正態(tài)分布為背景的概率模型（解析版）

正態(tài)分布為背景的概率模型思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)1.求正態(tài)變量X在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法(1)根據(jù)題目中給出的條件確定μ與σ的值．(2)將待求問題向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化．(3)利用X在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果．2.母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)【典例1】（2022·安徽滁州·校考模擬預(yù)測(cè)）為了監(jiān)控某臺(tái)機(jī)器的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取若干零件，并測(cè)量其尺寸（單位：）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這臺(tái)機(jī)器正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．檢驗(yàn)員某天從生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：）如下：將樣本的均值作為總體均值的估計(jì)值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值．根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，在一天抽檢的零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為該機(jī)器可能出現(xiàn)故障，需要停工檢修．(1)試?yán)霉烙?jì)值判斷該機(jī)器是否可能出現(xiàn)故障；(2)若一臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障，則立即停工并申報(bào)維修，直到維修日都不工作．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，一臺(tái)機(jī)器停工天的總損失額，、、、（單位：元）．現(xiàn)有種維修方案（一天完成維修）可供選擇：方案一：加急維修單，維修人員會(huì)在機(jī)器出現(xiàn)故障的當(dāng)天上門維修，維修費(fèi)用為元；方案二：常規(guī)維修單，維修人員會(huì)在機(jī)器出現(xiàn)故障當(dāng)天或者之后天中的任意一天上門維修，維修費(fèi)用為元．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)該工廠最近份常規(guī)維修單，獲得機(jī)器在第天得到維修的數(shù)據(jù)如下：頻數(shù)將頻率視為概率，若機(jī)器出現(xiàn)故障，以機(jī)器維修所需費(fèi)用與機(jī)器停工總損失額的和的期望值為決策依據(jù)，應(yīng)選擇哪種維修方案？參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：，．【解題指導(dǎo)】（1）利用參考數(shù)據(jù)計(jì)算出、的值，可得出、的估計(jì)值，可計(jì)算得出、的值，結(jié)合題中的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)可得出結(jié)論；（2）設(shè)選擇方案一、方案二的維修所需費(fèi)用與機(jī)器停工總損失額分別為、元，列舉出的分布列，計(jì)算出、的值，比較大小后可得出結(jié)論.【解析】（1）解：由已知可得，，所以，，，所以，，，，故該機(jī)器出現(xiàn)了故障.（2）解：當(dāng)時(shí)，一臺(tái)機(jī)器的總損失額為元；當(dāng)時(shí)，一臺(tái)機(jī)器的總損失額為元；當(dāng)時(shí)，一臺(tái)機(jī)器的總損失額為元；當(dāng)時(shí)，一臺(tái)機(jī)器的總損失額為元.設(shè)選擇方案一、方案二的維修所需費(fèi)用與機(jī)器停工總損失額分別為、元，選擇方案一，則元，選擇方案二，則的可能取值有：、、、，所以，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，元，所以，，故選方案一較好.方法總結(jié)方法總結(jié)解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x＝0.模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．【與建設(shè)成就融合】（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）年月日時(shí)分，搭載空間站夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙成功發(fā)射，并進(jìn)入預(yù)定軌道，夢(mèng)天艙的重要結(jié)構(gòu)件導(dǎo)軌支架采用了打印的薄壁蒙皮點(diǎn)陣結(jié)構(gòu).打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù).隨著技術(shù)不斷成熟，打印在精密儀器制作應(yīng)用越來(lái)越多.某企業(yè)向一家科技公司租用一臺(tái)打印設(shè)備，用于打印一批對(duì)內(nèi)徑有較高精度要求的零件.已知這臺(tái)打印設(shè)備打印出品的零件內(nèi)徑（單位：）服從正態(tài)分布.(1)若該臺(tái)打印了件這種零件，記表示這件零件中內(nèi)徑指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，求；(2)該科技公司到企業(yè)安裝調(diào)試這臺(tái)打印設(shè)備后，試打了個(gè)零件.度量其內(nèi)徑分別為（單位：）：、、、、，試問此打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試，為什么？參考數(shù)據(jù)：，，，【答案】(1)；(2)需要進(jìn)一步調(diào)試，理由見解析【分析】（1）計(jì)算出一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率，分析可知，利用二項(xiàng)分布的期望公式可求得的值；（2）計(jì)算得出，，且，根據(jù)原則可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：由題意知，，，則，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率即為因?yàn)?，，所以，所以，所?（2）解：服從正態(tài)分布，由于，則，，所以內(nèi)徑在之外的概率為，為小概率事件而，且，根據(jù)原則，機(jī)器異常，需要進(jìn)一步調(diào)試.2．【與頻率分布直方圖融合】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某加盟連鎖店總部對(duì)旗下600個(gè)加盟店中每個(gè)店的日銷售額（單位：百元）進(jìn)行了調(diào)查，如圖是隨機(jī)抽取的50個(gè)加盟店的日銷售額的頻率分布直方圖．若將日銷售額在的加盟店評(píng)定為“四星級(jí)”加盟店，日銷售額在的加盟店評(píng)定為“五星級(jí)”加盟店．(1)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，估計(jì)這50個(gè)加盟店日銷售額的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果精確到0.1）；(2)若該加盟連鎖店總部旗下所有加盟店的日銷售額，其中近似為（1）中的樣本平均數(shù)，根據(jù)X的分布估計(jì)這600個(gè)加盟店中“五星級(jí)”加盟店的個(gè)數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)）；(3)該加盟連鎖店總部決定對(duì)樣本中“四星級(jí)”及“五星級(jí)”加盟店進(jìn)一步調(diào)研，現(xiàn)從這些加盟店中隨機(jī)抽取3個(gè)，設(shè)Y為抽取的“五星級(jí)"加盟店的個(gè)數(shù)，求Y的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【答案】(1)平均數(shù)為13.0百元，中位數(shù)為13百元；(2)14；(3)分布列見解析，1【分析】（1）由平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案；（2）由（1）知，，由正態(tài)分布的性質(zhì)求出的概率，即可求出這600個(gè)加盟店中“五星級(jí)”加盟店的個(gè)數(shù)；（3）求出Y的所有可能取值和每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，即可求出Y的分布列，再由期望公式求出Y的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得樣本中日銷售額為，，，，，，的頻率分別為0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，∴估計(jì)這50個(gè)加盟店日銷售額的平均數(shù)為：（百元）．∵，，∴中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x百元，則，解得．∴估計(jì)中位數(shù)為13百元．（2）由（1）知，∵，，∴，∴估計(jì)這600個(gè)加盟店中“五星級(jí)”加盟店的個(gè)數(shù)為．（3）由（1）得樣本中“四星級(jí)”加盟店有（個(gè)），“五星級(jí)”加盟店有（個(gè)），∴Y的所有可能取值為0，1，2，3，，，，．∴Y的概率分布列為Y0123P∴．3．【與建設(shè)成就融合】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）世界衛(wèi)生組織建議成人每周進(jìn)行至5小時(shí)的中等強(qiáng)度運(yùn)動(dòng).已知社區(qū)有的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)，社區(qū)有的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)，社區(qū)有的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)，且三個(gè)社區(qū)的居民人數(shù)之比為.(1)從這三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取1名居民，求該居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)的概率；(2)假設(shè)這三個(gè)社區(qū)每名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量（單位：小時(shí)），且.現(xiàn)從這三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率.【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)三個(gè)社區(qū)的居民人數(shù)為，分別求出三個(gè)社區(qū)每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)的人數(shù)為，再由概率公式即可求出答案.（2）由正態(tài)分布的性質(zhì)求出，再由獨(dú)立事件的乘法公式即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)槿齻€(gè)社區(qū)的居民人數(shù)之比為，設(shè)三個(gè)社區(qū)的居民人數(shù)為，所以社區(qū)每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)的人數(shù)為：，社區(qū)每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)的人數(shù)為：，社區(qū)每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)的人數(shù)為：，該居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)的概率.（2）因?yàn)檫@三個(gè)社區(qū)每名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量（單位：小時(shí)），且，所以，由（1）知，，所以，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，且關(guān)于對(duì)稱，所以，所以從這三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為：.4．【與二項(xiàng)分布融合】（2022·吉林·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）新冠肺炎是近百年來(lái)人類遭遇的影響范圍最廣的全球性大流行病毒．對(duì)前所未知、突如其來(lái)、來(lái)勢(shì)洶洶的疫情，習(xí)近平總書記親自指揮、親自部署，強(qiáng)調(diào)把人民生命安全和身體健康放在第一位．明確堅(jiān)決打贏疫情防控的人民戰(zhàn)爭(zhēng)、總體戰(zhàn)、阻擊戰(zhàn)．當(dāng)前，新冠肺炎疫情防控形勢(shì)依然復(fù)雜嚴(yán)峻．為普及傳染病防治知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的疾病防范意識(shí)，提高自身保護(hù)能力，市團(tuán)委在全市學(xué)生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病及個(gè)人衛(wèi)生相關(guān)知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽（滿分分），競(jìng)賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎(jiǎng)，其它學(xué)生不得獎(jiǎng)．為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取了名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，獲得了如下頻數(shù)分布表．競(jìng)賽成績(jī)?nèi)藬?shù)(1)從該樣本中隨機(jī)抽取名學(xué)生，求這名學(xué)生均獲一等獎(jiǎng)的概率；(2)若該市所有參賽學(xué)生的成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生人數(shù)特別多）隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)诜忠陨系膶W(xué)生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)；(2)分布列答案見解析，【分析】（1）利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，利用二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【詳解】（1）解：由題意可知，這名學(xué)生中，獲一等獎(jiǎng)的學(xué)生人數(shù)為，因此，從該樣本中隨機(jī)抽取名學(xué)生，這名學(xué)生均獲一等獎(jiǎng)的概率為.（2）解：因?yàn)?，則，從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生人數(shù)特別多）隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)诜忠陨系膶W(xué)生人數(shù)為，則，所以，，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：由二項(xiàng)分布的期望公式可得.5．【與社會(huì)熱點(diǎn)融合】（2022·吉林·吉林省實(shí)驗(yàn)校考模擬預(yù)測(cè)）基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)，也稱強(qiáng)基計(jì)劃，是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．強(qiáng)基計(jì)劃的校考由試點(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中筆試通過后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，年有名學(xué)生報(bào)考某試點(diǎn)高校，若報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生的筆試成績(jī)．筆試成績(jī)高于分的學(xué)生進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．(1)從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，求這人中至少有一人進(jìn)入面試的概率；(2)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過面試的概率分別為、、、．設(shè)這名學(xué)生中通過面試的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若，則，，，．【答案】(1)；(2)分布列答案見解析，【分析】（1）計(jì)算出試點(diǎn)高校每名學(xué)生進(jìn)入面試的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知隨機(jī)變量的可能取值有、、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)一步可求得的值.【解析】（1）由題意可知，，則，所以，從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，這人中至少有一人進(jìn)入面試的概率為.（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、、，則，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：故.6．【與社會(huì)熱點(diǎn)融合】（2022·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為了切實(shí)維護(hù)居民合法權(quán)益，提高居民識(shí)騙防騙能力，守好居民的“錢袋子”，某社區(qū)開展“全民反詐在行動(dòng)——反詐騙知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，現(xiàn)從參加該活動(dòng)的居民中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)出他們競(jìng)賽成績(jī)分布如下：成績(jī)（分）人數(shù)242240284(1)求抽取的100名居民競(jìng)賽成績(jī)的平均分和方差（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)以頻率估計(jì)概率，發(fā)現(xiàn)該社區(qū)參賽居民競(jìng)賽成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本成績(jī)平均分，近似為樣本成繢方差，若，參賽居民可獲得“參賽紀(jì)念證書”；若，參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”，①若該社區(qū)有3000名居民參加本次競(jìng)賽活動(dòng)，試估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的居民人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；②試判斷競(jìng)賽成績(jī)?yōu)?6分的居民能否獲得“反詐先鋒證書”．附：若，則，，．【答案】(1)，；(2)①2456；②能【分析】（1）利用公式直接求出均值、方差即可；（2）①結(jié)合給的概率和正態(tài)分布的性質(zhì)，確定獲得“參賽紀(jì)念證書”，進(jìn)而計(jì)算可得人數(shù)；②利用正態(tài)分布的知識(shí)求出，即，進(jìn)而可得結(jié)果.【解析】（1）100名居民本次競(jìng)賽成績(jī)平均分，100名居民本次競(jìng)賽成績(jī)方差，（2）①由于近似為樣本成績(jī)平均分，近似為樣本成績(jī)方差，所以，，可知，，由于競(jìng)賽成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布，因此競(jìng)賽居民可獲得“參賽紀(jì)念證書”的概率估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的居民人數(shù)為2456；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”，所以競(jìng)賽成績(jī)?yōu)?6分的居民能獲得“反詐先峰證書”．7．【與回歸方程融合】（2022·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為了緩解日益擁堵的交通狀況，不少城市實(shí)施車牌競(jìng)價(jià)策略，以控制車輛數(shù)量某地車牌競(jìng)價(jià)的基本規(guī)則是：①“盲拍”，即所有參與競(jìng)拍的人都是網(wǎng)絡(luò)報(bào)價(jià)，每個(gè)人不知曉其他人的報(bào)價(jià)，也不知道參與當(dāng)期競(jìng)拍的總?cè)藬?shù)；②競(jìng)價(jià)時(shí)間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)期車牌配額，按照競(jìng)拍人的出價(jià)從高到低分配名額.某人擬參加2022年5月份的車牌競(jìng)拍，他為了預(yù)測(cè)最低成交價(jià)，根據(jù)競(jìng)拍網(wǎng)站的公告.統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月參與競(jìng)拍的人數(shù)（見表）：月份2021.122022.012022.022022.032022.04月份編號(hào)t12345競(jìng)拍人數(shù)y（萬(wàn)人）1.72.12.52.83.4(1)由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合競(jìng)拍人數(shù)y（萬(wàn)人）與月份編號(hào)t之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程：，并預(yù)測(cè)2022年5月份參與競(jìng)拍的人數(shù).(2)某市場(chǎng)調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)200位擬參加2022年5月份車牌競(jìng)拍人員的報(bào)價(jià)進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如下的一份頻數(shù)表：報(bào)價(jià)區(qū)間（萬(wàn)元）頻數(shù)206060302010（i）求這200位競(jìng)拍人員報(bào)價(jià)X的平均數(shù)和樣本方差（同一區(qū)間的報(bào)價(jià)可用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（ii）假設(shè)所有參與競(jìng)價(jià)人員的報(bào)價(jià)X可視為服從正態(tài)分布，且與可分別由（i）中所求的樣本平均數(shù)及估值.若2022年5月份實(shí)際發(fā)放車牌數(shù)量是5000，請(qǐng)你合理預(yù)測(cè)（需說(shuō)明理由）競(jìng)拍的最低成交價(jià).參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程，其中，；②；③若，令，則，且；④方差.【答案】(1)，預(yù)測(cè)2022年5月份參與競(jìng)拍的人數(shù)為3.73萬(wàn)人(2)（i），；（ii）預(yù)測(cè)競(jìng)拍的最低成交價(jià)為4.943萬(wàn)元【分析】（1）先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求出，然后利用公式可求出線性回歸方程，再將代入回歸方程可預(yù)測(cè)2022年5月份參與競(jìng)拍的人數(shù)，（2）（i）根據(jù)平均數(shù)公式和方差公式求解即可，（ii）設(shè)預(yù)測(cè)競(jìng)拍的最低成交價(jià)為a萬(wàn)元，然后根據(jù)競(jìng)價(jià)規(guī)則，求出報(bào)價(jià)在最低成交價(jià)以上人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)列方程可求得結(jié)果【詳解】（1），∴，.∴y關(guān)于t的線性回歸方程為：.由已知2022年5月份對(duì)應(yīng)的，所以∴預(yù)測(cè)2022年5月份參與競(jìng)拍的人數(shù)為3.73萬(wàn)人.（2）（i）依題意可得這200人報(bào)價(jià)的平均值為：.這200人報(bào)價(jià)的方差為：.（ii）2022年5月份實(shí)際發(fā)放車牌數(shù)量是5000，設(shè)預(yù)測(cè)競(jìng)拍的最低成交價(jià)為a萬(wàn)元.根據(jù)競(jìng)價(jià)規(guī)則，報(bào)價(jià)在最低成交價(jià)以上人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例為，根據(jù)假設(shè)報(bào)價(jià)X可視為服從正態(tài)分布，令，由于，∴，∴，由，解得∴預(yù)測(cè)競(jìng)拍的最低成交價(jià)為4.943萬(wàn)元.8．【與生產(chǎn)實(shí)踐融合】（2022·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考一模）某工廠生產(chǎn)一批零件，其直徑X滿足正態(tài)分布（單位：）.(1)現(xiàn)隨機(jī)抽取15個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，認(rèn)為直徑在之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，若樣品中有次品則可以認(rèn)定生產(chǎn)過程中存在問題.求上述事件發(fā)生的概率，并說(shuō)明這一標(biāo)準(zhǔn)的合理性.（已知：）(2)若在上述檢測(cè)中發(fā)現(xiàn)了問題，另抽取100個(gè)零件進(jìn)一步檢測(cè)，則這100個(gè)零件中的次品數(shù)最可能是多少？【答案】(1)見解析；(2)0.【分析】（1），故至少有1個(gè)次品的概率為，根據(jù)小概率事件說(shuō)明即可；（2）次品的概率為，設(shè)次品數(shù)為,則，其中，設(shè)次品數(shù)最可能是件，則，求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?所以隨機(jī)抽取15個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，至少有1個(gè)次品的概率為，如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，至少有一個(gè)次品的概率約為，該事件是小概率事件，因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認(rèn)定生產(chǎn)過程中存在問題，即這一標(biāo)準(zhǔn)是合理的.（2）次品的概率為，抽取100個(gè)零件進(jìn)一步檢測(cè)，設(shè)次品數(shù)為,則，其中，故，設(shè)次品數(shù)最可能是件，則，即，即，解得.因?yàn)?，所以，?故這100個(gè)零件中的次品數(shù)最可能是0.9．【與非線性回歸方程融合】（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）今年全國(guó)兩會(huì)期間，習(xí)近平總書記在看望參加全國(guó)政協(xié)十三屆五次會(huì)議的農(nóng)業(yè)界?社會(huì)福利和社會(huì)保障界委員時(shí)指出“糧食安全是‘國(guó)之大者’.悠悠萬(wàn)事，吃飯為大.”某校課題小組針對(duì)糧食產(chǎn)量與化肥施用量以及與化肥有效利用率間關(guān)系進(jìn)行研究，收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.每畝化肥施用量為x(單位：公斤)，糧食畝產(chǎn)量為y(單位：百公斤)．參考數(shù)據(jù)：65091.552.51478.630.5151546.5表中，(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于每畝化肥施用量x的回歸方程(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)；(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；并預(yù)測(cè)每畝化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量y的值；()(3)通過文獻(xiàn)可知，當(dāng)化肥施用量達(dá)到一定程度，糧食產(chǎn)量的增長(zhǎng)將趨于停滯，所以需提升化肥的有效利用率，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得，化肥有效利用率，那么這種化肥的有效利用率超過56%的概率為多少？附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，；②若隨機(jī)變量，則有，.【答案】(1)；(2)；8.1百公斤；(3)．【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x的關(guān)系不是線性關(guān)系，故應(yīng)該選擇非線性模型.（2）兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，令，可得，則z和t成線性相關(guān)，利用最小二乘估計(jì)公式計(jì)算出d和lnc即可得y與x的回歸方程，將x=27代入即可預(yù)測(cè)每畝化肥施用量為27公斤時(shí)糧食畝產(chǎn)量y的值.（3）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得．【詳解】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x的關(guān)系不是線性的關(guān)系，則更適宜．（2）∵，∴，令，，則，，，∴，，，∴，當(dāng)時(shí)，(百公斤).（3）根據(jù)Z服從正態(tài)分布可知，，∴這種化肥的有效利用率超過的概率為．10．【與獨(dú)立性檢驗(yàn)融合】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2019年某地區(qū)初中升學(xué)體育考