中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題03 鉛筆頭模型與鋸齒模型（解析版）

專題03鉛筆頭模型與鋸齒模型基礎(chǔ)知識(shí)回顧1）平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；幾何符號(hào)語言：∵AB∥CD∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；幾何符號(hào)語言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).。幾何符號(hào)語言：∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）2）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°三角形外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。二、模型的概述：模型一：鉛筆頭模型【鉛筆頭模型基礎(chǔ)】已知AB∥DE，結(jié)論：∠B+∠C+∠E=360°證明1：過點(diǎn)C作CK∥AB（見拐點(diǎn)作平行線）∵AB∥DE∴AB∥DE∥CK∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180°而∠C=∠1+∠2∴∠B+∠C+∠E=360°證明2：連接BE∵AB∥DE∴∠ABE+∠BED=180°而∠CBE+∠C+∠BEC=180°∴∠ABC+∠C+∠DEC=∠ABE+∠CBE+∠C+∠BED+∠BEC=360°證明3：延長射線DE和射線BC，相交于點(diǎn)K∵AB∥DE∴∠B+∠K=180°即∠K=180°-∠B∵∠DEC+∠CEK=180°即∠CEK=180°-∠DEC則∠BCE=∠K+∠CEK=180°-∠B+180°-∠DEC=360°-∠B-∠DEC即∠BCE+∠B+∠DEC=360°【鉛筆頭模型變形】變式一：已知AB∥DE，則∠B+∠M+∠N+∠E=540°證明：分別過點(diǎn)M、點(diǎn)N作OM∥AB,PN∥DE∵AB∥DE∴AB∥DE∥OM∥PN∴∠B+∠1=180°①，∠2+∠3=180°②，∠E+∠4=180°③①+②+③得，∠B+∠1+∠2+∠3+∠4+∠E=540°，則∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540°變式二：若a∥b，則∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐點(diǎn)數(shù)+1）模型二：鋸齒模型【鋸齒模型基礎(chǔ)】已知AB∥DE，則∠B+∠E=∠C證明：過點(diǎn)C作CK∥AB∵AB∥DE∴AB∥DE∥CK∴∠B=∠1①，∠E=∠2②①+②得∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C【試一試】嘗試用三角形內(nèi)角與外角相關(guān)知識(shí)證明?！句忼X模型變形】變式一：已知AB∥DE，則∠B+∠M+∠E=∠C+∠N證明：分別過點(diǎn)C，點(diǎn)M，點(diǎn)N分別作CO∥AB，PM∥AB，NQ∥AB∵AB∥DE∴AB∥DE∥CO∥PM∥NQ∴∠B=∠1①，∠3=∠2②，∠4=∠5③，∠E=∠6④①+②+③+④得∠B+∠3+∠4+∠E=∠1+∠2+∠5+∠6即∠B+∠M+∠E=∠C+∠N變式二：若a∥b，則所有朝左角之和等于所有朝右角的和?！净A(chǔ)過關(guān)練】1．如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．5°【答案】B【分析】作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，從而可得∠BCE的度數(shù)，本題得以解決．【詳解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．2．如圖，兩直線、平行，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】分別過E點(diǎn),F點(diǎn),G點(diǎn),H點(diǎn)作L1,L2,L3,L4平行于AB觀察圖形可知，圖中有5組同旁內(nèi)角，則故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵3．一大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于點(diǎn)A，CD平行于地面AE，則∠ABC＋∠BCD＝_____．【答案】270°【分析】過B作BF∥AE，則CD∥BF∥AE．根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】過B作BF∥AE，∵CD∥AE，則CD∥BF∥AE，∴∠BCD+∠1=180°，又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．故答案為：270．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．【答案】540【分析】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可作答．【詳解】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，如圖，∵，，，∴，，∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案為：540．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．構(gòu)造輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．5．如圖，若，則，你能說明為什么嗎？【答案】見解析【分析】過作，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等來證明．【詳解】解：過作，則，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是過點(diǎn)作的平行線，利用平行線的性質(zhì)來證明．6．如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【分析】（1）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得答案；（2）過點(diǎn)E作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖1，同理可得答案；（3）過點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成3個(gè)圖1，可得答案；（4）由（2）（3）類比可得答案．【詳解】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．故答案為：180°；（2）如圖2，過點(diǎn)E作AB的平行線EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如圖3，過點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，類比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案為：540°；（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，故答案為：（n-1）×180°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．7．（1）如圖1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接寫出結(jié)果）（2）如圖2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接寫出結(jié)果）（3）如圖3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接寫出結(jié)果）（4）如圖4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180°【分析】（1）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；（2）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，過點(diǎn)A3作A3C∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；（4）根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：（1）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，∵l1∥l2，∴A2B∥l1∥l2，∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A3+∠A3A2B=180°，∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝∠A1+∠A1A2B+∠A3+∠A3A2B=180°+180°=360°，故答案是：360°；（2）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，過點(diǎn)A3作A3C∥l1，∵l1∥l2，∴A3C∥A2B∥l1∥l2，∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A4+∠A4A3B=180°，∠BA2A3+∠CA3A2=180°，∴∠A1+∠A1A2A3+∠A2A3A4+∠A4＝∠A1+∠A1A2B+∠A4+∠A4A3B+∠BA2A3+∠CA3A2=180°+180°+180°=540°，故答案是：540°；（3）同理可得：∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°+180°+180°+180°=720°，故答案是：720°；（4）同理可得：∠A1+∠A2+…+∠An＝（n-1）180°，故答案是：（n-1）180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造平行線，是解題的關(guān)鍵．【提高測試】1．如圖，∠BCD＝90°，AB∥DE，則α與β一定滿足的等式是（）A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°【答案】D【分析】過C作CF∥AB，根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行得到AB∥DE∥CF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到作差即可．【詳解】詳：過C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∴故選：D．【點(diǎn)睛】考查平行公理已經(jīng)平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，作出輔助線．2．如圖，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線交于點(diǎn)F，則∠DFB=（）A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°【答案】B【分析】過點(diǎn)E作EG∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°”，根據(jù)角的計(jì)算以及角平分線的定義可得“∠FBE+∠EDF=∠ABE+∠CDE）”，再依據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°結(jié)合角的計(jì)算即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，過點(diǎn)E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GE，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；又∵∠BED=61°，∴∠ABE+∠CDE=299°．∵∠ABE和∠CDE的平分線相交于F，∴∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=149.5°，∵四邊形的BFDE的內(nèi)角和為360°，∴∠BFD=360°-149.5°-61°=149.5°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及四邊形內(nèi)角和為360°，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵．3．如圖所示，如果AB∥CD，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系為（

）A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[【答案】C【分析】過E作EF∥AB，由平行線的質(zhì)可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．【詳解】解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠β=∠AEF+∠FED，又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β-∠γ=180°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．4．問題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．小明的思路是過點(diǎn)作，通過平行線性質(zhì)來求．（1）按照小明的思路，寫出推算過程，求的度數(shù)．（2）問題遷移：如圖2，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，記，，當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問與、之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，請直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）108°；（2）∠APC=α+β，理由見解析；（3）∠APC=β-α．【分析】（1）過P作PE∥AB，先推出PE∥AB∥CD，再通過平行線性質(zhì)可求出∠APC；（2）過P作PE∥AB交AC于E，先推出AB∥PE∥DC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案；（3）過點(diǎn)P作PE∥AB交OA于點(diǎn)E，同（2）中方法根據(jù)平行線的性質(zhì)得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：（1）過點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=128°，∠PCD=124°，∴∠APE=52°，∠CPE=56°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=108°；（2）∠APC=α+β．理由如下：如圖2，過P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；（3）∠APC=β-α．理由如下：過點(diǎn)P作PE∥AB交OA于點(diǎn)E，同（2）可得，α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠CPE-∠APE=β-α．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與平行公理，解題的關(guān)鍵是過拐點(diǎn)作平行線，利用平行線的性質(zhì)解決問題．5．如圖①，已知AB∥CD，點(diǎn)E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，點(diǎn)P是兩平行線之間的一點(diǎn)，設(shè)∠AEP=α，∠PFC=β，在圖①中，過點(diǎn)E作射線EH交CD于點(diǎn)N，作射線FI，延長PF到G，使得PE、FG分別平分∠AEH、∠DFl，得到圖②．（1）在圖①中，過點(diǎn)P作PM∥AB，當(dāng)α=20°，β=50°時(shí)，∠EPM=度，∠EPF=度；（2）在（1）的條件下，求圖②中∠END與∠CFI的度數(shù)；（3）在圖②中，當(dāng)FI∥EH時(shí)，請直接寫出α與β的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）20，70；（2）80°；（3）90°；【分析】（1）由PM∥AB根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EPM=∠AEP=20°，根據(jù)平行公理的推論可得PM∥CD，繼而可得∠MPF=∠CFP=50°，從而即可求得∠EPF；（2）由角平分線的定義可得∠AEH=2α=40°，再根據(jù)AD∥BC，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠END=∠AEH=40°，由對(duì)頂角相等以及角平分線定義可得∠IFG=∠DFG=β=50°，再根據(jù)平角定義即可求得∠CFI的度數(shù)；（3）由（2）可得，∠CFI=180°-2β，由AB∥CD，可得∠END=2α，當(dāng)FI∥EH時(shí)，∠END=∠CFI，據(jù)此即可得α+β=90°．【詳解】（1）∵PM∥AB，α=20°，∴∠EPM=∠AEP=20°，∵AB∥CD，PM∥AB，∴PM∥CD，∴∠MPF=∠CFP=50°，∴∠EPF=20°+50°=70°，故答案為20，70；（2）∵PE平分∠AEH，∴∠AEH=2α=40°，∵AD∥BC，∴∠END=∠AEH=40°，又∵FG平分∠DFI，∴∠IFG=∠DFG=β=50°，∴∠CFI=180°-2β=80°；（3）由（2）可得，∠CFI=180°-2β，∵AB∥CD，∴∠END=∠AEN=2α，∴當(dāng)FI∥EH時(shí)，∠END=∠CFI，即2α=180°-2β，∴α+β=90°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.6．已知，直線AB∥CD（1）如圖（1），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【分析】（1）過點(diǎn)G作GE∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（2）過點(diǎn)G作GF∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（3）過點(diǎn)E作EM∥AB，過點(diǎn)F作FN∥AB，過點(diǎn)G作GQ∥CD，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化找到角的關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)G作GE∥AB，∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD．∴∠C+∠CGE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．（2）如圖，過點(diǎn)G作GF∥AB∵AB∥GF，∴∠A=AGF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°．（3）如圖所示，過點(diǎn)E作EM∥AB，過點(diǎn)F作FN∥AB，過點(diǎn)G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，本題構(gòu)造輔助線利用平行線的傳遞性結(jié)合平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．如圖1，四邊形為一張長方形紙片．（1）如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（），則__________°．（2）如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（），則__________°．（3）如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（），則___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是____________°．【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．【分析】（1）過點(diǎn)E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和等于180°的2倍；（2）分別過E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；（4）根據(jù)前三問個(gè)的剪法，剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．【詳解】（1）過E作EH∥AB（如圖②）．∵原四邊形是長方形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；（2）分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．故答案為：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn)．8．（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明．【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）猜想：若平行線間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°，證明詳見解析【分析】（1）①過點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到結(jié)論；②過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到結(jié)論；（2）過n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，即可得出所有角的和為（n+1）?180°．【詳解】解：（1）①證明：如圖1，過點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°②如圖，過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行線間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°．證明：如圖2，過n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，∴結(jié)合（1）問得：所有角的和為（n+1）?180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作平行線，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出結(jié)論．9．問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數(shù)．思路點(diǎn)撥：小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連