中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題10 平行線中點(diǎn)模型與雨傘模型（原卷版）

專題10平行線中點(diǎn)模型與雨傘模型平行線中點(diǎn)模型概述：平行線之間夾中點(diǎn)，通過延長過中點(diǎn)的線段與平行線相交，從而構(gòu)造一對(duì)全等三角形，并將已知條件中的線段和角進(jìn)行轉(zhuǎn)移。平行線中點(diǎn)模型：已知AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB、CD上，點(diǎn)O為線段EF的中點(diǎn)，延長PO交CD于點(diǎn)Q，則?POE≌?QOF證明:∵AB∥CD∴∠PEO=∠OFQ∵點(diǎn)O為線段EF的中點(diǎn)∴EO=OF在?POE和?QOF中∠PEO=∠OFQEO=OF∠POE=∠QOF∴?POE≌?QOF（ASA）雨傘模型：如圖AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足為點(diǎn)D，延長BD交AC于點(diǎn)C,則?ABD≌?ACD，AB=AC，BD=CD證明：∵AP平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∵BD⊥AP∴∠BDA=∠CDA在?ABD和?ACD中∠BAD=∠CADAD=AD∠BDA=∠CDA∴?ABD≌?ACD（ASA）∴AB=AC，BD=CD【平行線中點(diǎn)模型過關(guān)練】1．如圖，正方形的邊長為，在正方形的右側(cè)作矩形，點(diǎn)在邊的延長線上，，點(diǎn)，，在同一條直線上，，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則線段的長為（

）A． B． C． D．2．矩形ABCD與矩形CEFG如圖放置，點(diǎn)B、C、E共線，點(diǎn)C、D、G共線，連接AF，取AF的中點(diǎn)H，連接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，則GH＝_______．3．如圖，□ABCD的頂點(diǎn)C在等邊的邊BF上，點(diǎn)E在AB的延長線上，G為DE的中點(diǎn)，連接CG．若，，則BG的長為______．4．如圖，?ABCD的頂點(diǎn)C在等邊△BEF的邊BF上，點(diǎn)E在AB的延長線上，G為DE的中點(diǎn)，連接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，則CG的長為_____．5．如圖，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，連接GF．若∠A=80°，則∠DGF的度數(shù)為___________．6．如圖，已知等邊三角形的邊長為4，過邊上一點(diǎn)P作于點(diǎn)E，Q為延長線上一點(diǎn)，取，連接，交于M，則的長為______．7．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，E是BC延長線上一點(diǎn)，CE＝DA，連接DE交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H．(1)求證：AG＝AD；(2)求證：DF＝EF；(3)若CF＝CE，S△ADG＝2，求△DGF的面積．8．（1）老師在課上給出了這樣一道題目：如圖（1），等邊△ABC邊長為2，過AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且AP=CQ，連接PQ交AC于D，求DE的長.小明同學(xué)經(jīng)過認(rèn)真思考后認(rèn)為，可以通過過點(diǎn)P作平行線構(gòu)造等邊三角形的方法來解決這個(gè)問題.請(qǐng)根據(jù)小明同學(xué)的思路直接寫出DE的長.（2）【類比探究】老師引導(dǎo)同學(xué)繼續(xù)研究：①等邊△ABC邊長為2，當(dāng)P為BA的延長線上一點(diǎn)時(shí),作PE⊥CA的延長線于點(diǎn)E，Q為邊BC上一點(diǎn)，且AP=CQ，連接PQ交AC于D．請(qǐng)你在圖（2）中補(bǔ)全圖形并求DE的長.②已知等邊△ABC，當(dāng)P為AB的延長線上一點(diǎn)時(shí),作PE⊥射線AC于點(diǎn)E，Q為哪一個(gè)（①BC邊上；②BC的延長線上；③CB的延長線上）一點(diǎn)，且AP=CQ，連接PQ交直線AC于點(diǎn)D，能使得DE的長度保持不變.(直接寫出答案的編號(hào))

9．在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，老師給出了下列問題．(1)探究結(jié)論在圖1中，，點(diǎn)P是兩平行線之間的一點(diǎn)，則，，之間的關(guān)系是_______．(2)應(yīng)用結(jié)論在圖2中，，PB平分，，若為等腰三角形，求的度數(shù)_______．(3)拓展延伸在圖3中，，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，．試判斷AB，AC，BD之間有什么關(guān)系，并說明理由．10．【問題情境】興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題，如圖1，在△ABC中，AB＝16，AC＝10，求BC邊上的中線AD的取值范圍．經(jīng)過小組合作交流，卓越小組得到了如下的解決方法：延AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE．勤思小組得到的方法是，過點(diǎn)B作直線AC的平行線BE，并交AD的延長線于點(diǎn)E．請(qǐng)結(jié)合兩個(gè)小組提供的方法思考：(1)圖1中，BC邊上的中線AD長度的取值范圍是；(2)【靈活運(yùn)用】如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)【拓展延伸】如圖3，已知AB∥CF，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，若AB＝10，CF＝4，DF＝6，求證∠EDF＝∠BAE．11．如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊AD上，連接BE，過點(diǎn)D作DFBE，交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別是BE，DF的中點(diǎn)，連接EH，GF．(1)求證：四邊形EGFH為平行四邊形；(2)若BC＝10，AB＝6，∠ABC＝60°；①當(dāng)BG＝GF時(shí)，求四邊形EGFH的面積：②如圖2，延長FG交AB于點(diǎn)P，連接AG，記ΔAPG的面積為S1，ΔBPG的面積為S2，若FP⊥AB，求的值．12．已知,點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合)，分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是___，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是___；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；13．已知點(diǎn)P是Rt△ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，分別過點(diǎn)A，B向直線CP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)Q為斜邊AB的中點(diǎn)．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是________，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是________；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上且不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(溫馨提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)【雨傘模型模型過關(guān)練】1．如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．2．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝CD．3．已知：如圖，在中，，平分，于，是的中點(diǎn)，求證：.4．已知：中，為的中點(diǎn)，平分于，連結(jié)，若，求的長．5．如圖，中，M為的中點(diǎn)，為的平分線，于D．(1)求證：；(2)若，求的長．6．如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，延長BN交AC于點(diǎn)D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求證：BN=DN；（2）求△ABC的周長．7．如圖1，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)，平分，，點(diǎn)在邊上，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）判斷線段、、的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論．（3）點(diǎn)是的邊上的一點(diǎn)，若的面積，請(qǐng)直接寫出的面積（不需要寫出解答過程）．8．如圖，在中，平分于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)（1）如圖1，的延長線與