2024屆上海市五十二中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆上海市五十二中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知集合，，那么（）A. B.C. D.2．已知直線：與直線：，則（）A.，平行 B.，垂直C.，關(guān)于軸對(duì)稱 D.，關(guān)于軸對(duì)稱3．形如的函數(shù)因其圖像類似于漢字中的“囧”字，故我們把其生動(dòng)地稱為“囧函數(shù)”.若函數(shù)有最小值，則“囧函數(shù)”與函數(shù)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2C.4 D.64．已知函數(shù)，則的值為（）A.1 B.2C.4 D.55．“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圖象的一條對(duì)稱軸為 B.在上單調(diào)遞增C.在上的最大值為1 D.的一個(gè)零點(diǎn)為7．下列關(guān)于函數(shù)的圖象中，可以直觀判斷方程在上有解的是A. B.C. D.8．已知函數(shù)，則（）A.-1 B.2C.1 D.59．已知直線的方程是，的方程是，則下列各圖形中，正確的是A. B.C. D.10．已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)分別在邊上，,.若，則等于()A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的定義域是________________.12．__________.13．=______14．已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，則___________.15．已知，則的最小值為_______________.16．函數(shù)最小正周期是________________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值與最小值.18．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，，分別為邊和上的點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為2.（1）求證：；（2）求面積的最小值.19．年，全世界范圍內(nèi)都受到“新冠”疫情的影響，了解某些細(xì)菌、病毒的生存條件、繁殖習(xí)性等對(duì)于預(yù)防疾病的傳播、保護(hù)環(huán)境有極其重要的意義.某科研團(tuán)隊(duì)在培養(yǎng)基中放入一定量某種細(xì)菌進(jìn)行研究．經(jīng)過(guò)分鐘菌落的覆蓋面積為，經(jīng)過(guò)分鐘覆蓋面積為，后期其蔓延速度越來(lái)越快；現(xiàn)菌落的覆蓋面積（單位：）與經(jīng)過(guò)時(shí)間（單位：）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇.（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，）（1）試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，說(shuō)明理由，并求出該模型的解析式；（2）在理想狀態(tài)下，至少經(jīng)過(guò)多久培養(yǎng)基中菌落面積能超過(guò)？（結(jié)果保留到整數(shù)）20．如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.21．某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52，54，58為了預(yù)測(cè)以后各月的患病人數(shù)，甲選擇的了模型，乙選擇了模型，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a，b，c，p，q，r都是常數(shù)，結(jié)果4月，5月，6月份的患病人數(shù)分別為66，82，115，1你認(rèn)為誰(shuí)選擇的模型較好？需說(shuō)明理由2至少要經(jīng)過(guò)多少個(gè)月患該傳染病的人數(shù)將會(huì)超過(guò)2000人？試用你選擇的較好模型解決上述問(wèn)題

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】解方程確定集合，然后由交集定義計(jì)算【題目詳解】，∴故選：B2、D【解題分析】根據(jù)題意,可知兩條直線都經(jīng)過(guò)軸上的同一點(diǎn),且兩條直線的斜率互為相反數(shù),即可得兩條直線的對(duì)稱關(guān)系.【題目詳解】因?yàn)?都經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn),且斜率互為相反數(shù),所以,關(guān)于軸對(duì)稱.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩條直線的位置關(guān)系,關(guān)于軸對(duì)稱的直線方程特征,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】令，根據(jù)函數(shù)有最小值，可得，由此可畫出“囧函數(shù)”與函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象，由圖象分析可得結(jié)果.【題目詳解】令，則函數(shù)有最小值∵，∴當(dāng)函數(shù)是增函數(shù)時(shí)，在上有最小值，∴當(dāng)函數(shù)是減函數(shù)時(shí)，在上無(wú)最小值，∴.此時(shí)“囧函數(shù)”與函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如圖所示，由圖象可知，它們的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查學(xué)生畫圖能力和數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用，屬中檔題.4、D【解題分析】根據(jù)函數(shù)的定義域求函數(shù)值即可.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，又，所以故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)根據(jù)定義域求值域的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求的解集，由充分、必要性的定義判斷題設(shè)條件間的關(guān)系即可.【題目詳解】由，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B6、B【解題分析】對(duì)選項(xiàng)A，，即可判斷A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，求出的單調(diào)區(qū)間即可判斷B正確；對(duì)選項(xiàng)C，求出在的最大值即可判斷C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，根據(jù)，即可判斷D錯(cuò)誤.詳解】，.對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)椋?解得，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，所以，，，故錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤.故選：B7、D【解題分析】方程f（x）-2=0在（-∞，0）上有解，∴函數(shù)y=f（x）與y=2在（-∞，0）上有交點(diǎn)，分別觀察直線y=2與函數(shù)f（x）的圖象在（-∞，0）上交點(diǎn)的情況，選項(xiàng)A，B，C無(wú)交點(diǎn)，D有交點(diǎn)，故選D點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了方程有解的問(wèn)題，把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，再把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，特別是利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，要求圖像的畫法要準(zhǔn)確8、A【解題分析】求分段函數(shù)的函數(shù)值，將自變量代入相應(yīng)的函數(shù)解析式可得結(jié)果.【題目詳解】∵在這個(gè)范圍之內(nèi)，∴故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)求函數(shù)值的問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，是簡(jiǎn)單題.9、D【解題分析】對(duì)于D：l1:y=ax+b,l2:y=bx-a.由l1可知a<0,b<0,對(duì)應(yīng)l2也符合,10、C【解題分析】，，即①，同理可得②，①+②得，故選C考點(diǎn)：1．平面向量共線充要條件；2．向量的數(shù)量積運(yùn)算二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、，【解題分析】根據(jù)題意由于有意義，則可知，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)定義域，，，故可知答案為，，，考點(diǎn)：三角函數(shù)性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：主要是考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題12、1【解題分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【題目詳解】原式.故答案為：1.13、【解題分析】由題意結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【題目詳解】原式=3+-2=.故答案為點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題14、【解題分析】依題意方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根、，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得；【題目詳解】解：依題意令，即，所以方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根、，所以，，所以；故答案為：15、##225【解題分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【題目詳解】解：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.16、【解題分析】根據(jù)三角函數(shù)周期計(jì)算公式得出結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)的最小正周期是故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），，；（2）最小值為，最大值為1.【解題分析】（1）由函數(shù)的部分圖象求解析式,由周期求出,代入求出的值,可得函數(shù)的解析式；（2）由以上可得,,再利用正弦函數(shù)的定義域和值域,求得函數(shù)的最值.【題目詳解】（1）根據(jù)函數(shù)的部分圖象,可得，解得，，將代入可得，解得；（2）由以上可得,，，，，當(dāng)時(shí),即,函數(shù)取得最小值為.當(dāng)時(shí),即,函數(shù)取得最大值為1.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)部分圖象求解析式，考查三角函數(shù)給定區(qū)間的最值，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）補(bǔ)形得證明其與全等，從而得證.（2）引進(jìn)參數(shù)，由已知建立參數(shù)變量之間的等量關(guān)系，再用方程根的判別式獲得變量最值，進(jìn)一步得到所求面積最值.【題目詳解】（1）如圖：延長(zhǎng)至，使，連接，則.故，，.又.，即.（2）設(shè)，，，則，，，于是，整理得：，.即.又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立.此時(shí)，因此當(dāng)，時(shí)，取最小值.的最小值為.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：引進(jìn)參數(shù)建立參變量方程，再變換主次元，利用方程根的判別式，確定參數(shù)取值范圍是求最值的方法之一.19、（1）應(yīng)選模型為，理由見解析；（2）【解題分析】（1）根據(jù)增長(zhǎng)速度可知應(yīng)選，根據(jù)已知數(shù)據(jù)可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到函數(shù)模型；（2）根據(jù)函數(shù)模型可直接構(gòu)造不等式，結(jié)合參考數(shù)據(jù)計(jì)算可得，由此可得結(jié)論.小問(wèn)1詳解】的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，應(yīng)選模型為；則，解得：，，又，函數(shù)模型為；【小問(wèn)2詳解】由題意得：，即，，，，至少經(jīng)過(guò)培養(yǎng)基中菌落面積能超過(guò).20、（1）證明略（2）【解題分析】（Ⅰ）要證平面，由已知平面，已經(jīng)有，因此在直角梯形中證明即可，通過(guò)計(jì)算得，而是中點(diǎn)，則有；（Ⅱ）PB與平面ABCD所成的角是，下面關(guān)鍵是作出PB與平面PAE所成的角，由（Ⅰ）作，分別與相交于，連接，則是PB與平面PAE所成的角，由這兩個(gè)角相等，可得，同樣在直角梯形中可計(jì)算出，也即四棱錐P-ABCD的高，體積可得．另外也可建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)空間向量法求得結(jié)論，第（Ⅱ）小題中關(guān)鍵是求點(diǎn)的坐標(biāo)，注意這里直線與平面所成的角相等轉(zhuǎn)化為直線與平面的法向量的夾角相等試題解析：解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，，是的中點(diǎn)，所以所以而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)Ｂ作由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE．于是為直線ＰＢ與平面PAE所成的角，且由知，為直線與平面所成的角由題意，知因?yàn)樗杂伤运倪呅问瞧叫兴倪呅?，故于是在中，所以于是又梯形的面積為所以四棱錐的體積為解法2：如圖（2），以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為：（Ⅰ）易知因?yàn)樗远瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以（Ⅱ）由題設(shè)和（Ⅰ）知，分別是，的法向量，而PB與所成的角和PB與所成的角相等，所以由（Ⅰ）知，由故解得又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為.考點(diǎn)：線面垂直的判斷，棱錐的體積21、（1）應(yīng)將作為模擬函數(shù),理由見解析；（2）個(gè)月.【解題分析】根據(jù)前3個(gè)月的數(shù)據(jù)求出兩個(gè)函數(shù)模型的解析式，再計(jì)算4，5，6