SARS的傳播分析模型

#SARS的傳播分析模型摘要SARS疫情的爆發(fā)給我國國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展和日常生活秩序都產(chǎn)生了嚴(yán)重的影響。盡早的控制疫情蔓延，科學(xué)準(zhǔn)確的預(yù)測疫情的發(fā)展趨勢以指導(dǎo)疫情處理措施的安排，穩(wěn)定群眾心理都有重要的實際意義。文中對2003年SARS的相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，根據(jù)疫情高峰前期感染人數(shù)增長率r0和后期r<0兩種情況分別建立模型，同時對有關(guān)SARS疫情的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，分別得出兩個階段的疫情發(fā)展趨勢曲線方程x二—2.1962t2131.35t-108.66和*=-57.363t2165.5，對疫情的趨勢進(jìn)行了清晰的描述，并對疫情發(fā)展的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，如假設(shè)政府推遲:-天采取隔離等疫情防治措施，受感染的人數(shù)將為： -2.1962（t：）2131.35（t：）108.66；比實際增加：-21962訛*）2?2.1962?t2?131.35 ;而如果提前〉天進(jìn)行隔離處理，受感染人數(shù)將相應(yīng)減少：-2.1962t22.1962（t-：）2131.35：；通過對相應(yīng)模型的分析可以看出在疫情時期，早發(fā)現(xiàn)早匯報，早隔離早治療能很好的阻滯疫情的蔓延，減少感染人群的基數(shù)，縮短疫情周期；然而推遲對發(fā)病情況的處理則會加速疫情發(fā)展，延長疫情時間。第三問的模型及其求解利用了灰色預(yù)測模型以及函數(shù)擬合模型對北京旅游業(yè)受到SARS的影響度進(jìn)行預(yù)測。利用灰色預(yù)測模型對 2003年2月至8月間沒有SARS的情況下旅游人數(shù)進(jìn)行預(yù)測，并通過與實際旅游人數(shù)的統(tǒng)計值進(jìn)行比較，得出這7個月間旅游人數(shù)減少了145.71萬人。對于8月后期，由于SARS疫情有所減輕，旅游人數(shù)開始逐漸回升，這種情況下采用函數(shù)擬合模型對旅游人數(shù)進(jìn)行預(yù)測，并求出每個月對應(yīng)的恢復(fù)系數(shù)「，得出實際值比預(yù)測值減少17.0344萬人。綜合以上分析得出，SARS期間，北京因此減少的外來旅游人數(shù)共162.7444萬人。關(guān)鍵詞：SARSg展預(yù)測 灰色預(yù)測 函數(shù)擬合 多項式擬合一、問題重述SARS(SevereAcuteRespiratorySyndrome嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥,俗稱：非典型肺炎)是21世紀(jì)第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗和教訓(xùn)，認(rèn)識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。題目要求我們對SARS的傳播建立數(shù)學(xué)模型，具體要求如下：(1)對附件1所提供的一個早期的模型，評價其合理性和實用性。(2)建立自己的模型，說明為什么優(yōu)于附件1中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，以及這樣做會遇到的困難，并對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計。附件2提供的數(shù)據(jù)供參考。(3)收集SARS對經(jīng)濟(jì)某個方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測。附件3提供的數(shù)據(jù)供參考。二、問題分析2003年SARS疫情的爆發(fā)給我國帶來了非常嚴(yán)重的影響，國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展和日常生活秩序都產(chǎn)生了一定的波動?？茖W(xué)準(zhǔn)確的預(yù)測疫情的發(fā)展趨勢對于政府安排疫情處理措施，穩(wěn)定群眾心理都有重要的實際意義。文中已給出一個疫情初始階段的預(yù)測分析模型，即malthus模型，并要求分析其合理性和適用性。在對該模型進(jìn)行分析之前必須要了解其適用的范圍和要求，之后再結(jié)合SARS發(fā)展的不同階段對模型進(jìn)行分析檢驗，得出對模型的評價和改進(jìn)意見。在問題1的基礎(chǔ)之上建立新的模型，為了更準(zhǔn)確合理，模型中需要考慮更多的實際因素并作為模型的變量來處理。材料中給出了SARS疫情的相關(guān)數(shù)據(jù)，為了更好的對疫情進(jìn)行預(yù)測，建立合適的模型，首先需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并挖掘出其中的隱含信息，在此基礎(chǔ)上建立的模型才能有更高的準(zhǔn)確率和可信度。針對問題3，對經(jīng)濟(jì)某方面影響，題中給了對外來旅游人數(shù)的影響，故可選擇該項作為SARS對經(jīng)濟(jì)的影響方面來研究。考察附件給出的數(shù)據(jù)，有1997年1月到2003年8月的北京市外來旅游人口數(shù)，經(jīng)過分析，我們得知大概在2004年1月的時候恢復(fù)到正常水平。所以我們只需要計算從2003年2月開始到2004年1月預(yù)測北京市外來旅游人口數(shù)與在SARS影響下的真實數(shù)據(jù)之間的差值即為該方面的損失。具體思路是：首先利用灰色預(yù)測模型，對給出的數(shù)據(jù)，通過MATLAB編程的方法求出預(yù)測數(shù)據(jù)。然后選取2003年2月到2004年1月之間的數(shù)據(jù)作為研究對象，由于材料中給出了2到8月分的數(shù)據(jù)了，此時分為兩部分計算，一部分2003年2月到8月預(yù)測值與真實值的差，另一部通過函數(shù)擬合模型預(yù)測2003年9月到2004年1月的實際值，然后用灰色預(yù)測模型的數(shù)值與其相減得到這期間的損失。兩部分損失加起來即為在SARS影響期間外來旅游人口損失值。三、模型假設(shè)1、 疫區(qū)人口穩(wěn)定，即不考慮出生、死亡、遷入、遷出及其他因素引起的情況;2、 每個人具有相同的傳染期，并在傳染期內(nèi)不會死亡；3、 在此模型中所涉及到的時間t均以天為計量單位；4、 確診病人被隔離后不再具有傳染性；5、 確診病人死亡的原因均認(rèn)為由SARS造成；6病人經(jīng)治愈后具有長期免疫力。四、符號說明1、2、3、r:傳染率；x:累積病人數(shù)；t:時間；4、 匚：均方差；5、 ：推遲隔離處理的天數(shù)6、 Xi:實際值;7、 ?:理論（預(yù)測）值；8、 Si:減少的旅游人數(shù)；9、 人：旅游人數(shù)恢復(fù)率。五、模型建立問題1的求解模型一中參數(shù)K:平均每病人每天可傳染的人數(shù)（K一般為小數(shù)），L:平均每個病人可以直接感染他人的時間（單位：天）t:時間（單位天），N。：初始時刻的病例數(shù)5.1.2模型一的建立Nt=N。（1Q該模型表示時間t時的傳染病人數(shù)與人口基數(shù)N。、每個病人每天可傳染人數(shù)K以及時間t的關(guān)系5.1.3模型一的分析通過對該模型表示的意義及其形式可以確定為malthus模型。malthus模型用來模擬種群生長規(guī)律、腫瘤生長以及傳染病發(fā)展趨勢具有較好的效果。但是這是建立在研究對象發(fā)展初期而言，當(dāng)發(fā)展到一定階段后，由于環(huán)境等因素變化，如果繼續(xù)用該模型，得出的結(jié)果將越來越偏離實際。從問題一中的模型建立過程可以看出，模型考慮到了一些具體實際，如根據(jù)傳染病人在被發(fā)現(xiàn)前后對外界造成直接傳染的期限值， 在此期限后他失去傳染作用，把到達(dá)L天的病人從可以引發(fā)直接傳染的基數(shù)中去掉，即減少傳染病人基數(shù)。另外，模型還考慮了感染者在傳染病發(fā)展的不同階段其傳染他人的平均概率 K會發(fā)生變化，即從開始至到高峰期間均采用同樣的 K值，高峰期后10天范圍內(nèi)對K值進(jìn)行調(diào)整，最后將其保持不變。模型中 K的值應(yīng)該是變動的，為了達(dá)到較好的效果，K值隨著時間的推進(jìn)而產(chǎn)生變化。模型一建立后還通過利用給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行了計算結(jié)果的檢測分析。 以香港的疫情計算分析為例，從2月15日第一例病例到3月17日開始公布正式數(shù)據(jù)，再到4月1日進(jìn)入高峰期，估計出香港疫情從開始到高峰期大約經(jīng)過 45天，從高峰期回落到1/10以下大約要40天，再到基本結(jié)束疫情還要近一個月的時間。模型得出的疫情發(fā)展趨勢為有關(guān)部門應(yīng)對疫情發(fā)展的不同階段提供了依據(jù)和參考標(biāo)準(zhǔn)，有利于更好更及時的應(yīng)對疫情，采取有力措施阻止疫情繼續(xù)蔓延。同時模型對疫情結(jié)束時間的預(yù)測也為穩(wěn)定群眾的心理起到了一定的作用。然而模型仍存在一些缺陷，如模型沒有考慮治愈之后不再感染患病或者不愈死亡的病人數(shù)量對總基數(shù)的影響；另外就是對K值和L值的選擇不是非常的科學(xué)和符合實際。事實上K值，即每個病人每天與健康人的接觸率，是隨著疫情的不斷發(fā)展以及人們對疫情認(rèn)知程度的不斷加深而不斷變化的， 它的取值應(yīng)該要更合理的衡量確定，L值表示傳染病人在被發(fā)現(xiàn)前后對外界造成直接傳染的期限值，它和K值一樣在疫情的不同階段會有很大的變化，特別是疫情初期到疫情高峰期的差異更明顯。通過以上分析，該模型適合在短時間內(nèi)K值和L值變化不大的情況下對傳染病人數(shù)進(jìn)行預(yù)測分析，對于長期的預(yù)測則要通過更加復(fù)雜的模型進(jìn)行解決。5.2問題2的求解問題二要求建立較問題一中模型更佳的模型，為此進(jìn)行如下分析解決過程：材料中給出了不同時間累積病人數(shù)、治愈人數(shù)等相關(guān)信息，為了更好的發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，在建立模型之前首先要對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。觀察附件二的數(shù)據(jù)，可得出一組實際累積病例數(shù)，數(shù)據(jù)隨時間變化如下：由圖可知，在5月15日以及5月16日兩天實際累計病人數(shù)達(dá)到最大，之后便逐漸減少。進(jìn)一步分析得出：在5月15日之前，傳染率r0；在5月15日之后，傳染率r<0。通過以上分析，所以我們可以將時間分為兩個階段，并分別建立以下兩個模型對問題進(jìn)行分析。

2500521模型一：拋物線模型將4月20日到5月15日的實際累計病人數(shù)的數(shù)據(jù)，進(jìn)行Excel多項式擬合分析,圖二：4月20日至5月15日累計病人數(shù)得到表達(dá)式為：X=-2.1962t2 131.35t108.66同時得到R2值為0.9959,通過擬合得到的R2值很接近1，因此模型一擬合的準(zhǔn)確率較高，效果也較接近現(xiàn)實數(shù)據(jù)。

26另外再對模型結(jié)果進(jìn)行分析。通過均方差計算公式:25（其中26另外再對模型結(jié)果進(jìn)行分析。通過均方差計算公式:25（其中是X'理論病例數(shù)，X'是實際病例數(shù)）可得刁=36.01212。通過該模型得到結(jié)果的均方差較小，再次說明模型的預(yù)測值與實際數(shù)據(jù)之間有較高的吻合度。同時，利用得到的感染病人與時間的增長關(guān)系， 可以得出，如果推遲〉天采取隔離措施，受感染的人數(shù)將為： 一2.1962（^：）2131.35（\.）108.66；比實際增加：-21962（^:）22.1962t2131.35匚。如果提前〉天進(jìn)行隔離處理，受感染人數(shù)將相應(yīng)減少： -2.1962t22.1962（t-：）2131.35匚；表一：通過模型一得出的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計日期實際累積病例數(shù)現(xiàn)有疑似病例死亡累計治愈岀院累計時間序號理論病例數(shù)（為-X'）24月20日28840218331237.81383904月21日41461025432362.57525504月22日51466628463482.94426624月23日60378235554598.92087834月24日67186339645710.5058774月25日76295442736817.69689924月26日864109348767920.496211124月27日9801255567881018.90312484月28日10621275597891112.91813364月29日119813586683101202.5414964月30日127514087590111287.7716055月1日1371141582100121368.60717355月2日1436146891109131445.05218365月3日1530149396115141517.10519525月4日15851537100118151584.76520215月5日16731510103121161648.03321215月6日17191523107134171706.90822015月7日17981514110141181761.39123005月8日18721486112152191811.48224005月9日18951425114168201857.1824595月10日19361397116175211898.48625185月11日19591411120186221935.39925715月12日19671378129208231967.9226415月13日19691338134244241996.04927255月14日19791308139252252019.78527615月15日19911317140257262039.1292785方差為32421.81 均方差為36.01212模型二：線性回歸模型模型二是針對傳染率r<0建立的。從所給數(shù)據(jù)及其與時間的關(guān)系可以看出,

從5月16日開始，記5月16日為t=0時刻，之后實際病例開始減少。分析實際病例與時間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)病例數(shù)呈直線下降趨勢。故用一次線性方程進(jìn)行擬合。得到的結(jié)果如下圖例三：圖例三：5月16日之后累計病人數(shù)擬合后可得表達(dá)式為：X=-57.363t 2165.5同時得到R2=0.991，同樣，得到的R2值比較接近1,說明模型二的擬合準(zhǔn)

確率和數(shù)據(jù)擬合度都比較高。再對模型二得出的結(jié)果進(jìn)行方差分析，得到均方差J=62.46392。表二：通過模型二得到的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計日期實際累積病例數(shù)現(xiàn)有疑似病例死亡累計治愈岀院累計時間序號理論病例數(shù)（X-？）25月16日1991126514127312108.13713721.085月17日1968125014530722050.7746851.5355月18日1955125014733231993.4111475.4055月19日1938124915034941936.0483.8103045月20日1895122515439551878.685266.17925月21日1841122115644761821.322387.22375月22日1770120515852871763.95936.493685月23日1723117916058281706.596269.09125月24日1660113416366791649.233115.92835月25日16281105167704101591.871305.3775月26日15891069168747111534.5072969.4875月27日15121005172828121477.1441214.9415月28日1473941175866131419.7812832.2625月29日1413803176928141362.4182558.5395月30日13377601771006151305.0551020.4835月31日12537471811087161247.69228.174866月1日12177391811124171190.329711.3422

6月2日11847341811157181132.9662604.4696月3日11527241811189191075.6035836.5026月4日10787181811263201018.243571.2586月5日1020716181132121960.8773495.5296月6日936713183140322903.5141055.346月7日894668183144623846.1512289.5276月8日795550184154324788.78838.588946月9日685451184165325731.4252155.2816月10日589351186174726674.0627235.5446月11日516257186182127616.69910140.296月12日460155187187628559.3369867.6416月13日39171187194429501.97312315.016月14日3394189199430444.6111153.476月15日3183189201531387.2474795.1476月16日2783190205332329.8842691.9496月17日2115190212033272.5213784.8336月18日1764191215434215.1581533.3496月19日1593191217135157.7951.4520256月20日1413191218936100.4321645.7636月21日99219122313743.0693128.2776月22日732191225738-14.2947620.2426月23日532191227739-71.65715539.37方差為1482662 均方差為62.46392通過計算可以發(fā)現(xiàn)，模型二得到結(jié)果的均方差也較小，說明模型二的預(yù)測值與實際數(shù)據(jù)之間有較高的吻合度，得到的結(jié)果準(zhǔn)確度和可信度都很高。對問題的回答：對于建立的兩個預(yù)測傳染病傳播的模型，我們通過分析實際累積病例數(shù)的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)在4月20號到5月15號這段時間，實際得病人數(shù)越來越多，而從5月6號一直到6月23號，得病人數(shù)越來越少。因此，針對這兩段時間內(nèi)的SARS傳播情況，分別建立了拋物線模型和線性回歸模型。這正是和題目給出的那個模型相比下的優(yōu)越之處。附件一中的模型，只是單純的一個在自然狀態(tài)下SARS傳播模型，而事實上，K值和L值在不同的時段里是不同的，而且由于政府對該問題的重視，會采取相應(yīng)的措施來制止疾病熱傳播?？傊貌∪藬?shù)是不會按指數(shù)增長型傳播的。但建立一個真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠和足夠信息的模型是非常困難的：⑴疑似病人無法確定其是否具有傳染性，這類數(shù)據(jù)沒有有效利用，這時可能造成模型預(yù)測與實際存在一定差距的原因之一。⑵人們不可能去做傳染病傳播的試驗以獲取數(shù)據(jù)，關(guān)于傳染病的有關(guān)數(shù)據(jù)只能取自于疾病爆發(fā)后的有關(guān)報告，而報告中的數(shù)據(jù)往往不全面。⑶對SARS這種新型傳染病的認(rèn)識不足，其傳染途徑、傳染期、潛伏期、傳染率等都難以把握。5.3問題3的求解對問題3著重考慮SARS對北京旅游業(yè)產(chǎn)生的影響。所給出的北京市接待海外旅游人數(shù)，我們將其分為兩部分，第一部分是從1997年1月到2003年1月，這其間沒有受SARS影響；而從2003年2月到2004年1月的數(shù)據(jù)是受SARS影響的數(shù)據(jù)。對這兩部分?jǐn)?shù)據(jù)，我們分別建立兩種模型來估計SARS造成的旅游人數(shù)的影響。5.3.1、灰色預(yù)測模型：灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，隨機量可以看作是在一定范圍內(nèi)變化的灰色量。對于貧信息的灰色系統(tǒng)，灰色變量所取的值十分有限，并且數(shù)據(jù)變化無規(guī)律。對這些灰色變量作生成運算處理，處理后的數(shù)據(jù)變化有一定規(guī)律，與原始數(shù)據(jù)相比，增加了數(shù)據(jù)變化的確定性。從而在生成數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上建立灰色系統(tǒng)模型。這里給出GM(1,1)模型建模的計算步驟：對原始數(shù)據(jù)序列X0(k)作一次累加生成得到X1(k)用最小二乘法估計得到參數(shù):』)T=(BtB)」BtYn解一階線性微分方程虬vx1=」dt得到時間響應(yīng)函數(shù)O(k1)=(x°(1)-=)e邛-Ot Ct模型檢驗利用模型進(jìn)行預(yù)測通過MATLAB編程，得到計算灰色模型預(yù)測數(shù)據(jù)的程序(見附錄)。表1是計算后整理的結(jié)果。根據(jù)1997年至2002年北京市接待海外旅游人數(shù)數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)灰色模型,利用MATLAB^學(xué)工具進(jìn)行求解，可以計算預(yù)測出2003年的沒有受到非典影響下的每個月的接待旅游人數(shù)，詳細(xì)數(shù)據(jù)如表所示。從該表中，通過對比2月份到8月份預(yù)測值和真實值，我們可以清楚地看出SARSS很大程度上減少了接待旅游人數(shù)，從非典爆發(fā)的二月至非典的爆發(fā)高峰6月，旅游人數(shù)明顯減少，而當(dāng)6月份，北京徹底控制住了非典疫情之后，旅游人數(shù)呈逐漸回升狀態(tài)。從數(shù)據(jù)中能明顯看出在2003年2月份，香港、廣州等地對外正式公布非典疫情以后，北京的海外旅游業(yè)受到了一定的影響， 隨后四月份北京非典疫情的爆發(fā)，北京接待的海外旅游人數(shù)開始急速下降， 5、6月份達(dá)到最低。6月份之后，北京的非典疫情得到全面控制，并在6月24日，世界衛(wèi)生組織宣布解除對北京的旅游限制。但很顯然無法預(yù)知非典在一段時間內(nèi)是否會卷土重來， 公眾對SARS的恐懼不能很快消退，因此可以推測北京海外旅游業(yè)的反彈是一個相對緩慢的過程。對SARS造成的旅游人數(shù)的影響，由于2003年2月到2003年8月受SARS影響其間的旅游人數(shù)已經(jīng)統(tǒng)計得到，我們只需要用預(yù)測的正常估計數(shù)值減去實際人數(shù)并求和，就可以得到該區(qū)間由于SARS造成的旅游減少人數(shù)S,。即80Si八(Xi-Xi)i0其中Xi為預(yù)測值，Xi為實際值，i=74代表2003年2月,…,i=80代表2003年8月。容易計算得旅游減少人數(shù)Si=145.71萬人表三：預(yù)測值與真實值的對比年份月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月1997原始9.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.6年預(yù)測1998原始9.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.9年預(yù)測13.416.020.020.318.719.123.624.025.922.515.41999原始10.112.917.7212120.421.925.829.329.823.616.5年預(yù)測9.916.517.522.022.520.920.825.625.727.223.916.92000原始11.42619.625.927.624.32327.827.328.532.818.5年預(yù)測11.020.519.224.125.023.322.627.827.528.625.518.72001原始11.526.420.426.128.92825.230.828.728.122.220.7年預(yù)測12.225.520.926.527.626.024.630.129.430.027.120.62002原始13.729.723.128.92927.42632.231.432.629.222.9年預(yù)測13.631.722.929.130.629.026.832.731.531.228.922.72003原始15.417.123.511.61.782.618.816.2年預(yù)測15.239.425.132.033.932.429.135.433.733.330.725.12004原始年預(yù)測16.85.3.2、SARS期間旅游人數(shù)預(yù)測的函數(shù)擬合模型對2003年2月到2003年8月期間的數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)2月到4月期間的數(shù)據(jù)具有很大的振蕩性，而5月跌入低谷，然后逐漸增長，向往年正常數(shù)據(jù)恢復(fù)。結(jié)合實際情況分析，2月受廣東SARS影響，人數(shù)減少許多，3月衛(wèi)生部宣布北京不受SARS影響，從而旅游人數(shù)恢復(fù)正常，而4月下旬衛(wèi)生部宣布北京發(fā)現(xiàn)SARS使旅游人數(shù)下降許多，因此從4月開始，旅游人數(shù)就一直受SARS影響，因此只取完全受SARS影響的數(shù)據(jù)，即從2003年5月到2003年8月進(jìn)行處理。從2003年5月開始，旅游人數(shù)將逐漸增長，直至恢復(fù)正常，該問題與經(jīng)濟(jì)

增長模型相類似，因此采用S型函數(shù)進(jìn)行擬合并預(yù)測未來月份旅游人數(shù)。 對2003年5月到8月用灰色預(yù)測模型預(yù)測數(shù)據(jù)作為無SARS影響的正常人數(shù)，以該期間各月實際人數(shù)比預(yù)測的正常人數(shù)定義為該月恢復(fù)率 -，即：.Xi:iL，i=77,...,80

由此我們得到表2的數(shù)據(jù),其中1到代表2003年5月，…，4代表2003年8表4:旅游人數(shù)恢復(fù)率時間t1234恢復(fù)率P0.05240.08060.30220.4578對恢復(fù)率T與時間t可采用如下S型函數(shù)擬合p- : '_1■eabt該函數(shù)采用倒數(shù)及對數(shù)變換可得到關(guān)于參數(shù)a,b的線性模型,abt二In(1/t-1)將表2中數(shù)據(jù)代入可計算出參數(shù)如下：a=4.0275,b=-0.9775即該模型如下：P- 1—鼻丄4.0275-0.9775t1e由此做得圖1：圖四：恢復(fù)率數(shù)據(jù)圖(1代表2003年5月,9代表2004年1月)由此我們可預(yù)測2003年9月到2004年1月的旅游人數(shù)，數(shù)據(jù)見表3表5:有無SARS寸旅游人數(shù)預(yù)測值比較時間2003年9月2003年10月2003年11月2003年12月2004年1月無SARS預(yù)測值33.751333.291230.730925.064516.8484有SARS預(yù)測值23.717028.720328.994624.513116.7069恢復(fù)率卩0.70270.86270.94350.97800.9916從上面可分析出到2004年1月海外旅游人數(shù)可正常恢復(fù)，因此可認(rèn)為到2004年1月后SARS寸海外旅客到華旅游已無影響。SARS從2003年9月到2004年1月造成的旅游人數(shù)減少為S2=17.0344萬人。從而我們可計算出SARS寸旅游人數(shù)的影響時間段為2003年2月到2004年1月，其總共減少人數(shù)為S=SS2=145.7117.0344二162.7444萬人。六、模型的評價與改進(jìn)模型的優(yōu)點：通過對數(shù)據(jù)的分析歸納建立了上述模型，簡單全面又正確合理地反映出了模型主體的特點，并能對某些結(jié)果進(jìn)行合理的預(yù)測。模型的改進(jìn)：由于SARS疫情在傳播蔓延過程中受到許多復(fù)雜因素的影響，如政府關(guān)注力度、群眾認(rèn)識程度、當(dāng)時的醫(yī)療水平等，若要非常全面的建立疫情發(fā)展的模型需要更多的參數(shù)，建立微分方程模型進(jìn)行預(yù)測和求解，但這樣處理起來會更加復(fù)雜。鑒于時間的關(guān)系，我們僅將這種方法在模型改進(jìn)中加以闡述。微分方程模型：、把疫區(qū)的人群分成三類：健康者、病人和移出者 (即病愈者和死亡者)。設(shè)總?cè)藬?shù)為1,三大類人占的比例分別為S(t),I(t),R(t).且有S(t)-T(t)R(t)=1、病人的日接觸率為九，日治愈率為§，傳染期接觸數(shù)為w=：。廿+r 治愈出院其中：=八 確診病例+治愈出院對北京疫情從4月20日到4月29日的數(shù)據(jù)用一元線性回歸擬合得治愈率「?=0.07259o另外，對北京數(shù)據(jù)通過擬合定出高峰期以前的日接觸率1■=0.13914。求得傳染期接觸數(shù)-=1.916679，閾值0.52171。傳染病的傳播一般服從下法則：1、在所考慮的時期內(nèi)，人口總數(shù)保持在固定水平 N(即S(t)T(t)R(t)=1);2、健康者人數(shù)的變化率正比于傳染病患者比例 l(t)與健康者所占比例S(t)的乘積;

3、由患者向移出者轉(zhuǎn)變的速率與患者所占比例 I(t)成正比。記初始時刻的健康者和病人的比例分別為 So(■0)和Io(0),得出傳染病的SIR模型:卩=扎SI—5Idtd^=-7SIdtS(O)=So,I(O)=Io方程②無法求出St和Tt的解析解，我們轉(zhuǎn)到相軌平面s>移出者的初始值i上來討論解的性質(zhì)。相軌線的定義域s,LD移出者的初始值i上來討論解的性TOC\o"1-5"\h\zD￡〔s,i|s_0,i_0,si<V ③d^1-1可得<dSaS ④J「。=I0容易求出方程的解為1sS0 10-SIn ⑤S0l0=339/1481.4104=0.00002288I二—S0.52171lnS1481.4104-339S^-1481.410I二—S0.52171lnS1481.4104-339TOC\o"1-5"\h\zdI 1對5式求導(dǎo)，得d=-V1 .10.52171時,CFdS 10.52171時,CF1所以，當(dāng)S-=0.52171時，隨著時間的增加，It增加。當(dāng)SCFj 1jIt達(dá)到最大值Imax二S°丨0 1ln；「S0=0.138842.CT1當(dāng)s：：：丄=0.52171時，It減少，表示實際病例數(shù)減少。a顯然這些都是符合實際的參考文獻(xiàn)：【1】曹巖李明雨MATLA駅2006a基礎(chǔ)篇，出版地：化學(xué)工業(yè)出版社2007年12月?！?】江世宏MATLAB語言與數(shù)學(xué)實驗，出版地：科學(xué)出版社，2007年8月【3】蕭樹鐵，數(shù)學(xué)實驗，出版地：高等教育出版社， 2001年1月?！?】薛毅，數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)，出版地：北京工業(yè)大學(xué)出版社， 2006年5月?！?】袁新生邵大宏郁時煉LINGO和Excel在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，出版地：科學(xué)出版社2007年1月。附錄：求解問題3的程序：%程序中的變量定義；alpha是包含值的矩陣；ago是預(yù)測后累加值矩陣；var是預(yù)測值矩陣;error是殘差矩陣；c是后驗差比值functiongm1(x); %定義函數(shù)gm1(x)formatlong;%設(shè)置計算精度iflength(x(:,1))==1%對輸入矩陣進(jìn)行判斷，如不是一維列矩陣，進(jìn)行轉(zhuǎn)置變換x=x';endn=length(x);%取輸入數(shù)據(jù)的樣本量z=0;fori=1:n%計算累加值，并將值賦予矩陣bez=z+x(i,:);be(i,:)=z;endfori=2:n%對原始數(shù)列平行移位y(i-1,:)=x(i,:);endfori=1:n-1%計算數(shù)據(jù)矩陣B的第一列數(shù)據(jù)c(i,:)=-0.5*(be(i,:)+be(i+1,:));endforj=1:n-1%計算數(shù)據(jù)矩陣B的第二列數(shù)據(jù)e(j,:)=1;endfori=1:n-1%構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣BB(i,1)=c(i,:);B(i,2)=e(i,:);endalpha=inv(B'*B)*B'*y;%計算參數(shù)矩陣fori=1:n+1%計算數(shù)據(jù)估計值的累加數(shù)列，如改為n+1為n+m可預(yù)測后m-1個值ago(i,:)=(x(1,:)-alpha(2,:)/alpha(1,:))*exp(-alpha(1,:)*(i-1))+alpha(2,:)/alpha(1,:);endvar(1,:)=ago(1,:)fori=1:n%如改n為n+m-1，可預(yù)測后m-1個值var(i+1,:)=ago(i+1,:)-ago(i,:);%估計值的累加數(shù)列的還原，并計算出下一預(yù)測值endfori=1:nerror(i,:)=var(i,:)-x(i,:);%計算殘差endc=std(error)/std(x)%調(diào)用統(tǒng)計工具箱的標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)計算后驗差的比值cclc%alpha%agovarerrorc1月份：var=9.599999999999999.9201421919320911.0287412490572312.2612288398022113.6314497971243015.1547961463965116.84838000777324error=-0.00000000000001-0.17985780806791-0.371258750942770.76122883980221-0.06855020287570-0.24520385360349c=0.182445335832743月份：var=16.8000000000000116.0105679780315917.5105577849927619.1510778607162720.9452941322945522.9076060093845225.05376194608266error=0.000000000000010.21056797803159-0.18944221500724-0.448922139283730.54529413229455-0.19239399061548c=0.131014301974865月份：var=20.3000000000000120.2990432129151122.4982823166815324.9357914011955627.6373851146362330.6316749160043333.95037208722255error=0.000000000000010.799043212915111.49828231668153-2.66420859880444-1.262614885363771.63167491600433c=0.369953325410332月份：var=11.3000000000000013.2593657655930916.4897660042868520.5071937589747525.5033937873226431.7168259253705339.44404635591292error=0.000000000000001.559365765593093.58976600428685-5.49280624102525-0.896606212677362.01682592537053c=0.370887838201824月份：var=19.8000000000000119.9943253295227221.9651342570506124.1302026939548326.5086784918896729.1215968758695631.99206647966696error=0.000000000000010.094325329522730.96513425705061-1.769797306045170.408678491889670.22159687586956c=0.239867640566046月份：var=18.8000000000000118.6979079082976520.8705323925250923.2956074275099626.0024667895404229.0238527261025532.39631200703394error=0.000000000000010.897907908297650.47053239252509-1.00439257249004-1.997533210459581.62385272610255c