物理競賽中復(fù)合物理模型的特點(diǎn)及構(gòu)建策略

物理競賽中復(fù)合物理模型的特點(diǎn)及構(gòu)建策略

高中物理競賽的問題相對復(fù)雜。事實(shí)上，這些復(fù)雜的物理比賽問題由簡單的“模型鏈”（也稱為復(fù)合模型）組成。建立復(fù)合物理模型是解決這些問題的關(guān)鍵。本文通過結(jié)合具體教學(xué)實(shí)例就物理競賽中復(fù)合物理模型的特點(diǎn)及構(gòu)建策略談幾點(diǎn)體會。一、物理競賽中復(fù)合運(yùn)動模型的建立物理競賽問題中物體的運(yùn)動性質(zhì)和運(yùn)動軌跡比較復(fù)雜。然而,根據(jù)力和運(yùn)動獨(dú)立作用原理,若把物體所受到力以及運(yùn)動(位移、速度和加速度)進(jìn)行合理、靈活的分解,運(yùn)用等效方法虛擬簡單、熟悉的分運(yùn)動,構(gòu)建復(fù)合運(yùn)動模型,則能把復(fù)雜、陌生的運(yùn)動轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的運(yùn)動的組合。物理競賽中常見的復(fù)合運(yùn)動模型為:①由兩個(gè)勻變速直線運(yùn)動組成的復(fù)合模型;②由勻速(或勻變速)直線和簡諧運(yùn)動組成的復(fù)合模型;③由同一平面內(nèi)勻速直線運(yùn)動和勻速圓周運(yùn)動組成的復(fù)合模型;④由相互垂直的勻速(或勻變速)直線運(yùn)動和勻速圓周運(yùn)動組成的復(fù)合模型;⑤由同一平面內(nèi)的由兩個(gè)相互垂直的簡諧運(yùn)動組成的復(fù)合模型;⑥由同一平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動和簡諧運(yùn)動組成的復(fù)合運(yùn)動模型。1.建立分布于狼與狗的運(yùn)動軌跡方程例1如圖1所示,一只狼沿著半徑為R的圓形島的邊緣按逆時(shí)針方向以v0的速率跑動,當(dāng)狼經(jīng)過A點(diǎn)時(shí),一只狗以相同的速率從圓心出發(fā)追擊狼,設(shè)追擊過程中,狼、狗和0點(diǎn)在任一時(shí)刻均在同一直線上。問:狗沿什么軌跡運(yùn)動?在何處追上狼?分析與解這個(gè)問題中狗的運(yùn)動比較復(fù)雜,直接求解關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)的軌跡方程比較困難,現(xiàn)不妨運(yùn)用力和運(yùn)動獨(dú)立作用原理,對狗的運(yùn)動進(jìn)行合理的分解,構(gòu)建兩個(gè)簡單運(yùn)動組成的重合運(yùn)動模型來等效替代狗的復(fù)雜運(yùn)動,寫出狗運(yùn)動的參數(shù)方程,然后消去參數(shù),求出狗運(yùn)動軌跡方程。具體過程如下:結(jié)合θ=ωt得:因而得狗的軌跡方程為:即為一個(gè)半徑為的圓,在圓形軌道的B點(diǎn)追上狼。2.虛擬材料中利用微分方程知識例2如圖2(a)所示的光滑軌道OCD,位于豎直平面內(nèi),其參數(shù)方程為:x=L(θ-sinθ),y=L(coaθ-1),0≤θ≤2π,L為已知量,若在O點(diǎn)釋放一小球,小球在軌道上沿著軌道運(yùn)動。試求:(1)經(jīng)過多長時(shí)間小球首次到達(dá)最底點(diǎn)C;(2)小球到達(dá)最底點(diǎn)C時(shí)對軌道的壓力為多大?分析與解從合運(yùn)動角度求解時(shí)需運(yùn)用微分方程知識,這對中學(xué)生而言是比較困難的?，F(xiàn)根據(jù)小球運(yùn)動軌跡參數(shù)方程,虛擬小球同時(shí)參與如圖2(b)所示的沿+x軸方向勻速直線運(yùn)動和逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動二個(gè)運(yùn)動,令勻速直線速度為v1,勻速圓周運(yùn)動速度為v2,半徑為R,角速度ω=時(shí)小球位于圓周上P1點(diǎn),經(jīng)t時(shí)間小球位于圓周上P2點(diǎn),圓周運(yùn)動轉(zhuǎn)過的角度為θ=ωt,t時(shí)刻坐標(biāo)為x=v1t-,y=R(cosθ-1),小球運(yùn)動坐標(biāo)與軌道參數(shù)方程的數(shù)學(xué)模型相同,通過比較得,R=L,v1=Rω,v1=v2。當(dāng)θ=π時(shí),小球到達(dá)最低點(diǎn)(從圓周運(yùn)動這一運(yùn)動角度分析小球經(jīng)過半個(gè)圓周到達(dá)最低點(diǎn)),此時(shí)速度為兩分運(yùn)動速度之和(v1+v2=2v1),由機(jī)械能守恒得因而得所需時(shí)間求小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)對軌道壓力Nc時(shí),可以以v1速度勻速運(yùn)動物體為參照系,在此參照系中,小球作速度為v2的勻速圓周運(yùn)動,由圓周運(yùn)動動力學(xué)規(guī)律得:由此得:由上述解答可知,通過虛擬分運(yùn)動,構(gòu)建出勻速直線運(yùn)動和勻速圓周運(yùn)動的復(fù)合模型,順利地解答這個(gè)復(fù)雜的曲線運(yùn)動問題。3.彈簧的運(yùn)動模型例3如圖3所示,一輕質(zhì)彈簧兩端連接質(zhì)量都有為m大小不計(jì)的小球A、B,彈簧的自然長度為L?，F(xiàn)讓此系統(tǒng)自某一高度下落,A在下且離地面高度為h。A與地面發(fā)生彈簧碰撞后離開地面,當(dāng)A第二次接觸地面時(shí),彈性壓縮量第一次為最大。試求:(1)彈簧的勁度系數(shù);(2)當(dāng)A第二次與地面接觸時(shí)的速度。分析與解A與地面相碰前的速度為碰撞后A以v。速度豎直向上運(yùn)動,此時(shí)質(zhì)心的速度為零,在A第二次與地碰撞前,質(zhì)心作自由落體運(yùn)動。現(xiàn)以質(zhì)心為參照系(為非慣性參照系),在質(zhì)心參照系中,A、B所受的重力與慣性力平衡,A、B兩球相對質(zhì)心做簡諧運(yùn)動,因而A球相對地面的運(yùn)動可視為簡諧運(yùn)動和自由落體運(yùn)動的復(fù)合運(yùn)動模型。在質(zhì)心參照系中,A球開始時(shí)處于平衡位置,相對質(zhì)心速度為v0,振幅振動周期為經(jīng)過時(shí),彈簧壓縮量第一次為最大,A球相對質(zhì)心的位移為振幅A0,方向向上。此過程中,A球隨質(zhì)心一起作自由落體運(yùn)動所引起的位移為由題意可知,A球的總位移x=s+A0=0,即得:由此解答A球第二次與地面接觸時(shí)速度即為隨質(zhì)心一起作自由落體分運(yùn)動的速度二、構(gòu)建復(fù)合荷模型物理競賽中常涉及到有關(guān)較復(fù)雜的電荷分布所產(chǎn)生的靜電場問題,運(yùn)用常規(guī)初等物理方法很難解答復(fù)雜電荷產(chǎn)生的電場問題。然而,由電場疊加原理可知,復(fù)雜電場往往由很多簡單、熟悉的電荷產(chǎn)生的電場疊加而成的。因而,在解答這些電場問題時(shí),可以通過微元、對稱、等效、類比等方法來構(gòu)建復(fù)合電荷模型,從而把復(fù)雜電荷問題轉(zhuǎn)化為簡單電荷組成的電場問題,使問題得到順利解答。中學(xué)物理競賽中常見的復(fù)合電荷模型有:①由均勻球面電荷和“鏡像”電荷組成的復(fù)合電荷模型;②由無限大均勻分布的平面電荷和“鏡像”電荷組成的復(fù)合電荷模型;③由均勻球面電荷和無限大均勻平面電荷組成的復(fù)合電荷模型;④由等量異號球形電荷組成的復(fù)合電荷模型;⑤由無限“鏡像”電荷組成的復(fù)合電荷模型。1.導(dǎo)電球上電荷分布非均勻的等效模型例4如圖4(a)所示,金屬導(dǎo)體的半徑為R,帶電量為Q,在距離導(dǎo)體球的球心0點(diǎn)距離為d的P點(diǎn)有一帶電量為q的正電荷。試求:金屬導(dǎo)體對點(diǎn)電荷P的靜電力。分析與解:由于導(dǎo)體球上電荷受到點(diǎn)電荷靜電力作用要發(fā)生移動,因而導(dǎo)體球上電荷分布是非均勻的,不能直接運(yùn)用庫侖定律求解導(dǎo)體球?qū)c(diǎn)電荷的靜電力?，F(xiàn)等效構(gòu)建如圖4(b)所示復(fù)合電荷模型,即把圖4(a)中導(dǎo)體球上非均勻分布的電荷等效為:q在接地導(dǎo)體球產(chǎn)生感應(yīng)電荷Q1(非均勻分布)和均勻分布在導(dǎo)體球面上電荷Q2組合(Q=Q1+Q2),感應(yīng)電荷Q1可以用OP軸線上距離球心為x的鏡像電荷Q1等效。因而,圖4(a)中導(dǎo)體球上非均勻分布電荷Q與圖4b中鏡像電荷Q1、球面上均勻分布電荷Q2在球外空間產(chǎn)生電場等效。運(yùn)用“鏡像法”可以得出則,因而導(dǎo)體球上非均勻分布電荷對點(diǎn)電荷q的靜電力為鏡像電荷Q1和分布均勻球面電荷Q2對q靜電力的合力,即為:2.基于電容的q荷患者電容器例5兩個(gè)半徑相同都為R的導(dǎo)體球相互接觸形成一孤立導(dǎo)體,試求此孤立導(dǎo)體的電容。分析與解如圖5所示,首先在兩球的球心上構(gòu)建一對點(diǎn)電荷q,q點(diǎn)電荷在各自導(dǎo)體球面產(chǎn)生的電勢為U0(U0=),考慮到q電荷在對方導(dǎo)體球面上要產(chǎn)生電勢,為了保持導(dǎo)體球的電勢U0不變,可在對方球內(nèi)構(gòu)建一鏡像電荷q1,q、q1在對方球面上產(chǎn)生電勢為零,設(shè)q1離球心距離為b1,由“鏡像法”可知,q1鏡像電荷又要在對方球面產(chǎn)生電勢,為了抵消這個(gè)電勢,又在對方球內(nèi)構(gòu)建第二個(gè)鏡像電荷q2,同理可得同理可得第三對鏡像電荷的電量以及與球心的距離為:依次類推可得構(gòu)建的第n對鏡像電荷的電量及離球心的距離分別為:最后,兩導(dǎo)體的帶電量為2q和n(n取無窮大)對鏡像電荷電量之和,即:因而得此弧立電容器的電容為三、問題分析和模型構(gòu)建物理競賽問題中常涉及求解非線性元件(電容、電感)的電路中電流變化規(guī)律,在大學(xué)物理中可運(yùn)用有關(guān)的電路知識建立關(guān)于電流的微分方程,通過解微分方程定量地求解回路中電流強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律。在中學(xué)物理競賽中,要求學(xué)生直接運(yùn)用微分方程求解非線性無件中通過電流規(guī)律是比較困難的。然而,根據(jù)電流疊加原理,對于某些特殊的非線性元件電路,可以通過構(gòu)建復(fù)合電流模型,把復(fù)雜電流轉(zhuǎn)化為幾種簡單、熟悉的電流(正弦電流和穩(wěn)定電流)模型的組合,從而能夠運(yùn)用初等物理和數(shù)學(xué)知識巧妙地解答這些復(fù)雜的非線性電路問題。例6如圖6所示,兩個(gè)相同的LC回路相距很遠(yuǎn),己知線圈的自感系數(shù)為L,電容器的電容為C,兩個(gè)回路的電阻為零。開始連接兩個(gè)回路的電鍵S斷開,在第一個(gè)回路中激發(fā)電磁振動,產(chǎn)生正弦交變電流,交變電流的最大值為I0。當(dāng)通過線圈上電流為最大時(shí),S閉合連接兩個(gè)回路。試求此后通過兩個(gè)線圈上電流強(qiáng)度與時(shí)間關(guān)系。分析與解左邊回路線圈中電流為最大時(shí),電容器所帶電量為零。此時(shí)閉合S,線圈L1上部分電流將流向電容器C1對其充電,部分將對右邊電容器C2充電,部分將通過右邊線圈L2。直接定量求解通過兩個(gè)電容器和線圈上電流強(qiáng)度比較復(fù)雜。由于兩個(gè)回路相距很遠(yuǎn),不考慮兩回路相互電磁作用,因而兩回路將發(fā)生獨(dú)立的LC電磁振蕩,存在正弦交變電流成份。由于自感作用,線圈上還存在穩(wěn)定電流成份(電容器上只通過交變電流)。根據(jù)電流線性疊加原理,可以把通過線圈上復(fù)雜電流構(gòu)建成由正弦交變電流和穩(wěn)定電流組成的復(fù)合電流。令兩回路中產(chǎn)生正弦交變電流強(qiáng)度分別為i1=i1mmcos(ωt+Φ),i2=i2mcos(ωt+Φ),其,中通過線圈上穩(wěn)定電流都為i0。根據(jù)基爾霍夫電壓定律,選擇L1SL2L1回路,L1與L2上交變電流的方向相反(圖6),大小滿足:可得出i1m=i2m=im,i1=i2。因而,S上沒有交變電流通過,只通過穩(wěn)定電流i0。兩線圈上通過的總電流強(qiáng)度為正弦交變電流和穩(wěn)定電流線性疊加,即:I1=i0+imcos(ωt+Φ),I2=i0-imcos(ωt+Φ)。根據(jù)初始化條件:t=0時(shí),I1=I0,I2=0,得出:根據(jù)能量守恒,系統(tǒng)在振蕩電流達(dá)最大時(shí)能量(全部