基本不等式(一)

______________________________________________________________________________________________________________精品資料基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)（一）[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解基本不等式的內(nèi)容及證明.2.能熟練運(yùn)用基本不等式來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.3.能初步運(yùn)用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式．知識(shí)點(diǎn)一重要不等式及證明如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”)．請(qǐng)證明此結(jié)論．證明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”．知識(shí)點(diǎn)二基本不等式1．內(nèi)容：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，其中a＞0，b＞0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．2．證明：∵a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2－2eq\r(a)·eq\r(b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.∴a＋b≥2eq\r(ab).∴eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．3．兩種理解：(1)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)：設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)；基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．(2)幾何意義：如圖所示，以長(zhǎng)度為a＋b的線段AB為直徑作圓，在直徑AB上取一點(diǎn)C，使AC＝a，CB＝b，過點(diǎn)C作垂直于直徑AB的弦DD′，連接AD，DB，易證Rt△ACD∽R(shí)t△DCB，則CD2＝CA·CB，即CD＝eq\r(ab).這個(gè)圓的半徑為eq\f(a＋b,2)，顯然它大于或等于CD，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心O重合，即a＝b時(shí)，等號(hào)成立．知識(shí)點(diǎn)三基本不等式的常用推論(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào))；(3)當(dāng)ab>0時(shí)，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；當(dāng)ab<0時(shí)，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≤－2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．題型一利用基本不等式比較大小例1設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)B．a(chǎn)<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a(chǎn)<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b答案B解析方法一∵0<a<b，∴a<eq\f(a＋b,2)<b，排除A、C兩項(xiàng)．又eq\r(ab)－a＝eq\r(a)(eq\r(b)－eq\r(a))>0，即eq\r(ab)>a，排除D項(xiàng)，故選B.方法二取a＝2，b＝8，則eq\r(ab)＝4，eq\f(a＋b,2)＝5，所以a＜eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)＜b.跟蹤訓(xùn)練1若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2＞2ab B．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2答案D解析對(duì)于A，應(yīng)該為a2＋b2≥2ab，漏等號(hào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，ab＞0，但a＋b＜2eq\r(ab)，故B不成立；對(duì)于C，當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，ab＞0，故C不成立；對(duì)于D，∵ab＞0，則eq\f(b,a)＞0且eq\f(a,b)＞0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b時(shí)，取“＝”，故D正確．題型二用基本不等式證明不等式例2已知a，b，c為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.證明eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))＋(eq\f(c,a)＋eq\f(a,c))＋(eq\f(c,b)＋eq\f(b,c))≥3＋2＋2＋2＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,3)時(shí)，等號(hào)成立．跟蹤訓(xùn)練2已知a，b，c為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.證明(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥2eq\r(bc)·2eq\r(ac)·2eq\r(ab)＝8abc.當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝a＝eq\f(1,3)時(shí)，等號(hào)成立．1．若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，則a＋b,2eq\r(ab)，2ab，a2＋b2中最大的一個(gè)是()A．a(chǎn)2＋b2B．2eq\r(ab)C．2abD．a(chǎn)＋b2．設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，且a＋b＝3，則2a＋2b的最小值是()A．6B．4eq\r(2)C．2eq\r(6)D．83．不等式a2＋4≥4a中，等號(hào)成立的條件為________．4．若a＞b＞1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lgeq\f(a＋b,2)，則它們的大小關(guān)系是________．一、選擇題1．給出下列條件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0，其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的條件有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比q≠1，設(shè)P＝eq\f(a3＋a9,2)，Q＝eq\r(a5·a7)，則P與Q的大小關(guān)系是()A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．無(wú)法確定3．a(chǎn)、b∈R，則判斷大小關(guān)系：a2＋b2________2|ab|.()A．≥B．＝C．≤D．＞4．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，則()A．a(chǎn)b≤eq\f(1,2) B．a(chǎn)b≥eq\f(1,2)C．a(chǎn)2＋b2≥2 D．a(chǎn)2＋b2≤35．若2m＋4n＜2eq\r(2)，則點(diǎn)(m，n)必在()A．直線x＋y＝1的左下方B．直線x＋y＝1的右上方C．直線x＋2y＝1的左下方D．直線x＋2y＝1的右上方6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a，b∈(0，＋∞)，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，則A，B，C的大小關(guān)系是()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A7．設(shè)f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f(eq\r(ab))，q＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))，則下列關(guān)系式中正確的是()A．q＝r＜p B．q＝r＞pC．p＝r＜q D．p＝r＞q二、填空題8．設(shè)正數(shù)a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，則eq\f(1,2)logat________logaeq\f(t＋1,2)(填“＞”“≥”“≤”或“＜”)．9．設(shè)a，b為非零實(shí)數(shù)，給出不等式：①eq\f(a2＋b2,2)≥ab；②eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2；③eq\f(a＋b,2)≥eq\f(ab,a＋b)；④eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2.其中恒成立的不等式的是________．10．已知a＞b＞c，則eq\r(a－bb－c)與eq\f(a－c,2)的大小關(guān)系是______________．三、解答題11．已知a，b，c為正數(shù)，證明：eq\f(2b＋3c－a,a)＋eq\f(a＋3c－2b,2b)＋eq\f(a＋2b－3c,3c)≥3.12．已知a，b，c都是非負(fù)實(shí)數(shù)，試比較eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)與eq\r(2)(a＋b＋c)的大?。?3．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求證：loga(ax＋ay)＜eq\f(1,8)＋loga2.當(dāng)堂檢測(cè)答案1．答案D解析∵0＜a＜1,0＜b＜1，a≠b，∴a＋b＞2eq\r(ab)，a2＋b2＞2ab.∴四個(gè)數(shù)中最大的應(yīng)從a＋b，a2＋b2中選擇．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)．又∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴a(a－1)＜0，b(b－1)＜0，∴a2＋b2－(a＋b)＜0，即a2＋b2＜a＋b，∴a＋b最大．故選D.2．答案B解析∵a＋b＝3，∴2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2eq\r(8)＝4eq\r(2).3．答案a＝2解析令a2＋4＝4a，則a2－4a＋4＝0，∴a＝2.4．答案R＞Q＞P解析∵a＞b＞1，∴l(xiāng)ga＞lgb＞0，∴Q＞P，又Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)＝eq\f(1,2)lgab＝lgeq\r(ab)＜lgeq\f(a＋b,2)＝R，∴R＞Q＞P.課時(shí)精練答案一、選擇題1．答案C解析當(dāng)eq\f(b,a)，eq\f(a,b)均為正數(shù)時(shí)，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，故只須a、b同號(hào)即可，∴①③④均可以．2．答案A解析P＝eq\f(a3＋a9,2)＞eq\r(a3·a9)＝eq\r(a5·a7)＝Q.3．答案A解析由基本不等式a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|＝2|ab|，當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|b|時(shí)，等號(hào)成立．4．答案C解析∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.5．答案C解析∵2eq\r(2)＞2m＋4n≥2eq\r(2m·4n)＝2eq\f(m,2)＋n＋1，∴eq\f(m,2)＋n＋1＜eq\f(3,2)，即m＋2n＜1，∴(m，n)在x＋2y＝1的左下方．6．答案A解析eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(2ab,2\r(ab))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，又∵f(x)＝(eq\f(1,2))x為減函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))≥f(eq\r(ab))≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，即C≥B≥A.7．答案C解析∵0＜a＜b，∴eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＞f(eq\r(ab))，即q＞p.又r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))＝eq\f(1,2)(lna＋lnb)＝eq\f(1,2)lna＋eq\f(1,2)lnb＝ln(ab)eq\f(1,2)＝f(eq\r(ab))＝p.故p＝r＜q.選C.二、填空題8．答案≤解析∵a2＋a－2＞0，∴a＞1或a＜－2(舍)，∴y＝logax是增函數(shù)，又eq\f(t＋1,2)≥eq\r(t)，∴l(xiāng)ogaeq\f(t＋1,2)≥logaeq\r(t)＝eq\f(1,2)logat.9．答案①②解析由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正確；eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(2a2＋b2,4)＝eq\f(a2＋b2＋a2＋b2,4)≥eq\f(a2＋b2＋2ab,4)＝eq\f(a＋b2,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，可知②正確；當(dāng)a＝b＝－1時(shí)，不等式的左邊為eq\f(a＋b,2)＝－1，右邊為eq\f(ab,a＋b)＝－eq\f(1,2)，可知③不正確；當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，可知④不正確．10．答案eq\r(a－bb－c)≤eq\f(a－c,2)解析∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴eq\f(a－c,2)＝eq\f(a－b＋b－c,2)≥eq\r(a－bb－c)，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c，即2b＝a＋c時(shí)，等號(hào)成立．三、解答題11．證明左式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＋\f(3c,a)－1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2b)＋\f(3c,2b)－1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3c)＋\f(2b,3c)－1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＋\f(a,2b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,a)＋\f(a,3c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2b)＋\f(2b,3c)))－3≥2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,2b))＋2eq\r(\f(3c,a)·\f(a,3c))＋2eq\r(\f(3c,2b)·\f(2b,3c))－3＝3，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝4b2＝9c2，即a＝2b＝3c時(shí)，等號(hào)成立．12．解對(duì)eq\r(a2＋b2)，eq\r(b2＋c2)，eq\r(c2＋a2)分別利用不等式2(