第2章空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)清單高二下學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版選擇性

新教材湘教版2019版數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第2章知識(shí)點(diǎn)清單目錄第2章空間向量與立體幾何2.1空間直角坐標(biāo)系2.2空間向量及其運(yùn)算2.3空間向量基本定理及坐標(biāo)表示2.4空間向量在立體幾何中的應(yīng)用第2章空間向量與立體幾何2.1空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系1.空間直角坐標(biāo)系：在空間中任取一點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，作三條兩兩垂直的有向直線Ox，Oy，Oz，在這三條直線上選取共同的長(zhǎng)度單位，分別建立坐標(biāo)軸，依次稱為x軸、y軸、z軸，從而組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.2.相關(guān)概念：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)O叫坐標(biāo)原點(diǎn)，由兩條坐標(biāo)軸確定的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、xOz平面.二、空間點(diǎn)的坐標(biāo)表示1.空間直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)的概念在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，若點(diǎn)P與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)之間為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，此時(shí)，有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)，記作P(x，y，z)，其中x稱為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，y稱為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，z稱為點(diǎn)P的豎坐標(biāo).2.特殊點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，0，0)，x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，0，0)，y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y，0)，z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0，z)，xOy平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y，0)，yOz平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y，z)，xOz平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，0，z).記憶方法：無(wú)誰(shuí)誰(shuí)為0.三、空間兩點(diǎn)間的距離公式1.設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)為空間中任意兩點(diǎn)，則|AB|=(x2.特別地，原點(diǎn)O到空間中任意一點(diǎn)P(x，y，z)的距離為|OP|=x23.線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式已知空間中任意兩點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為x14.三角形重心坐標(biāo)公式已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為x15.空間中的對(duì)稱問(wèn)題在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)P(x，y，z)，則有如下結(jié)論：(1)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是P1(x，y，z)；(2)點(diǎn)P關(guān)于橫軸(x軸)對(duì)稱的點(diǎn)是P2(x，y，z)；(3)點(diǎn)P關(guān)于縱軸(y軸)對(duì)稱的點(diǎn)是P3(x，y，z)；(4)點(diǎn)P關(guān)于豎軸(z軸)對(duì)稱的點(diǎn)是P4(x，y，z)；(5)點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)是P5(x，y，z)；(6)點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對(duì)稱的點(diǎn)是P6(x，y，z)；(7)點(diǎn)P關(guān)于xOz平面對(duì)稱的點(diǎn)是P7(x，y，z).記憶方法：關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱誰(shuí)不變，其余坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù).四、空間直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)的確定1.建立空間直角坐標(biāo)系應(yīng)遵循的原則(1)讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)；(2)充分利用幾何圖形的對(duì)稱性；(3)充分利用圖中已有的垂直關(guān)系.2.確定空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的方法(1)垂面法：找到點(diǎn)P在三條坐標(biāo)軸上的射影.方法是過(guò)點(diǎn)P作三個(gè)平面分別垂直于x

軸、y軸、z軸于A，B，C三點(diǎn)(A，B，C即為點(diǎn)P在三條坐標(biāo)軸上的投影)，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，則(x，y，z)就是點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)垂線法：先將P投射(沿與z軸平行的方向)到xOy平面上的一點(diǎn)P1，由P1P的長(zhǎng)度及其方向確定豎坐標(biāo)z，再在xOy平面上用同平面直角坐標(biāo)系中一樣的方法確定P1的

橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y，最后得出點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y，五、空間兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用1.計(jì)算空間兩點(diǎn)間的距離(1)若兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，則直接代入空間兩點(diǎn)間的距離公式求解.(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)未知，則需利用平面圖形及空間圖形的性質(zhì)結(jié)合空間直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入空間兩點(diǎn)間的距離公式求解.2.利用空間兩點(diǎn)間的距離公式確定點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)間的距離公式構(gòu)造方程求解.此外，要注意點(diǎn)的坐標(biāo)的巧設(shè)，如在x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為(x，0，0)，在xOy平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為(x，y，0).3.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求出三角形的三邊長(zhǎng)，從而判斷三角形的形狀.2.2空間向量及其運(yùn)算一、空間向量的基本概念1.空間向量的基本概念(1)定義：空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量.(2)向量的模：空間向量a的大小(或長(zhǎng)度)稱為a的模，記為|a|.(3)表示：從空間中任意一點(diǎn)A出發(fā)作有向線段AB，使AB的方向與a相同，長(zhǎng)度與|a|相等，則有向線段AB表示向量a，記作a=AB.通常把A稱為向量AB的起點(diǎn)，B稱為向量AB的終點(diǎn).2.幾類特殊的空間向量名稱定義零向量長(zhǎng)度為0的向量相等向量方向相同且長(zhǎng)度相等的向量相反向量方向相反、長(zhǎng)度相等的向量二、空間向量的加減法1.空間向量的加減法法則平面向量求和的三角形法則和平行四邊形法則對(duì)空間向量也成立.(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b，在平面α內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，AC=b，則a+b=OC，ab=BA.(2)對(duì)于空間三個(gè)或更多的向量的求和，與平面內(nèi)多個(gè)向量的加法類似，可將它們依次用首尾相接的折線來(lái)表示，則從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)所得的向量即為這些向量的和向量.2.空間向量的加法運(yùn)算律(1)加法交換律：a+b=b+a.(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).三、向量與實(shí)數(shù)相乘1.向量與實(shí)數(shù)相乘的定義：任何一個(gè)向量a都可看作某平面上的向量，它與實(shí)數(shù)λ相

乘可類比平面向量數(shù)乘的法則進(jìn)行，因而有|λa|=|λ||a|.當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a方向相反.空間向量的加法、減法、數(shù)乘三種運(yùn)算統(tǒng)稱為空間向量的線性運(yùn)算.2.單位向量：長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量.對(duì)于每個(gè)非零向量a，可得到與它方向相同的唯一單位向量e=1|a|a3.共線向量：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(a≠0)，若b=λa，其中λ為實(shí)數(shù)，則b與a共線或平行，記作b∥a.4.零向量與任意向量共線.5.空間向量與實(shí)數(shù)的乘法的運(yùn)算律(1)對(duì)向量加法的分配律：λ(a+b)=λa+λb.(2)對(duì)實(shí)數(shù)加法的分配律：(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a.四、向量的數(shù)量積1.向量的夾角：作OA=a，OB=b，則∠AOB稱為向量a，b的夾角，記作<a，b>，其取值范圍為[0，π].兩向量同向時(shí)，夾角為0；兩向量反向時(shí)，夾角為π.2.向量的數(shù)量積：定義a·b=|a||b|·cos<a，b>為a與b的數(shù)量積.3.零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0·a=0.4.向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)向量垂直的關(guān)系式：a⊥b?a·b=0.注：零向量與任意向量垂直.(2)模長(zhǎng)公式：a·a=|a|2=a2，|a|=a2(3)夾角公式：若a，b均為非零向量，則cos<a，b>=a?b|a||b|5.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).(2)交換律：a·b=b·a.(3)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c.6.向量數(shù)量積的幾何意義(1)投影向量與投影長(zhǎng)：如圖，將空間任意兩個(gè)向量a，b平移到同一個(gè)平面內(nèi)，可得OA=a，OB=b，<a，b>=α，過(guò)點(diǎn)B作BB1⊥OA，垂足為點(diǎn)B1，則OB1為OB在OA方向上的投影向量，投影向量的模|OB1|=|OB||cosα|稱為投影長(zhǎng)，稱|OB|cosα為OB在(2)數(shù)量積的幾何意義：a與b的數(shù)量積等于a的模|a|與b在a方向上的投影|b|·cosα的乘積，也等于b的模|b|與a在b方向上的投影|a|cosα的乘積.五、空間向量的三角不等式1.如果a，b都是空間向量，那么||a||b||≤|a±b|≤|a|+|b|.六、空間向量的線性表示1.空間向量的線性表示的步驟(1)在空間中選三條不在同一個(gè)平面內(nèi)的向量；(2)利用向量的線性運(yùn)算表示空間中的其他向量.七、利用數(shù)量積求距離問(wèn)題1.求解兩點(diǎn)間距離問(wèn)題時(shí)，轉(zhuǎn)化為求以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段表示的向量的模的問(wèn)題，然后將此向量表示為已知的幾個(gè)向量和或差的形式，求出已知向量?jī)蓛芍g的夾角以及它們的模，利用公式|a|=a?a(推廣公式：|a±b|=(a±b八、利用數(shù)量積求解夾角問(wèn)題1.求空間兩個(gè)向量的夾角的方法(1)結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來(lái)求，但要注意向量夾角的范圍；(2)先求a·b，再利用公式cos<a，b>=a?b|a||b|求cos<a，b>，最后確定<a，b>2.求兩條異面直線所成的角的步驟(1)根據(jù)題設(shè)條件在兩條異面直線上分別取一個(gè)有向線段表示的向量；(2)將異面直線所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題；(3)利用向量的數(shù)量積求向量夾角的余弦值；(4)由于異面直線所成的角為銳角或直角，因此向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于異面直線所成的角的余弦值，進(jìn)而求出異面直線所成的角的大小.九、利用數(shù)量積證明兩直線垂直1.由數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?a·b=0可知，要證兩直線垂直，可構(gòu)造與兩直線分別平行的非零向量，然后證明這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可.2.用向量法證明垂直關(guān)系的步驟(1)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)用已知向量表示所證向量；(3)結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證數(shù)量積為0；(4)將向量問(wèn)題回歸到幾何問(wèn)題.2.3空間向量基本定理及坐標(biāo)表示一、共面向量1.共面向量的概念：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫作共面向量.2.平面向量基本定理：如果兩個(gè)向量e1，e2不共線，那么向量p與向量e1，e2共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得p=xe1+ye2.3.相關(guān)結(jié)論：在三個(gè)向量a，b，c中，某個(gè)向量為0，或者某兩個(gè)向量平行，則這三個(gè)向量共面.二、空間向量的基本定理1.設(shè)e1，e2，e3是空間中三個(gè)不共面向量，則空間中任意一個(gè)向量p可以分解成這三

個(gè)向量的實(shí)數(shù)倍之和：p=xe1+ye2+ze3，此表達(dá)式中的系數(shù)x，y，z由p唯一確定，即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3，則x=x'，y=y'，z=z'.2.我們把{e1，e2，e3}稱為空間的一組基，e1，e2，e3叫作基向量，(x，y，z)稱為向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1，e2，e3}下的坐標(biāo).三、空間向量的直角坐標(biāo)表示1.標(biāo)準(zhǔn)正交基：空間任意三個(gè)兩兩垂直、長(zhǎng)度均為1的向量i，j，k不共面，可將它們組成空間的一組基，我們把這組基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.2.向量的坐標(biāo)：空間每個(gè)向量p都可以分解成基向量的實(shí)數(shù)倍之和：p=xi+yj+zk，系數(shù)x，y，z按順序排成的實(shí)數(shù)組(x，y，z)，稱為向量p的坐標(biāo)，記為p=(x，y，z).3.與向量坐標(biāo)有關(guān)的結(jié)論：一個(gè)空間向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，等于表示這

個(gè)空間向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去它的起點(diǎn)的坐標(biāo).四、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則設(shè)a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2).運(yùn)算坐標(biāo)表示加法a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)減法ab=(x1x2，y1y2，z1z2)數(shù)乘λa=(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)數(shù)量積a·b=x1x2+y1y2+z1z22.空間向量常用結(jié)論的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2).結(jié)論坐標(biāo)表示共線a∥b(a≠0)?x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1，λ∈R向量模長(zhǎng)公式|a|=x向量夾角公式cos<a，b>=a?b|a||b|=垂直a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0四、拓展

1.四點(diǎn)共面的充要條件空間中任一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使MP=xMA+yMB，或?qū)臻g中任一點(diǎn)O，有OP=OM+xMA+yMB(或OP=(1xy)·OM+xOA+yOB).2.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)兩點(diǎn)，點(diǎn)M在直線AB上，AM=λMB(λ∈R且λ≠1)則稱點(diǎn)M為有向線段AB的定比分點(diǎn)，其坐標(biāo)為x1五、利用基向量解決幾何問(wèn)題1.用基向量表示向量的步驟(1)定基向量：若未給定基向量，則應(yīng)根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量作為空間的基向量.(2)找目標(biāo)：用已給定或確定好的基向量表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則，結(jié)合相等向量及向量的相關(guān)運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn).(3)下結(jié)論：將變形、化簡(jiǎn)后的目標(biāo)向量進(jìn)行整理，得到最終結(jié)果.注意此結(jié)果中只能含有基向量，不能含有其他形式的向量.六、空間向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用1.利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷向量平行、垂直借助向量的坐標(biāo)，可將向量的平行與垂直問(wèn)題代數(shù)化，即借助代數(shù)運(yùn)算達(dá)到判斷向量平行或垂直的目的.求解此類問(wèn)題要抓住兩個(gè)核心關(guān)系式：(1)a∥b(a≠0)?x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1，λ∈R；(2)a⊥b?x1x2+y1y2+z1z2=0.其中，a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2).2.由平行、垂直求參數(shù)的值利用平行、垂直關(guān)系和上述的兩個(gè)核心關(guān)系式列出方程，即可求出參數(shù)的值.3.利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明線線平行或垂直(1)在兩直線上分別取一個(gè)有向線段表示的向量；(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷兩向量的平行或垂直關(guān)系；(3)若兩向量平行，且兩直線不重合，則兩直線平行；若兩向量垂直，則兩直線垂直.七、利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角和線段的長(zhǎng)1.利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角和線段長(zhǎng)的步驟(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)利用題設(shè)條件寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)利用空間向量的模長(zhǎng)公式與夾角公式求解.2.4空間向量在立體幾何中的應(yīng)用2.4.1空間直線的方向向量和平面的法向量2.4.2空間線面位置關(guān)系的判定一、空間直線的方向向量和平面的法向量1.位置向量：在空間中，取一定點(diǎn)O作為原點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P的位置就可以用向量OP來(lái)表示，OP稱為點(diǎn)P的位置向量.2.直線的方向向量：一般地，如果非零向量v與直線l平行，就稱v為l的方向向量.由此可知，在直線l上任取兩點(diǎn)A，B，則AB(或BA)就是直線l的方向向量.3.平面的法向量：如果非零向量n所在直線與平面α垂直，則稱n為平面α的法向量.二、空間線面位置關(guān)系的判定1.設(shè)空間兩條直線l1，l2的方向向量分別為v1=(x1，y1，z1)，v2=(x2，y2，z2)，兩個(gè)平面α1，α2的法向量分別為n1=(a1，b1，c1)，n2=(a2，b2，c2)，則位置關(guān)系向量表示向量運(yùn)算坐標(biāo)運(yùn)算l1⊥l2v1⊥v2v1·v2=0x1x2+y1y2+z1z2=0l1⊥α1v1∥n1n1=kv1a1=kx1，b1=ky1，c1=kz1，k為非零常數(shù)α1⊥α2n1⊥n2n1·n2=0a1a2+b1b2+c1c2=0l1∥l2v1∥v2v2=kv1x2=kx1，y2=ky1，z2=kz1，k為非零常數(shù)l1∥α1v1⊥n1v1·n1=0x1a1+y1b1+z1c1=0α1∥α2n1∥n2n2=kn1a2=ka1，b2=kb1，c2=kc1，k為非零常數(shù)三、三垂線定理及其逆定理1.點(diǎn)在平面內(nèi)的射影：過(guò)點(diǎn)P作平面α的垂線，則稱垂足P0為點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影.2.三垂線定理：如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它和這條斜線也垂直.可簡(jiǎn)記為：垂直于射影，則垂直于斜線.3.三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它和這條斜線在平面內(nèi)的射影也垂直.可簡(jiǎn)記為：垂直于斜線，則垂直于射影.四、利用空間向量證明垂直關(guān)系1.利用向量法證明線線垂直的兩種思路(1)坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，將兩直線的方向向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，再證明其數(shù)量積為0.(2)基向量法：利用向量的線性運(yùn)算，將要證明的兩條直線的方向向量用基向量表示出來(lái)，再利用數(shù)量積運(yùn)算證明兩方向向量的數(shù)量積為0.2.利用向量法證明線面垂直的兩種思路(1)求平面的法向量，然后證明直線的方向向量與平面的法向量平行.(2)證明直線與平面內(nèi)不共線的兩直線分別垂直，線線垂直則利用向量法證得.3.利用向量法證明面面垂直的兩種思路(1)證明一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為利用向量法證明線線垂直.(2)證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.五、利用空間向量證明平行關(guān)系1.利用向量法證明線線平行的兩種思路(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量平行的坐標(biāo)表示證明兩直線的方向向量平行.(2)用空間的一組基表示兩直線的方向向量，通過(guò)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合向量共線的充要條件證明兩直線的方向向量平行.2.利用向量法證明線面平行的三種思路(1)設(shè)平面α外的直線l的方向向量為v，平面α的法向量為n，要證明l∥α，只需證明v⊥n，即v·n=0即可.(2)根據(jù)線面平行的判定定理，將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，證明線線平行則可轉(zhuǎn)化為證明兩直線的方向向量平行.(3)根據(jù)平面向量基本定理，要證線面平行，則只需證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示即可.3.利用向量法證明面面平行的兩種思路(1)先分別求出兩平面的法向量，再證明兩法向量平行.(2)證明一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)不共線的向量平行于另一個(gè)平面，轉(zhuǎn)化為線面平行問(wèn)題.六、利用空間向量解決立體幾何中的探索性問(wèn)題1.解決探索性問(wèn)題的基本方法(1)對(duì)于存在型問(wèn)題，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作已知條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“是否有解”或“是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”的問(wèn)題.(2)對(duì)于位置探究型問(wèn)題，通常是借助向量，引入?yún)?shù)，綜合已知條件和結(jié)論列方程或方程組，解出參數(shù)，從而確定位置.2.4.3向量與夾角2.4.4向量與距離一、向量與夾角空間角向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩條異面直線所成的角為θ，它們的方向向量分別為v1，v2，則cosθ=|cos<v1，v2>|=|v1?v2||v10，直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為v，平面α的法向量為n，則sinθ=|cos<v，n>|=vθ=<v?

0，兩個(gè)平面所成的角設(shè)平面α，β所成的角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ=|cos<n1，n2>|=|n1?n2||n1?

0，(1)當(dāng)直線與平面平行或直線在平面內(nèi)時(shí)，直線與平面所成的角為0；(2)兩個(gè)平面相交會(huì)形成四個(gè)二面角，二面角的取值范圍為[0，π]，一般規(guī)定較小的二面角為兩個(gè)平面所成的角.兩個(gè)平面平行時(shí)，它們所成的角為0.二、向量與距離空間距離向量求法點(diǎn)到直線的距離設(shè)直線l的方向向量為v，點(diǎn)P為l外一點(diǎn)，點(diǎn)A為l上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到l的距離d=|點(diǎn)到平面的距離設(shè)n為平面α的法向量，點(diǎn)A為平面α內(nèi)任一點(diǎn)，則平面α外任一點(diǎn)P到平面α的距離d=|兩平行線間的距離在平行直線m，n上分別任取一點(diǎn)A，P，設(shè)直線m的方向向量為v，則兩平行線m，n間的距離d=|AP|兩平行平面間的距離在平行平面α，β上各取一點(diǎn)A，B，設(shè)平面