數(shù)學(xué)建模 多元線性回歸分析

第十五章多元線性回歸分析

(MultipleLinear

Regression)MultiplelinearregressionChoiceofindependentvariable

ApplicationContent講述內(nèi)容第一節(jié)多元線性回歸第二節(jié)自變量選擇方法第三節(jié)多元線性回歸的應(yīng)用及其注意事項目的：作出以多個自變量估計應(yīng)變量的多元線性回歸方程。資料：應(yīng)變量為定量指標(biāo)；自變量全部或大部分為定量指標(biāo)，若有少量定性或等級指標(biāo)需作轉(zhuǎn)換。用途：解釋和預(yù)報。意義：由于事物間的聯(lián)系常常是多方面的，一個應(yīng)變量的變化可能受到其它多個自變量的影響，如糖尿病人的血糖變化可能受胰島素、糖化血紅蛋白、血清總膽固醇、甘油三脂等多種生化指標(biāo)的影響。第一節(jié)

多元線性回歸變量：應(yīng)變量1個，自變量m個，共m+1個。樣本含量：n數(shù)據(jù)格式見表15-1回歸模型一般形式：一、多元線性回歸模型表15-1多元回歸分析數(shù)據(jù)格式

條件一般步驟建立回歸方程(2)檢驗并評價回歸方程及各自變量的作用大小二、多元線性回歸方程的建立

例15-127名糖尿病人的血清總膽固醇、甘油三脂、空腹胰島素、糖化血紅蛋白、空腹血糖的測量值列于表15-2中，試建立血糖與其它幾項指標(biāo)關(guān)系的多元線性回歸方程。表15-227名糖尿病人的血糖及有關(guān)變量的測量結(jié)果

求偏導(dǎo)數(shù)原理最小二乘法三、假設(shè)檢驗及其評價

1.方差分析法：（一）對回歸方程表15-4例15-1的方差分析表

表15-3多元線性回歸方差分析表2.決定系數(shù)R2：3.復(fù)相關(guān)系數(shù)

（二）對各自變量

指明方程中的每一個自變量對Y的影響（即方差分析和決定系數(shù)檢驗整體）。1.偏回歸平方和

表15-5對例15-1數(shù)據(jù)作回歸分析的部分中間結(jié)果

各自變量的偏回歸平方和可以通過擬合包含不同自變量的回歸方程計算得到，表15-5給出了例15-1數(shù)據(jù)分析的部分中間結(jié)果。結(jié)果2.t檢驗法是一種與偏回歸平方和檢驗完全等價的一種方法。計算公式為結(jié)果結(jié)論3．標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)

變量標(biāo)準(zhǔn)化是將原始數(shù)據(jù)減去相應(yīng)變量的均數(shù)，然后再除以該變量的標(biāo)準(zhǔn)差。計算得到的回歸方程稱作標(biāo)準(zhǔn)化回歸方程，相應(yīng)的回歸系數(shù)即為標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)。

注意：

一般回歸系數(shù)有單位，用來解釋各自變量對應(yīng)變量的影響，表示在其它自變量保持不變時，增加或減少一個單位時Y的平均變化量。不能用各來比較各對的影響大小。

標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)無單位，用來比較各自變量對應(yīng)變量的影響大小，越大，對的影響越大。結(jié)論第二節(jié)

自變量選擇方法

目的：使得預(yù)報和（或）解釋效果好一、全局擇優(yōu)法目的：預(yù)報效果好意義：對自變量各種不同的組合所建立的回歸方程進行比較擇優(yōu)。選擇方法：例15-2用全局擇優(yōu)法對例15-1數(shù)據(jù)的自變量進行選擇。

二、逐步選擇法1.

1.前進法，回歸方程中的自變量從無到有、從少到多逐個引入回歸方程。此法已基本淘汰。

2.

后退法，先將全部自變量選入方程，然后逐步剔除無統(tǒng)計學(xué)意義的自變量。

剔除自變量的方法是在方程中選一個偏回歸平方和最小的變量，作F檢驗決定它是否剔除，若無統(tǒng)計學(xué)意義則將其剔除，然后對剩余的自變量建立新的回歸方程。重復(fù)這一過程，直至方程中所有的自變量都不能剔除為止。理論上最好，建議使用采用此法。

3.逐步回歸法，逐步回歸法是在前述兩種方法的基礎(chǔ)上，進行雙向篩選的一種方法。該方法本質(zhì)上是前進法。

表15-7逐步回歸過程

表15-8例15-3方差分析表

“最優(yōu)”回歸方程為結(jié)果表明：血糖的變化與甘油三脂、胰島素和糖化血紅蛋白有線性回歸關(guān)系，其中與胰島素負(fù)相關(guān)。由標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)看出，糖化血紅蛋白對空腹血糖的影響最大。

表15-9例15-3的回歸系數(shù)的估計及檢驗結(jié)果

第三節(jié)多元線性回歸的應(yīng)用及注意事項

一、多元線性回歸的應(yīng)用1.影響因素分析

例如影響高血壓的因素可能有年齡、飲食習(xí)慣、吸煙狀況、工作緊張度和家族史等，在影響高血壓的眾多可疑因素中，需要研究哪些因素有影響，哪些因素影響較大。

在臨床試驗中，則可能由于種種原因難以保證各組的指標(biāo)基線相同，如在年齡、病情等指標(biāo)不一致出現(xiàn)混雜的情況下，如何對不同的治療方法進行比較等。這些問題都可以利用回歸分析來處理。控制混雜因素(confoundingfactor)的一個簡單辦法就是將其引入回歸方程中，與其他主要變量一起進行分析

2.估計與預(yù)測

如由兒童的心臟橫徑、心臟縱徑和心臟寬徑估計心臟的表面積；由胎兒的孕齡、頭頸、胸徑和腹徑預(yù)測出生兒體