2022新教材高中數(shù)學(xué)課時檢測9一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系新人教B版必修第一冊

一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系[A級基礎(chǔ)鞏固]1．一元二次方程x2＝3x的解集是()A．{0}B．{3}C．{－3}D．{0，3}解析：選D∵x2＝3x，∴x2－3x＝0，∴x(x－3)＝0，解得x＝0，x＝3，故選D.122．用配方法解下列方程，配方正確的是()A．2y2－4y－4＝0可化為(y－1)2＝4B．x2－2x－9＝0可化為(x－1)2＝8C．x2＋8x－9＝0可化為(x＋4)2＝16D．x2－4x＝0可化為(x－2)2＝4解析：選DA項：2y2－4y－4＝0可化為(y－1)2＝3，故A錯誤；B項：x2－2x－9＝0可化為(x－1)2＝10，故B錯誤；C項：x2＋8x－9＝0可化為(x＋4)2＝25，故C錯誤；D項：x2－4x＝0可化為(x－2)2＝4，故D正確．故選D.3．一元二次方程x2＋6x＋9＝0的解集情況是()A．只有一個元素B．有兩個元素C．為空集D．不能確定有幾個元素解析：選A∵Δ＝62－4×1×9＝根，故選A.4．關(guān)于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的兩個值為()A．2C．10，∴一元二次方程x2＋6x＋9＝0有兩個相等的實數(shù)實數(shù)根互為相反數(shù)，則a的B．0D．2或0解析：選B設(shè)方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0兩根為x，x，12由題意知，x＋x＝0，12即－(a2－2a)＝0，解得a＝0或a＝2，又∵xx＝a－1≤0，∴a≤1.故選B.12實數(shù)根5．若關(guān)于x的方程x2＋2(k＋2)x＋k2＝0的兩個之和大于－4，則k的取值范圍是()A．(－1，＋∞)C．(－1，0)B．(－∞，0)D．[－1，0)解析：選D設(shè)關(guān)于x的方程x2＋2(k＋2)x＋k2＝0的兩個實數(shù)根為a，b，由根與系數(shù)2（k＋2）的關(guān)系得a＋b＝－＝－(2k＋4)．11∵關(guān)于x的方程x2＋2(k＋2)x＋k2＝0的兩個實數(shù)根之和大于－4，∴－(2k＋4)>－4，∴k<0.由Δ＝[2(k＋2)]2－4×1·k2＝16(k＋1)≥0，解得k≥－1，即k的取值范圍是[－1，0)．故選D.6．若方程x2－mx＋m－1＝0的一個實數(shù)根為2，則方程的另一個實數(shù)根為________．解析：設(shè)另一個根為a.根據(jù)題意可得a＋2＝m，2a＝m－1，∴a＋2＝2a＋1，∴a＝1，∴另一個根為1.答案：17．在解方程x2＋px＋q＝0時，甲同學(xué)看錯了p，解得方程的根為x＝1，x＝－3；乙12同學(xué)看錯了q，解得方程的根為x＝4，x＝－2，則方程中的p＝________，q＝________．12解析：甲同學(xué)看錯了p，但沒有看錯q，乙同學(xué)看錯了q，但沒有看錯p，所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得q＝(－3)×1＝－3，p＝－(－2＋4)＝－2.答案：－2－38．已知關(guān)于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3，1}，則關(guān)于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是________．解析：把后面一個方程m(x＋a－2)2＋n＝0中的x－2看作整體，相當(dāng)于前面一個方程中的x.∵關(guān)于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3，1}，∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可變形為m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3.∴關(guān)于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1，3}．答案：{－1，3}9．若關(guān)于x的方程x2＋2x－m＋1＝0沒有實數(shù)根，試說明關(guān)于x的方程x2＋mx＋12m＝1一定有實數(shù)根．解：∵方程x2＋2x－m＋1＝0沒有實數(shù)根，∴此方程的判別式Δ＝22－4×1×(－m＋1)<0，解得m<0.而方程x2＋mx＋12m＝1的根的判別式Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4，∵m<0，∴m2>0，－48m>0.∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0，∴方程x2＋mx＋12m＝1有兩個不等的實數(shù)根，即一定有實數(shù)根．10．已知一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程x2－4x＋k＝0與x2＋mx－1＝0有一2

個相同的根，求此時m的值．解：(1)由一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有兩個不相等的實數(shù)根，得Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4k＞0，解得k＜4.(2)由k是符合條件的最大整數(shù)，得k＝3，∴一元二次方程為x2－4x＋3＝0，解得x＝1，x＝3.12∵一元二次方程x2－4x＋k＝0與x2＋mx－1＝0有一個相同的根，∴當(dāng)x＝1時，把x＝1代入x2＋mx－1＝0，得1＋m－1＝0，解得m＝0；當(dāng)x＝3時，把x＝3代入x2＋mx－1＝0，8得9＋3m－1＝0，解得m＝－3.8綜上，m＝0或m＝－.3[B級綜合運用]11．若a，b，c為△ABC的三邊長，且關(guān)于x的一元二次方程(c－b)x2＋22(b－a)x＋2(a－b)＝0有兩個相等的實數(shù)根，則這個三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．不等邊三角形解析：選A根據(jù)題意，得Δ＝[22(b－a)]2－4(c－b)·2(a－b)＝0，(a－b)(a－b－c＋b)＝0，所以a－b＝0或a－c＝0，所以a＝b或a＝c，又c－b≠0，c≠b，所以這個三角形為等腰三角形．12．已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的兩實數(shù)根，則(m＋2)(n＋2)的最A(yù)．7C．12小值是()B．11D．16解析：選D∵m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的兩實數(shù)根，系，得m＋n＝2t，mn＝t2－2t＋4，∴由根與系數(shù)的關(guān)∴(m＋2)(n＋2)＝mn＋2(m＋n)＋4＝t2＋2t＋8＝(t＋1)2＋7.∵方程有兩個實數(shù)根，∴Δ＝(－2t)2－4(t2－2t＋4)＝8t－16≥0，∴t≥2.3∴(t＋1)2＋7≥(2＋1)2＋7＝16，即(m＋2)(n＋2)的最小值是16.13．已知關(guān)于x的方程k2x2＋2(k－1)x＋1＝0有實數(shù)根．(1)實數(shù)k的取值范圍為________；(2)如果這個方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和的平方等于8，則實數(shù)k的值為________．1解析：(1)當(dāng)k＝0時，方程為－2x＋1＝0，解得x＝，符合題意；21當(dāng)k≠0時，Δ＝[2(k－1)]2－4k2＝－8k＋4≥0，解得k≤2.1綜上，當(dāng)k≤時，方程有實數(shù)根．2(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根為x，x，122（k－1）k21k2則x＋x＝－，xx＝，121222＋2xx11所以＋＝＝[－2(k－1)]2＝8，解得k＝1＋2或k＝1－2，1xxxx12121由(1)知當(dāng)方程有兩個實數(shù)根時，k≤，且k≠0，所以k＝1－2.21答案：(1)k≤(2)1－2214．已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.(1)若該方程有兩個實數(shù)根，求m的最小整數(shù)值；(2)若方程的兩個實數(shù)根為x，x，且(x－x)2＋m2＝21，求m的值．1212解：(1)根據(jù)題意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，9解得m≥－4.∴m的最小整數(shù)值為－2.(2)根據(jù)題意，得x＋x＝－(2m＋1)，xx＝m2－2.1212∵(x－x)2＋m2＝21，12∴(x＋x)2－4xx＋m2＝21，1212∴[－(2m＋1)]2－4(m2－2)＋m2＝21，整理，得m2＋4m－12＝0.解得m＝2，m＝－6.129由(1)可知m≥－，4∴m的值為2.[C級拓展探究]15．在學(xué)習(xí)解一元二次方程之后，對于某些不是一元二次方程的方程，我們也可通過變4形將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程來解．例如：方程：x2－3|x|＋2＝0.其解法為：設(shè)|x|＝y(tǒng)，則原方程可化為：y2－3y＋2＝0(y≥0)．解得：y＝1，y＝2.12當(dāng)y＝1時，|x|＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝2時，|x|＝2，∴x＝±2.∴原方程的解是：x＝1，x＝－1，x＝2，x＝－2.1234上述解方程的方法叫做“換元法”．請用“換元法”解決下列問題：(1)解方程：x4－10x2＋9＝0；1x23x1x(2)若實數(shù)x滿足x2＋－3x－＝2，求x＋的值．解：(1)設(shè)x2＝a，則原方程可化為a2－10a＋9＝0(a≥0)，即(a