Chapter3-1(矢勢(shì)及其微分方程)解讀課件

第三章靜磁場(chǎng)1第三章靜磁場(chǎng)1主要內(nèi)容超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)阿哈羅夫－玻姆(Aharonov-Bohm)效應(yīng)磁多極矩磁標(biāo)勢(shì)矢勢(shì)及其微分方程2主要內(nèi)容超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)阿哈羅夫－玻姆(Aharonov-B本章重點(diǎn)：1、矢勢(shì)的引入和它滿足的微分方程、靜磁場(chǎng)的能量2、引入磁標(biāo)勢(shì)的條件及磁標(biāo)勢(shì)滿足的方程與靜電勢(shì)方程的比較3、了解A-B效應(yīng)和超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束本章難點(diǎn)：利用磁標(biāo)勢(shì)解決具體問(wèn)題3本章重點(diǎn)：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回§1矢勢(shì)及其微分方程4§1矢勢(shì)及其微分方程4在給定的傳導(dǎo)電流附近可能存在一些磁性物質(zhì)，在電流的磁場(chǎng)作用下，物質(zhì)磁化而出現(xiàn)磁化電流，它反過(guò)來(lái)又激發(fā)附加的磁場(chǎng)。磁化電流和磁場(chǎng)互相約制。與解決靜電學(xué)問(wèn)題一樣，求微分方程邊值問(wèn)題的解。5在給定的傳導(dǎo)電流附近可能存在一些磁性物質(zhì)，在電流的磁場(chǎng)作用下恒定電流磁場(chǎng)的基本方程J是自由電流密度。上兩式結(jié)合物質(zhì)的電磁性質(zhì)方程是解磁場(chǎng)問(wèn)題的基礎(chǔ)。1、矢勢(shì)6恒定電流磁場(chǎng)的基本方程J是自由電流密度。上兩式結(jié)合物質(zhì)的電磁靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)，電場(chǎng)線從正電荷出發(fā)而止于負(fù)電荷，永不閉合，可以引入標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。靜磁場(chǎng)則是有旋無(wú)源場(chǎng)，磁感應(yīng)線總是閉合曲線，一般可以引入另一個(gè)矢量來(lái)描述。由于特性上的顯著差異，描述磁場(chǎng)和電場(chǎng)的方法就有所不同。7靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)，電場(chǎng)線從正電荷出發(fā)而止于負(fù)電荷，永不閉合則B可表為另一矢量的旋度若根據(jù)矢量分析的定理A稱(chēng)為磁場(chǎng)的矢勢(shì)8則B可表為另一矢量的旋度若根據(jù)矢量分析的定理A稱(chēng)為磁場(chǎng)的矢勢(shì)矢勢(shì)A的意義：通過(guò)曲面S的磁通量把B對(duì)任一個(gè)以回路L為邊界的曲面S積分9矢勢(shì)A的意義：通過(guò)曲面S的磁通量把B對(duì)任一個(gè)以回路L為邊界設(shè)S1和S2是兩個(gè)有共同邊界L的曲面，則10設(shè)S1和S2是兩個(gè)有共同邊界L的曲面，則10這正是B的無(wú)源性的表示。因?yàn)槭菬o(wú)源的，在S1和S2所包圍的區(qū)域內(nèi)沒(méi)有磁感應(yīng)線發(fā)出，也沒(méi)有磁感應(yīng)線終止，B線連續(xù)的通過(guò)該區(qū)域，因而通過(guò)曲面S1的磁通量必須等于通過(guò)曲面S2的磁通量。這磁通量由矢勢(shì)A對(duì)S1或S2的邊界的環(huán)量表示。11這正是B的無(wú)源性的表示。因?yàn)槭菬o(wú)源的，在S1和S2所包圍的區(qū)因此，矢勢(shì)A的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過(guò)以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的值沒(méi)有直接的物理意義。12因此，矢勢(shì)A的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過(guò)以該回其中B0為常量。例：設(shè)有沿Z軸方向的均勻磁場(chǎng)13其中B0為常量。例：設(shè)有沿Z軸方向的均勻磁場(chǎng)13由定義式14由定義式14有解另一解15有解另一解15因?yàn)槿我夂瘮?shù)

的梯度的旋度恒為零，故有即A+

與A對(duì)應(yīng)于同一個(gè)磁場(chǎng)B。A的這種任意性是由于只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的A本身沒(méi)有直接的物理意義。16因?yàn)槿我夂瘮?shù)的梯度的旋度恒為零，故有即A+與A對(duì)應(yīng)于同由A的這種任意性，為了方便，我們可以對(duì)它加上一定的限制條件即輔助條件對(duì)于上式總可以找到一個(gè)A適合17由A的這種任意性，為了方便，我們可以對(duì)它加上一定的限制條件即證明：設(shè)有某一解不滿足上式另取一解18證明：設(shè)有某一解不滿足上式另取一解18A’的散度為取

為泊松方程的一個(gè)解，就得證。對(duì)A所加的輔助條件稱(chēng)為規(guī)范條件。19A’的散度為取為泊松方程的一個(gè)解，就得證。對(duì)A所加的輔助條2、矢勢(shì)微分方程在均勻線性介質(zhì)內(nèi)。把B=

H和B=

A代入式

H=J，得矢勢(shì)A的微分方程202、矢勢(shì)微分方程在均勻線性介質(zhì)內(nèi)。把B=H和B=A代由矢量分析公式若取A滿足規(guī)范條件

A=0，得矢勢(shì)的微分方程21由矢量分析公式若取A滿足規(guī)范條件A=0，得矢勢(shì)的微分方A的每個(gè)直角分量Ai滿足泊松方程形式與靜電場(chǎng)

的方程相同22A的每個(gè)直角分量Ai滿足泊松方程形式與靜電場(chǎng)的方程相同22對(duì)比靜電場(chǎng)的解得矢勢(shì)方程的特解式中x是源點(diǎn),x’為場(chǎng)點(diǎn)，r為由x’到x的距離。上式也是第一章中由畢奧－薩伐爾定律導(dǎo)出的公式從畢奧薩伐爾定律可以證明上式滿足規(guī)范條件，因此，該式確實(shí)是微分方程的解。23對(duì)比靜電場(chǎng)的解得矢勢(shì)方程的特解式中x是源點(diǎn),x’為場(chǎng)點(diǎn)，r把磁場(chǎng)的散度和旋度作為基本規(guī)律，從微分方程出發(fā)引入矢勢(shì)A，由A的方程獲得特解，即可求得B。24把磁場(chǎng)的散度和旋度作為基本規(guī)律，從微分方程出發(fā)引入矢勢(shì)A，由過(guò)渡到線電流情形，設(shè)I為導(dǎo)線上的電流強(qiáng)度，作代換JdV

Idl，得這就是畢奧－薩伐爾定律。25過(guò)渡到線電流情形，設(shè)I為導(dǎo)線上的電流強(qiáng)度，作代換JdVId3、矢勢(shì)邊值關(guān)系當(dāng)全空間的電流分布J給定時(shí)，可以計(jì)算磁場(chǎng)。對(duì)于電流和磁場(chǎng)互相制約的問(wèn)題，則必須解矢勢(shì)微分方程的邊值問(wèn)題。263、矢勢(shì)邊值關(guān)系當(dāng)全空間的電流分布J給定時(shí)，可以計(jì)算磁場(chǎng)。磁場(chǎng)邊值關(guān)系可以化為矢勢(shì)A的邊值關(guān)系，對(duì)于非鐵磁介質(zhì)，矢勢(shì)的邊值關(guān)系為在兩介質(zhì)分界面上磁場(chǎng)的邊值關(guān)系為27磁場(chǎng)邊值關(guān)系可以化為矢勢(shì)A的邊值關(guān)系，對(duì)于非鐵磁介質(zhì)，矢勢(shì)在分界面兩側(cè)取一狹長(zhǎng)回路，計(jì)算A對(duì)此狹長(zhǎng)回路的積分。回路短邊長(zhǎng)度趨于零上述邊值關(guān)系式也可以用較簡(jiǎn)單的形式代替。28在分界面兩側(cè)取一狹長(zhǎng)回路，計(jì)算A對(duì)此狹長(zhǎng)回路的積分?；芈范踢呌捎诨芈访娣e趨于零，有因此29由于回路面積趨于零，有因此29若取規(guī)范

A=0，可得即在兩介質(zhì)分界面上，矢勢(shì)A是連續(xù)的。所以30若取規(guī)范A=0，可得即在兩介質(zhì)分界面上，矢勢(shì)A是連續(xù)的4、靜磁場(chǎng)的能量在靜磁場(chǎng)中，可以用矢勢(shì)和電流表示總能量。由B=

A磁場(chǎng)的總能量314、靜磁場(chǎng)的能量在靜磁場(chǎng)中，可以用矢勢(shì)和電流表示總能量。由B則和靜電情形一樣，此式僅對(duì)總能量有意義，不能把A

J/2看作能量密度，因?yàn)槲覀冎滥芰糠植加诖艌?chǎng)內(nèi)，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。32則和靜電情形一樣，此式僅對(duì)總能量有意義，不能把AJ/2看在上式中，矢勢(shì)A是電流分布J本身激發(fā)的。如果我們要計(jì)算某電流分布J在給定外磁場(chǎng)中的相互作用能量，以Ae表示外磁場(chǎng)的矢勢(shì)，Je表示產(chǎn)生該外磁場(chǎng)的電流分布，則總電流分布為J+Je，總磁場(chǎng)矢勢(shì)為A+Ae。33在上式中，矢勢(shì)A是電流分布J本身激發(fā)的。如果我們要計(jì)算某電流此式減去J和Je分別單獨(dú)存在時(shí)的能量之后，得電流J在外場(chǎng)中的相互作用能34此式減去J和Je分別單獨(dú)存在時(shí)的能量之后，得電流J在外場(chǎng)中的由于因此電流J在外場(chǎng)Ae中的相互作用能量為35由于因此電流J在外場(chǎng)Ae中的相互作用能量為35例1無(wú)窮長(zhǎng)直導(dǎo)線載電流I，求磁場(chǎng)的矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度。36例1無(wú)窮長(zhǎng)直導(dǎo)線載電流I，求磁場(chǎng)的矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度。設(shè)P點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離為R,電流元Idz到P點(diǎn)的距離為積分是發(fā)散的。計(jì)算兩點(diǎn)的矢勢(shì)差值可以免除發(fā)散。解利用得37設(shè)P點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離為R,電流元Idz到P點(diǎn)的距離為積分若取R0點(diǎn)的矢勢(shì)為零，計(jì)算可得38若取R0點(diǎn)的矢勢(shì)為零，計(jì)算可得38取A的旋度得磁感應(yīng)強(qiáng)度39取A的旋度得磁感應(yīng)強(qiáng)度39例2半徑為a的導(dǎo)線園環(huán)載電流I，求矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度40例2半徑為a的導(dǎo)線園環(huán)載電流I，求矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度解線圈電流產(chǎn)生的矢勢(shì)為41解線圈電流產(chǎn)生的矢勢(shì)為41用球坐標(biāo)(R,θ,

)，由對(duì)稱(chēng)性可知A只有

分量，A

只依賴(lài)于R,θ,而與

無(wú)關(guān)。因此我們可以選定在xz面上的一點(diǎn)P來(lái)計(jì)算，在該點(diǎn)上A

=

Ay

。取y分量。由于42用球坐標(biāo)(R,θ,)，由對(duì)稱(chēng)性可知A只有分量，A則得上式的積分可用橢園積分表示。當(dāng)時(shí)，可以較簡(jiǎn)單的計(jì)算出近似結(jié)果。43則得上式的積分可用橢園積分表示。當(dāng)時(shí)，可以較簡(jiǎn)單的計(jì)算出近把根式對(duì)若我們要計(jì)算B(R,)到二級(jí)近似。則A

需要算到三級(jí)項(xiàng)。展開(kāi)。在積分表達(dá)式中展開(kāi)式的偶次項(xiàng)對(duì)’積分為零，因此只需保留奇次項(xiàng)。44把根式對(duì)若我們要計(jì)算B(R,)到二級(jí)近似。則A需要算到三包括遠(yuǎn)場(chǎng)此式的適用范圍是和近軸場(chǎng)45包括遠(yuǎn)場(chǎng)此式的適用范