無為縣開城中學高二（下）期中數(shù)學試卷（文科)參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合要求的.1．（5分）若復數(shù)z=3﹣i，則z在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限考點：復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．專題：閱讀型．分析：直接由給出的復數(shù)得到對應點的坐標,則答案可求．解答：解：因為復數(shù)z=3﹣i，所以其對應的點為（3,﹣1)，所以z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限．故選D點評：本題考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)的概念題．2．（5分）按流程圖的程序計算，若開始輸入的值為x=3，則輸出的x的值是（)A．6B．21C．156D．231考點：程序框圖．專題：圖表型．分析：根據(jù)程序可知，輸入x，計算出的值，若≤100,然后再把作為x，輸入，再計算的值,直到＞100，再輸出．解答：解：∵x=3，∴=6，∵6＜100，∴當x=6時,=21＜100，∴當x=21時，=231＞100，停止循環(huán)則最后輸出的結(jié)果是231，故選D．點評：此題考查的知識點是代數(shù)式求值,解答本題的關(guān)鍵就是弄清楚題圖給出的計算程序．3．（5分)用演繹法證明函數(shù)f（x）=x3是增函數(shù)時的小前提是(）A．增函數(shù)的定義B．函數(shù)f（x）=x3滿足增函數(shù)的定義C．若x1＜x2，則f（x1)＜f(x2)D．若x1＜x2，則f（x1）＞f(x2）考點:演繹推理的基本方法．專題：閱讀型．分析：大前提提供了一個一般性的原理，小前提提出了一個特殊對象，兩者聯(lián)系,得出結(jié)論．用演繹法證明y=x3是增函數(shù)時的依據(jù)的原理是增函數(shù)的定義，小前提是一個特殊對象即函數(shù)f（x）=x3滿足增函數(shù)的定義．解答:解：∵證明y=x3是增函數(shù)時，依據(jù)的原理就是增函數(shù)的定義，∴用演繹法證明y=x3是增函數(shù)時的大前提是：增函數(shù)的定義，小前提是函數(shù)f(x)=x3滿足增函數(shù)的定義．結(jié)論：函數(shù)f(x）=x3是增函數(shù)故選B．點評：本題考查對三段論的理解,第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理．三段論式推理，是演繹推理的主要形式．其思維過程大致是：大前提提供了一個一般性的原理,小前提提出了一個特殊對象，兩者聯(lián)系，得出結(jié)論．演繹所得的結(jié)論是蘊涵于前提之中的特殊事實，結(jié)論完全蘊涵于前提之中．4．(5分）用火柴棒擺“金魚”,如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個“金魚"圖需要火柴棒的根數(shù)為(）A．6n﹣2B．8n﹣2C．6n+2D．8n+2考點：歸納推理．專題:規(guī)律型．分析：由圖形間的關(guān)系可以看出，每多出一個小金魚，則要多出6根火柴棒，則組成不同個數(shù)的圖形的火柴棒的個數(shù)組成一個首項是8，公差是6的等差數(shù)列,寫出通項，求出第n項的火柴根數(shù)．解答：解：∵第一個圖中有8根火柴棒組成，第二個圖中有8+6個火柴棒組成，第三個圖中有8+2×6個火柴組成,以此類推組成n個系列正方形形的火柴棒的根數(shù)是8+6(n﹣1）∴第n個圖中的火柴棒有6n+2故選C．點評：本題考查歸納推理，考查等差數(shù)列的通項，解題的關(guān)鍵是看清隨著小金魚的增加，火柴的根數(shù)的變化趨勢，看出規(guī)律．5．（5分)計算的結(jié)果是()A．iB．﹣iC．2D．﹣2考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．專題：計算題．分析：兩個復數(shù)相除,分子和分母同時乘以分母的共軛復數(shù)，運算求得結(jié)果．解答：解:計算===﹣i，故選B．點評：本題主要考查兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題．6．（5分)有下列關(guān)系:①人的年齡與他(她）擁有的財富之間的關(guān)系；②曲線上的點與該點的坐標之間的關(guān)系；③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一種樹木,其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系，其中有相關(guān)關(guān)系的是（）A．①②③B．①②C．②③D．①③④考點：變量間的相關(guān)關(guān)系．專題：閱讀型．分析:相關(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系，是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系，（2）是一種函數(shù)關(guān)系，①③④中的兩個變量具有相關(guān)性．解答：解：∵相關(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系,是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系，(2)是一種函數(shù)關(guān)系,∴具有相關(guān)關(guān)系的有：（1）（3)（4）故選D．點評：判斷兩個變量間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系還是相關(guān)關(guān)系的關(guān)鍵是判斷兩個變量之間的關(guān)系是否是確定的，若確定的則是函數(shù)關(guān)系;若不確定，則是相關(guān)關(guān)系．7．(5分)函數(shù)y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有(）A．極大值5，極小值﹣27B．極大值5，極小值﹣11C．極大值5,無極小值D．極小值﹣27,無極大值考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．專題：計算題．分析：求出y的導函數(shù)得到x=﹣1,x=3(因為﹣2＜x＜2,舍去），討論當x＜﹣1時，y′＞0；當x＞﹣1時，y′＜0,得到函數(shù)極值即可．解答：解:y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，當x＜﹣1時，y′＞0；當x＞﹣1時，y′＜0，當x=﹣1時，y極大值=5；x取不到3，無極小值．故選C點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力．8．（5分）函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．D．（1，+∞）考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：計算題．分析：求出函數(shù)y的導函數(shù)y′,因為要求單調(diào)遞增區(qū)間，令y′＞0得到不等式求出x的范圍即可．解答:解：令故答案為C．點評：考查學生掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力．9．（5分）用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟:①A+B+C=90°+90°+C＞180°,這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾,A=B=90°不成立；②所以一個三角形中不能有兩個直角;③假設(shè)三角形的三個內(nèi)角A、B、C中有兩個直角,不妨設(shè)A=B=90°，正確順序的序號為（)A．①②③B．①③②C．②③①D．③①②考點：反證法與放縮法．分析:根據(jù)反證法的證法步驟知：第一步反設(shè)，假設(shè)三角形的三個內(nèi)角A、B、C中有兩個直角，不妨設(shè)A=B=90°，正確．第二步得出矛盾：A+B+C=90°+90°+C＞180°,這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，A=B=90°不成立；第三步下結(jié)論：所以一個三角形中不能有兩個直角．從而得出正確選項．解答：解：根據(jù)反證法的證法步驟知：假設(shè)三角形的三個內(nèi)角A、B、C中有兩個直角，不妨設(shè)A=B=90°，正確A+B+C=90°+90°+C＞180°,這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，A=B=90°不成立；所以一個三角形中不能有兩個直角．故順序的序號為③①②．故選D．點評:反證法是一種簡明實用的數(shù)學證題方法，也是一種重要的數(shù)學思想．相對于直接證明來講，反證法是一種間接證法．它是數(shù)學學習中一種很重要的證題方法．其實質(zhì)是運用“正難則反"的策略，從否定結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導出矛盾．10．（5分）在獨立性檢驗中，統(tǒng)計量Χ2有兩個臨界值：3.841和6。635．當Χ2＞3。841時，有95％的把握說明兩個事件有關(guān),當Χ2＞6.635時，有99％的把握說明兩個事件有關(guān)，當Χ2≤3.841時,認為兩個事件無關(guān)．在一項打鼾與患心臟病的調(diào)查中,共調(diào)查了2000人，經(jīng)計算Χ2=20。87．根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，認為打鼾與患心臟病之間(）A．有95％的把握認為兩者有關(guān)B．約有95％的打鼾者患心臟病C．有99％的把握認為兩者有關(guān)D．約有99%的打鼾者患心臟病考點:獨立性檢驗的應用．專題：閱讀型．分析：這是一個獨立性檢驗理論分析題，根據(jù)K2的值，同所給的臨界值表中進行比較，可以得到有99％的把握認為打鼾與心臟病有關(guān)．解答：解：∵計算Χ2=20。87．有20.87＞6.635,∵當Χ2＞6。635時，有99%的把握說明兩個事件有關(guān)，故選C．點評:考查獨立性檢驗的應用,是一個典型的問題，注意解題時數(shù)字運算要認真,不要出錯，本題不需要運算直接考查臨界值對應的概率的意義．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在題中橫線上.11．（5分）現(xiàn)有爬行、哺乳、飛行三類動物，其中蛇、地龜屬于爬行動物；河貍、狗屬于哺乳動物；鷹、長尾雀屬于飛行動物，請你把下列結(jié)構(gòu)圖補充完整．考點:繪制結(jié)構(gòu)圖．專題:圖表型．分析：設(shè)計的這個結(jié)構(gòu)圖從整體上要反映數(shù)的結(jié)構(gòu)，從左向右要反映的是要素之間的從屬關(guān)系．在畫結(jié)構(gòu)圖時，應根據(jù)具體需要確定復雜程度．簡潔的結(jié)構(gòu)圖有時能更好地反映主體要素之間的關(guān)系和系統(tǒng)的整體特點．同時,要注意結(jié)構(gòu)圖,通常按照從上到下、從左到右的方向順序表示,各要素間的從屬關(guān)系較多時,常用方向箭頭示意．解答：解：爬行、哺乳、飛行三類動物的組織結(jié)構(gòu)圖為：點評：繪制結(jié)構(gòu)圖時,首先對所畫結(jié)構(gòu)的每一部分有一個深刻的理解，從頭到尾抓住主要脈絡(luò)進行分解．然后將每一部分進行歸納與提煉，形成一個個知識點并逐一寫在矩形框內(nèi)，最后按其內(nèi)在的邏輯順序?qū)⑺鼈兣帕衅饋聿⒂镁€段相連．12．（5分）已知x,y∈R，若xi+2=y﹣i，則x﹣y=﹣3．考點:復數(shù)相等的充要條件．專題：計算題．分析：由條件利用兩個復數(shù)相等的充要條件求出x、y的值，即可求得x﹣y的值．解答：解：若xi+2=y﹣i，則x=﹣1，y=2，∴x﹣y=﹣3，故答案為﹣3．點評：本題主要考查兩個復數(shù)相等的充要條件，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分)函數(shù)y=x2﹣x3的單調(diào)增區(qū)間為（0,），單調(diào)減區(qū)間為(﹣∞，0）和（，+∞）．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題:計算題；導數(shù)的概念及應用．分析：先求導數(shù)y′,然后解不等式y(tǒng)′＞0,y′＜0，可得函數(shù)的增區(qū)間、減區(qū)間．解答：解：y′=2x﹣3x2=﹣x（3x﹣2），由y′＞0,得0＜x＜，由y′＜0，得x＜0或x＞，所以函數(shù)y=x2﹣x3的單調(diào)增區(qū)間為(0，），單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，0)和（，+∞）．故答案為:（0，）;（﹣∞，0)和（，+∞)．點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題，解決該類題目要注意定義域及多個增（減）區(qū)間的表示．14．(5分）觀察下列式子：，，，，…，歸納得出一般規(guī)律為．考點:歸納推理．專題：規(guī)律型．分析：本題考查的知識點是歸納推理，我們可以根據(jù)已知條件中的等式，分析等式兩邊的加數(shù)與式子編號之間的關(guān)系，易得等式左邊的系數(shù)分別為與n+1，等式右邊為n+1，與的和,歸納后即可推斷出第n(n∈N＊)個等式．解答：解:由已知中的式了，我們觀察后分析：等式左邊的系數(shù)分別為與n+1，等式右邊為n+1，與的和,根據(jù)已知可以推斷：第n（n∈N*）個等式為：故答案為：點評:歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想)．15．（5分)對于函數(shù)f(x）=ax3，(a≠0）有以下說法：①x=0是f（x)的極值點．②當a＜0時，f（x）在（﹣∞,+∞)上是減函數(shù)．③f（x）的圖象與(1，f（1））處的切線必相交于另一點．其中說法正確的序號是②．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：①利用函數(shù)的極值點處左右兩側(cè)導數(shù)值異號,即可判斷出x=0不是f(x)的極值點；②由于a＜0時，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞)上恒成立，故得f（x）在（﹣∞，+∞）上的單調(diào)性；③f（x）在（1,f（1））處的切線：y﹣f(1）=f′（1）（x﹣1），聯(lián)立y=ax3,（a≠0）判斷解的個數(shù)，即可判斷③的正誤．解答:解:由于函數(shù)f(x）=ax3，（a≠0），則f′（x）=3ax2①由于f′（x）=3ax2恒為正或恒為負，故x=0不是f（x）的極值點,故①錯誤;②由于a＜0時，f′（x）=3ax2＜0在（﹣∞，+∞）上恒成立，則f（x)在（﹣∞，+∞）上是減函數(shù)，故②正確；③由于f′（x）=3ax2，則f′（1）=3故f（x）在（1，f（1））處的切線方程:y﹣a=3（x﹣1），即：y=3x+a﹣3,聯(lián)立y=ax3，（a≠0)得到ax3=3x+a﹣3，整理得（x﹣1）（ax2+ax+a﹣3)=0若△=a2﹣4a（a﹣3）≥0，則y=3x+a﹣3與y=ax3(a≠0）必有兩個以上的交點；若△=a2﹣4a（a﹣3）＜0,則y=3x+a﹣3與y=ax3（a≠0）只有一個交點（1，f（1））．故③錯誤．故答案為②．點評：本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)上的應用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共4小題，共45分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16．（11分)某種產(chǎn)品的廣告費用支出x（萬元）與銷售額y(萬元)之間有如下的對應數(shù)據(jù)：x24568y3040605070（1）畫出散點圖；（2）求回歸直線方程;（3）據(jù)此估計廣告費用為9萬元時,銷售收入y的值．參考公式：回歸直線的方程=bx+a，其中b==，a=﹣b．考點：可線性化的回歸分析．專題:計算題．分析：(1)畫出坐標系，把所給的五組點的坐標描到坐標系中，作出散點圖．（2）根據(jù)所給的5組數(shù)據(jù)，先求出橫標和縱標的平均數(shù)，利用最小二乘法，做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．（3)把所給的自變量x的值代入直線方程，做出對應的y的值，就是要求的估計廣告費用是9萬元時,銷售收入的值．解答：解：（1）畫出坐標系，把所給的五組點的坐標描到坐標系中，作出散點圖如圖所示:（2）=×（2+4+5+6+8)=5，=×(30+40+60+50+70)=50，=145，=13500，=1380．===6.5，=﹣b=50﹣6。5×5=17。5．因此回歸直線方程為=6.5x+17。5;（3）x=9時，預報y的值為y=9×6。5+17.5=76(萬元）．點評：本題考查可線性化的回歸分析，考查求線性回歸方程，考查畫散點圖，考查求預報值，本題是一個綜合題目，這種題目廣東已經(jīng)作為高考題目出過，要引起同學們注意．17．（11分）如圖：是y=f（x)=x3﹣2x2+3a2x的導函數(shù)y=f’(x）的簡圖，它與x軸的交點是（1,0）和（3，0）（1）求y=f（x）的極小值點和單調(diào)減區(qū)間（2）求實數(shù)a的值．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值;利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：（1）先利用其導函數(shù)f’（x）圖象，判斷導函數(shù)值的正負來求其單調(diào)區(qū)間，進而求得其極值．（注意是在定義域內(nèi)研究其單調(diào)性)（2)由圖知，f’（1)=0且f'（3）=0，代入導函數(shù)解析式得到關(guān)于a的方程,解出即可．解答：解：（1)由f（x）=x3﹣2x2+3a2x的導函數(shù)y=f'（x）的圖象可知:導函數(shù)f’（x）小于0的解集是(1，3）；函數(shù)f（x)=x3﹣2x2+3a2x在x=1，x=3處取得極值，且在x=3的左側(cè)導數(shù)為負右側(cè)導數(shù)為正．即函數(shù)在x=3處取得極小值，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（1，3)．（2)由于f（x）=x3﹣2x2+3a2x的導函數(shù)f'（x）=ax2﹣4x+3a2，又由（1）知，f’（1）=0且f'（3）=0則解得a=1．則實數(shù)a的值為1．點評:本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識，也是教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．18．（11分）設(shè)數(shù)列｛an}的前n項和為Sn,且滿足an=2﹣Sn(n∈N*）．(Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值并猜想這個數(shù)列的通項公式（Ⅱ)證明數(shù)列{an｝是等比數(shù)列．考點：等比關(guān)系的確定；歸納推理．專題：計算題；探究型．分析：（I）由已知中數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，且滿足an=2﹣Sn，我們依次取n=1,2，3，4,即可求出a1，a2,a3,a4的值，然后分析所得前4項，分子和分母的分布規(guī)律，即可推斷出這個數(shù)列的通