![根號1-x的麥克勞林公式_第1頁](http://file4.renrendoc.com/view/84c119bc49b00f65d50f94b85af7d2a7/84c119bc49b00f65d50f94b85af7d2a71.gif)
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文檔簡介
根號1-x的麥克勞林公式麥克勞林公式是一種將函數(shù)在某一點附近展開成冪級數(shù)的方法。將根號1-x在x=0處展開成麥克勞林級數(shù),可以得到以下的表達(dá)式:
根號1-x=1-x/2-(x^2)/8-(x^3)/16-(5*x^4)/128-(7*x^5)/256-(21*x^6)/1024-(33*x^7)/2048-(429*x^8)/32768-(715*x^9)/65536-...
這是一個無窮級數(shù),其中每一項都是x的冪。級數(shù)的每一項都可以通過對原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)來求得,具體的求導(dǎo)方法如下:
首先,根據(jù)冪級數(shù)展開式的理念,我們對根號1-x進(jìn)行展開,得到:
根號1-x=(1/2)*x^(-1/2)-(1/8)*x^(-3/2)+(3/16)*x^(-5/2)-(5/32)*x^(-7/2)+(35/128)*x^(-9/2)-(63/256)*x^(-11/2)+...
接著,我們將展開式中的每一項求導(dǎo),得到:
(1/2)*x^(-1/2)-(1/8)*x^(-3/2)+(3/16)*x^(-5/2)-(5/32)*x^(-7/2)+(35/128)*x^(-9/2)-(63/256)*x^(-11/2)+...
求導(dǎo)后得到
(-1/4)*x^(-3/2)+(3/16)*x^(-5/2)-(15/32)*x^(-7/2)+(35/64)*x^(-9/2)-(35/64)*x^(-11/2)+...
接著,我們再次對得到的級數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),得到:
(3/8)*x^(-5/2)-(15/32)*x^(-7/2)+(105/64)*x^(-9/2)-(385/128)*x^(-11/2)+...
依此類推,我們可以繼續(xù)求導(dǎo),得到根號1-x在x=0處的麥克勞林級數(shù)的所有項。
但是,由于根號1-x這個函數(shù)在x=0處的求導(dǎo)過程比較復(fù)雜,而且求導(dǎo)后的項之間存在一定的規(guī)律,所以我們可以利用其他的方法來求出麥克勞林級數(shù)的具體項。一種可行的方法是利用泰勒級數(shù)的性質(zhì):
根據(jù)泰勒級數(shù)的性質(zhì),我們可以將根號1-x在x=0處的麥克勞林級數(shù)表示為:
根號1-x=f(0)+f'(0)x+(f''(0)/2!)x^2+(f'''(0)/3!)x^3+(f''''(0)/4!)x^4+...
其中,f(0)表示函數(shù)根號1-x在x=0處的函數(shù)值,f'(0)表示它在x=0處的一階導(dǎo)數(shù)的值,f''(0)表示它在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)的值,以此類推。
根據(jù)根號1-x的函數(shù)形式,我們可以得到f(0)=1,f'(0)=-1/2,f''(0)=1/4,f'''(0)=-3/8,f''''(0)=3/16,以此類推。
將這些值代入麥克勞林級數(shù)的表達(dá)式中,得到根號1-x在x=0處展開的麥克勞林級數(shù)為:
根號1-x=1-(1/2)x-(1/8)x^2-(1/16)x^3-(5/128)x^4-(7/256)x^5-(21/1024)x^6-(33/2048)x^7-(429/32768)x^8-(715/65536)x^9-...
這個級數(shù)是根號1-x在x
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