大學(xué)物理上冊(cè)第七章

大學(xué)物理學(xué)第七章氣體動(dòng)理論熱學(xué)〔heat〕是研究物質(zhì)的熱性質(zhì)和分子熱運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及其應(yīng)用的學(xué)科，是物理學(xué)的一個(gè)重要組成局部。根據(jù)對(duì)熱現(xiàn)象研究方法的不同，熱學(xué)又可分為宏觀理論和微觀理論兩局部。微觀模型宏觀熱現(xiàn)象微觀本質(zhì)力學(xué)規(guī)律統(tǒng)計(jì)方法宏觀熱現(xiàn)象宏觀熱現(xiàn)象的規(guī)律觀察實(shí)驗(yàn)邏輯推理微觀理論統(tǒng)計(jì)物理學(xué)宏觀理論熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)平均

描寫(xiě)宏觀物質(zhì)整體特征的量。如體積、溫度、壓強(qiáng)和內(nèi)能等。宏觀量

描寫(xiě)單個(gè)微觀粒子特征的量。如分子質(zhì)量、位置、速度、能量等。微觀量導(dǎo)論7.1氣體動(dòng)理論的基本概念一、物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)模型3、分子力觀點(diǎn)：分子間有相互作用力。當(dāng)時(shí)，分子力主要表現(xiàn)為引力。當(dāng)時(shí)，分子力主要表現(xiàn)為斥力；當(dāng)時(shí)，分子處于平衡狀態(tài)，分子力為零；1、分子、原子觀點(diǎn):宏觀物體由大量微觀粒子〔分子、原子)組成。2、分子運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)：組成物質(zhì)的分子在永不停息地作無(wú)規(guī)那么的熱運(yùn)動(dòng)。二、理想氣體的微觀結(jié)構(gòu)模型與統(tǒng)計(jì)假設(shè)1〕理想氣體分子可視為質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)遵循牛頓運(yùn)動(dòng)定律。2〕理想氣體分子間、分子與器壁間的碰撞是完全彈性的。3〕除碰撞瞬間外，理想氣體分子間無(wú)相互作用。1〕理想氣體分子是均勻分布〔分子數(shù)密度相等〕的。2、統(tǒng)計(jì)假設(shè):〔平衡態(tài)〕2〕在平衡狀態(tài)下，理想氣體分子沿各方向運(yùn)動(dòng)的概率相同。分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的速度分量的各種平均值應(yīng)該相等。分子運(yùn)動(dòng)速度1、理想氣體的微觀結(jié)構(gòu)模型：三、統(tǒng)計(jì)規(guī)律的根本概念1、偶然事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。例：伽爾頓板實(shí)驗(yàn)2、統(tǒng)計(jì)規(guī)律：大量偶然事件的總體所具有的規(guī)律性。

對(duì)單個(gè)小球而言，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律完全是偶然的。大量小球或一個(gè)小球重復(fù)投入許屢次的分布具有必然性；

即系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果，宏觀量與相應(yīng)的微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值有關(guān)。求統(tǒng)計(jì)平均值尋找統(tǒng)計(jì)規(guī)律的方法常見(jiàn)的熱力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)參量是壓強(qiáng)、體積和溫度等。2、狀態(tài)參量壓強(qiáng)p：垂直作用于容器壁單位面積上的壓力?！擦W(xué)描述〕體積V：氣體所能到達(dá)的最大空間。〔幾何描述〕溫度T：描述系統(tǒng)冷熱程度的物理量，標(biāo)志系統(tǒng)內(nèi)局部子無(wú)序運(yùn)動(dòng)的劇烈程度?！矡釋W(xué)描述〕描述熱力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的宏觀物理量，稱為狀態(tài)參量。熱力學(xué)溫標(biāo)T：?jiǎn)挝粸镵〔開(kāi)爾文〕單位：?jiǎn)挝唬簲z氏溫標(biāo)與熱力學(xué)溫標(biāo)的關(guān)系為：攝氏溫標(biāo)t：?jiǎn)挝粸?C〔攝氏度〕。標(biāo)準(zhǔn)大氣壓：3、平衡態(tài)1〕單一性，狀態(tài)參量處處相等。2〕穩(wěn)定性，狀態(tài)參量與時(shí)間無(wú)關(guān)。3〕平衡態(tài)是熱動(dòng)平衡。4、平衡過(guò)程平衡態(tài)可用p-V圖上的一點(diǎn)表示。

在沒(méi)有外界作用的條件下，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間變化的狀態(tài)，稱為平衡態(tài)。

準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程pVOpaVapbVba平衡態(tài)b平衡態(tài)

準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程是無(wú)限緩慢的狀態(tài)變化過(guò)程，是實(shí)際過(guò)程的抽象，是理想的物理模型．

準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程可用p-V圖中的連續(xù)曲線表示。假設(shè)從一個(gè)平衡態(tài)到另一個(gè)平衡態(tài)的過(guò)程中所有狀態(tài)都無(wú)限接近平衡態(tài)，那么此過(guò)程為平衡過(guò)程或稱準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。pVOabpaVapbVb平衡態(tài)平衡態(tài)說(shuō)明五、理想氣體的狀態(tài)方程1mol,

NA=6.023×1023/mol

─阿佛加德羅常數(shù)描述理想氣體在任一平衡態(tài)下各宏觀狀態(tài)量之間的關(guān)系?！?/p>

玻爾茲曼常量7.2理想氣體的壓強(qiáng)和溫度的微觀解釋一、理想氣體的壓強(qiáng)公式及其統(tǒng)計(jì)意義微觀本質(zhì)密集的雨點(diǎn)持續(xù)地傾瀉在傘面上，對(duì)傘面產(chǎn)生一個(gè)持續(xù)的壓力，由此產(chǎn)生作用于傘面上的壓強(qiáng)。容器中數(shù)目巨大的氣體分子頻繁碰撞器壁，會(huì)對(duì)器壁產(chǎn)生持續(xù)的壓力，從而產(chǎn)生器壁上的壓強(qiáng)．壓強(qiáng)：大量分子碰撞器壁單位時(shí)間內(nèi)、作用于器壁單位面積

的平均沖量。大量分子不斷碰撞器壁，對(duì)器壁單位面積的平均沖力。研究對(duì)象：立方容器l1、l2、l3；總分子數(shù)N；分子質(zhì)量為m

。單個(gè)分子遵循力學(xué)規(guī)律分子碰撞A1前后動(dòng)量變化：分子碰撞1次給A1的沖量為：兩次碰撞A1的時(shí)間間隔：?jiǎn)挝粫r(shí)間施予A1的總沖量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)與A

1碰撞的次數(shù)：?jiǎn)挝粫r(shí)間施予A1的平均沖力：N個(gè)分子單位時(shí)間給A1的平均作用力：壓強(qiáng)：又因?yàn)椋涸谄胶鈶B(tài)下，有：故：

大量分子總效應(yīng)：—?dú)怏w分子的平均平動(dòng)動(dòng)能2)p是大量分子碰撞器壁的平均結(jié)果，對(duì)單個(gè)分子或少數(shù)分子，無(wú)壓強(qiáng)可言。

揭示了壓強(qiáng)統(tǒng)計(jì)意義的微觀本質(zhì)。理想氣體的壓強(qiáng)討論二、理想氣體的溫度公式及其微觀意義得則1〕處于平衡態(tài)時(shí)的理想氣體，其分子平均平動(dòng)動(dòng)能與氣體的溫度呈正比。2〕溫度的微觀本質(zhì)是分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度；是表示氣體分子無(wú)規(guī)那么熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的物理量。3〕溫度是大量分子熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，因而溫度對(duì)個(gè)別分子也毫無(wú)意義。由狀態(tài)方程和壓強(qiáng)公式討論三、理想氣體分子的方均根速率是大量分子的速率平方平均值的平方根，稱為方均根速率。在0℃時(shí)，常見(jiàn)的幾種氣體的方均根速率根據(jù)和，可得．氫氣氧氣氮?dú)饪諝鈿怏w

例題1體積為V=1×10-3m3的容器中，貯有的氣體可視為理想氣體，其分子總數(shù)為N=1×1023，每一個(gè)分子的質(zhì)量為m0=5×10-26kg，分子方均根速率為400m/s，試求該理想氣體的壓強(qiáng)、溫度以及氣體分子的總平均平動(dòng)動(dòng)能。解根據(jù)理想氣體的壓強(qiáng)公式有代入數(shù)據(jù)，可得根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，可得氣體分子的總平均平動(dòng)動(dòng)能7.3能量按自由度均分定理理想氣體的內(nèi)能一、自由度1、定義：確定一個(gè)物體空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。用i表示.◆自由運(yùn)動(dòng)剛體的自由度：轉(zhuǎn)軸：2(α，β，γ)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)：1〔θ〕◆質(zhì)點(diǎn)的自由度：空間：3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)質(zhì)心：3〔x，y，z)：t=3平面：2直線：12、氣體分子運(yùn)動(dòng)自由度單原子分子：②剛性多原子分子：i=3+3=6多原子分子：3個(gè)平動(dòng)自由度，

2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。3個(gè)平動(dòng)自由度,i=3①剛性雙原子分子：i=t+r=53個(gè)平動(dòng)自由度，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，復(fù)習(xí)理想氣體的壓強(qiáng)理想氣體的溫度氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能氣體分子運(yùn)動(dòng)自由度單原子分子3個(gè)平動(dòng)自由度,

i=3剛性雙原子分子3個(gè)平動(dòng)自由度，2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。i=t+r=5二、能量按自由度均分定理分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：

氣體處于平衡態(tài)時(shí)，分子任何一個(gè)自由度的平均能量都相等，均為kT/2。推廣：能量按自由度均分原理：對(duì)自由度為i

的分子，其平均總能量應(yīng)為：2〕室溫下只有平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，高溫下才有振動(dòng)。一般不說(shuō)明，都按剛性分子處理，即無(wú)振動(dòng)。3〕該原理也適用于液體和固體。三、理想氣體內(nèi)能E1、一般熱力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)部各種能量的總和。2、理想氣體內(nèi)能：〔假設(shè)無(wú)化學(xué)反響、無(wú)核反響，〕系統(tǒng)內(nèi)能指所有分子的各種形式的動(dòng)能、振動(dòng)勢(shì)能和分子間勢(shì)能的總和。理想氣體〔剛性分子〕的內(nèi)能，是系統(tǒng)內(nèi)全局部子的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。1〕能量按自由度均分定理是關(guān)于分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)單個(gè)分子無(wú)意義。說(shuō)明每個(gè)分子的平均動(dòng)能1mol理想氣體的內(nèi)能νmol理想氣體的內(nèi)能1mol理想氣體的內(nèi)能i=6i=5i=3自由度剛性多原子剛性雙原子單原子當(dāng)溫度發(fā)生微小變化dT時(shí)，內(nèi)能的變化為：當(dāng)溫度由T變到T+△T，那么

例題1

1mol氦氣與2mol氧氣在室溫下混合，試求當(dāng)溫度由27oC升為30oC時(shí)，該系統(tǒng)的內(nèi)能增量。解由內(nèi)能公式對(duì)氦氣i=3,對(duì)氧氣i=5那么內(nèi)能為：內(nèi)能的增量為：7.4麥克斯韋分布律

在平衡態(tài)下，氣體分子速率的大小各不相同。由于分子的數(shù)目巨大（共有N個(gè)分子），速率可以看作在0～之間連續(xù)分布的。將的速率區(qū)間劃分成一系列等間距的小區(qū)間。：分子總數(shù)

?

N：速率在v~v+

?

v區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。一、速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)表示速率在區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.

表示在溫度為T(mén)

的平衡態(tài)下，速率在v

附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比。

單個(gè)分子來(lái)說(shuō)，表示單個(gè)分子的速率出現(xiàn)在v值附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率，即概率密度。表示速率在v~v+

?

v區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。物理意義二、麥克斯韋速率分布律—麥克斯韋速率分布函數(shù)速率分布在區(qū)間v~v+dv的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為：1859年，麥克斯韋首先從理論上導(dǎo)出了平衡態(tài)下理想氣體分子速率分布函數(shù)的數(shù)學(xué)形式：—麥克斯韋速率分布律對(duì)于任意一個(gè)以v為變量的物理量A=A〔v〕，其統(tǒng)計(jì)平均值等于系統(tǒng)處于各個(gè)可能狀態(tài)的概率與相應(yīng)的A〔v〕乘積的總和。

由概率論可知——求解與分子速率相關(guān)的各種物理量的統(tǒng)計(jì)平均值的根本關(guān)系式．例：—分子的平均平動(dòng)動(dòng)能—分子的平均速率麥克斯韋速率分布曲線曲線從原點(diǎn)出發(fā)，隨著速率增大而上升，在速率較小時(shí)上升較陡；到達(dá)極大值后，又隨著速率的增大而緩慢下降，并逐漸接近于橫坐標(biāo)軸。這說(shuō)明氣體分子的速率可以取大于零的一切可能有限值，但處于不同的速率區(qū)間的分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比例是不同的，速率很大和速率很小的分子，其概率都很小，而具有中等速率的分子，其概率卻很大。麥克斯韋速率分布曲線1〕速率在v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率：由速率分布曲線可得到2〕速率在v~v+dv區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比：〔曲線下窄條的面積〕麥克斯韋速率分布曲線3〕速率在v1~v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比：〔v1→v2區(qū)間內(nèi)曲線下的面積〕4〕總面積：歸一化條件：三、三種統(tǒng)計(jì)速率①平均速率：大量氣體分子的速率的平均值。②方均根速率：

在研究氣體分子的碰撞頻率的問(wèn)題時(shí)，要用到平均速率。在討論分子無(wú)規(guī)那么熱運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)，要用到方均根速率。是大量分子的速率平方平均值的平方根。三種速率的比較：③最概然速率(最可幾速率)vp與分子速率分布函數(shù)曲線的極大值所對(duì)應(yīng)的速率。vP附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)的比率最大。在討論分子按速率的分布狀況時(shí)要用到最概然速率。f(v)與T和m

的關(guān)系當(dāng)T升高時(shí),速率分布曲線的峰值點(diǎn)向右下移,分布變平坦.當(dāng)m減小時(shí)，速率分布曲線的峰值點(diǎn)向右下移，分布變平坦.

N2分子在不同溫度下的速率分布同一溫度下不同氣體的速率分布四、麥克斯韋速度分布律——麥克斯韋速度分布函數(shù)

在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子之間的相互作用可忽略時(shí)，速度區(qū)間，即速度分量vx在區(qū)間vx~vx+dvx，vy

在區(qū)間vy~vy+dvy，vz在區(qū)間vz~vz+dvz內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為：例題1假設(shè)某種氣體在溫度T1=300K時(shí)的方均根速率等于溫度為T(mén)2時(shí)的平均速率，求T2=？解常溫下氣體可看作理想氣體，而方均根速率和平均速率分別為由已知條件得：例題2

有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為（1）畫(huà)出速率分布曲線；（2）由N和v0求常數(shù)c；（3）求粒子的平均速率。解〔1〕速率分布曲線如右圖所示?！?〕速率分布函數(shù)必須滿足歸一化條件，即（3）7.5玻耳茲曼分布律一、重力場(chǎng)中粒子按高度的分布設(shè)平衡氣體壓強(qiáng)隨高度變化的函數(shù)為p=p〔z〕在氣體中取一柱體，面積，高度為dz。無(wú)外場(chǎng)—?dú)怏w的密度在空間分布均勻。有外場(chǎng)—?dú)怏w的密度在空間分布不均勻。討論：平衡氣體在重力場(chǎng)中分子數(shù)密度隨高度的變化。氣柱上下端面所受壓力分別為:氣柱的質(zhì)量：氣柱上下端面所受壓力差與氣柱所受重力相等整理得：由狀態(tài)方程

假定在z=0處的分子數(shù)密度n0，積分上式可得任一高度z處的分子數(shù)密度n：由上式可得高度z

處氣體的壓強(qiáng)為：等溫氣壓公式用它可近似估算大氣壓強(qiáng)隨高度的變化假設(shè)測(cè)知地面處的壓強(qiáng)及所在處的大氣壓強(qiáng)和溫度，可估算所在處的高度。二、玻耳茲曼分布律重力場(chǎng)中在其他外場(chǎng)的情況如何？玻耳茲曼密度分布律麥克斯韋速度分布律描繪分子在位形空間的分布描繪分子在速度空間的分布動(dòng)能+勢(shì)能=能量描繪分子按能量的分布規(guī)律

—玻耳茲曼能量分布律

從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來(lái)看，分子總是處于低能狀態(tài)的概率大些，而處于高能狀態(tài)的概率小些。7.6氣體分子的平均碰撞頻率和平均自由程一、分子的平均碰撞頻率d稱為分子的有效直徑，數(shù)量級(jí)為10-10m。分子在運(yùn)動(dòng)中相互靠近，并在分子力作用下發(fā)生短時(shí)間相互作用。假設(shè)用d表示兩個(gè)分子質(zhì)心距離的平均值，分子的碰撞相當(dāng)于兩個(gè)直徑為d的彈性球相碰撞。1、分子碰撞實(shí)質(zhì)2、分子的平均碰撞頻率平均碰撞頻率：一個(gè)分子在單位時(shí)間內(nèi)與其它分子碰撞的平均次數(shù)稱為分子的平均碰撞頻率，3〕兩個(gè)分子碰撞等效于兩個(gè)直徑為分子有效直徑d的彈性球相碰撞。

1）假設(shè)其它分子都不動(dòng)，只有一個(gè)分子A以平均相對(duì)速率運(yùn)動(dòng)。2〕分子A與其它分子碰撞