2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊(cè)同步備課試題1-1集合的概念（7大題型）（解析版）

第一章集合與邏輯用語1.1集合的概念（7大題型）分層作業(yè)題型目錄考查題型一：集合的含義考查題型二：元素與集合的關(guān)系考查題型三：集合中元素的特性及應(yīng)用考查題型四：用列舉法表示集合考查題型五：用描述法表示集合考查題型六：集合表示法的綜合應(yīng)用考查題型七：集合含義的拓展考查題型一：集合的含義1．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列各選項(xiàng)中能構(gòu)成集合的是（

）A．學(xué)生中的跑步能手 B．中國(guó)科技創(chuàng)新人才C．地球周圍的行星 D．唐宋散文八大家【答案】D【解析】對(duì)于A，學(xué)生中的跑步能手不具有確定性，所以不能構(gòu)成集合，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，中國(guó)科技創(chuàng)新人才不具有確定性，所以不能構(gòu)成集合，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，地球周圍的行星不具有確定性，所以不能構(gòu)成集合，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，唐宋散文八大家分別為唐代柳宗元、韓愈和宋代歐陽修、蘇洵、蘇軾、蘇轍、王安石、曾鞏八位，研究的對(duì)象是確定的，可能構(gòu)成集合，所以D正確，故選：D2．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）①聯(lián)合國(guó)安全理事會(huì)常任理事國(guó)；②充分接近的所有實(shí)數(shù)；③方程的實(shí)數(shù)解；④中國(guó)著名的高等院校.以上對(duì)象能構(gòu)成集合的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④【答案】B【解析】對(duì)①，聯(lián)合國(guó)安全理事會(huì)常任理事國(guó)包括中國(guó)、法國(guó)、美國(guó)、俄羅斯、英國(guó)，能構(gòu)成集合.對(duì)②，充分接近的所有實(shí)數(shù)，不滿足集合的確定性，不能構(gòu)成集合，對(duì)③，方程，，方程無實(shí)根，集合為空集，對(duì)④，中國(guó)著名的高等院校，不滿足集合的確定性，不能構(gòu)成集合，故選：B3．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．某班中年齡較小的同學(xué)能夠形成一個(gè)集合B．由1，2，3和，1，組成的集合不相等C．不超過20的非負(fù)數(shù)組成一個(gè)集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解構(gòu)成的集合中有3個(gè)元素【答案】C【解析】A項(xiàng)中元素不確定，故不能構(gòu)成集合，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)中兩個(gè)集合元素相同，因集合中的元素具有無序性，所以兩個(gè)集合相等，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)中方程的解分別是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互異性知，構(gòu)成的集合含2個(gè)元素，故錯(cuò)誤.不超過20的非負(fù)數(shù)組成一個(gè)集合，故正確.故選：.4．（2023·河南信陽·高一校考期中）考察下列每組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是（）①中國(guó)各地的美麗鄉(xiāng)村；②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)；③不小于的自然數(shù)；④截止到年月日，參與“一帶一路”的國(guó)家．A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④【答案】B【解析】對(duì)于①，“美麗”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合集合中元素的確定性，①中對(duì)象不能構(gòu)成集合；對(duì)于②③④，每組對(duì)象的標(biāo)準(zhǔn)明確，都符合集合中元素的確定性，②③④中對(duì)象可以構(gòu)成集合.故選：B.5．（2023·重慶萬州·高一?？计谥校┫铝懈鹘M對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（

）A．參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的學(xué)生 B．小于的正整數(shù)C．年高考數(shù)學(xué)試卷上的難題 D．所有有理數(shù)【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的學(xué)生，是確定的，沒有重復(fù)的，所以能構(gòu)成集合；對(duì)于B選項(xiàng)，小于的正整數(shù)，所研究的正整數(shù)，是確定的，沒有重復(fù)的，所以能構(gòu)成集合；對(duì)于C選項(xiàng)，年高考數(shù)學(xué)試卷上的難題，多難的題才算是難題，有一定的不確定性，不符合集合中元素的確定性，故不能構(gòu)成集合；對(duì)于D選項(xiàng)，所有有理數(shù)，所研究的有理數(shù)，是確定的，沒有重復(fù)的，所以能構(gòu)成集合；故選：C.6．（2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第四中學(xué)?？计谥校┫铝懈鹘M對(duì)象不能組成集合的是（

）A．大于6的所有整數(shù) B．高中數(shù)學(xué)的所有難題C．被3除余2的所有整數(shù) D．函數(shù)y＝x圖象上所有的點(diǎn)【答案】B【解析】對(duì)于A，大于6的所有整數(shù)能構(gòu)成集合，故A能組成集合；對(duì)于B，高中數(shù)學(xué)的所有難題標(biāo)準(zhǔn)不確定，所以B不能構(gòu)成集合對(duì)于C，被3除余2的所有整數(shù)能構(gòu)成集合，故C能組成集合；對(duì)于D，所有函數(shù)y＝x圖象上所有的點(diǎn)能構(gòu)成集合，故D能組成集合．故選：B．考查題型二：元素與集合的關(guān)系1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正確的個(gè)數(shù)為______.【答案】3【解析】是無理數(shù)，屬于實(shí)數(shù)，①正確；是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，②正確；0表示一個(gè)元素，表示一個(gè)集合，③錯(cuò)誤；N表示從0開始的所有自然數(shù)集合，，④錯(cuò)誤；是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)，⑤錯(cuò)誤；Z表示所有整數(shù)的集合，-3是整數(shù)，，⑥正確；故答案為：3.2．（2023·上海浦東新·高一統(tǒng)考期末）____________.（用符號(hào)“”或“”填空）【答案】【解析】.故答案為：.3．（2023·上海青浦·高三上海市青浦高級(jí)中學(xué)校考期中）已知集合，若，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】【解析】因?yàn)?，，則有，解得，故答案為：4．（2023·福建三明·高一三明一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，則_______.（填“”或“”）【答案】【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以；故答案為：5．（2023·高一單元測(cè)試）用符號(hào)“”或“”填空：（1）設(shè)集合B是小于的所有實(shí)數(shù)的集合，則______B，______B；（2）設(shè)集合D是由滿足方程的有序?qū)崝?shù)對(duì)組成的集合，則－1______D，______D．【答案】【解析】（1）∵，∴．∵，∴．（2）∵集合D中的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)，而－1不是有序?qū)崝?shù)對(duì)，∴．∵，∴是滿足方程的有序?qū)崝?shù)對(duì)，∴．故答案為：，，，.6．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合A含有兩個(gè)元素a和a2，若2∈A，則實(shí)數(shù)a的值為________．【答案】或【解析】因?yàn)?∈A，所以或，即或.故答案為：或7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合A的所有元素為2，4，6，若，且有，則a的值是______.【答案】2或4【解析】若，則，符合題意；若，則，符合題意；若，則，不符合題意.故答案為:2或4.8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則a的值為______.【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t當(dāng)，即，此時(shí)，矛盾，若，解得，此時(shí)，，符合題意，即，而，即，所以a的值為.故答案為：考查題型三：集合中元素的特性及應(yīng)用1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，，已知且，則的取值集合為________.【答案】【解析】因?yàn)?，即，所以或，若，則或；若，即，則或.由與互異，得，故或，又，即，所以，解得且，綜上所述，的取值集合為.故答案為：2．（2023·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┤艏希瑒t實(shí)數(shù)可取的值的全體所構(gòu)成的集合為__．【答案】【解析】∵，∴且；所以，實(shí)數(shù)可取的值的全體所構(gòu)成的集合為；故答案為：3．（2023·廣東惠州·高一統(tǒng)考期中）非空有限數(shù)集滿足：若，，則必有，，．則滿足條件且含有兩個(gè)元素的數(shù)集______．（寫出一個(gè)即可）【答案】（或）【解析】不妨設(shè)，根據(jù)題意有，ab，所以，，中必有兩個(gè)是相等的．若，則，故，又或，所以（舍去）或或，此時(shí)．若，則，此時(shí)，故，此時(shí)．若，則，此時(shí)，故，此時(shí)．綜上，或．故答案為：（或）4．（2023·海南海口·高一?？茧A段練習(xí)）含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為，也可以示為，則的值為____.【答案】【解析】由題意，若，則或，檢驗(yàn)可知不滿足集合中元素的互異性，所以，則，所以，則，故.故答案為：.5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)書架上有九個(gè)不同種類的書各5本，那么由這個(gè)書架上的書組成的集合中含有_____個(gè)元素.【答案】9【解析】若集合中的元素滿足互異性，故九個(gè)不同種類的書，對(duì)應(yīng)9個(gè)元素.故答案為：96．（2023·上海·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）“notebooks”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合中的元素個(gè)數(shù)是______________【答案】7【解析】根據(jù)集合中元素的互異性，“notebooks”中的不同字母為“n，o，t，e，b，k，s”，共7個(gè)，故該集合中的元素個(gè)數(shù)是7；故答案為：7.考查題型四：用列舉法表示集合1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，那么可能取的所有值組成集合是______.【答案】【解析】a，b是非零實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以所求集合是.故答案為：2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用列舉法寫出集合＝__________.【答案】【解析】由且，得或或或或或或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故.故答案為：3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是，則_____.【答案】【解析】當(dāng)都為正數(shù)時(shí)，可得；當(dāng)都為負(fù)數(shù)時(shí)，可得；當(dāng)兩正一負(fù)時(shí)，可得；當(dāng)一正兩負(fù)時(shí)，可得，所以集合.故答案為：.4．（2023·上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)?？计谥校┯昧信e法表示集合__．【答案】【解析】由題意得，所以，所以.故答案為:.5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用列舉法表示下列集合(1)以內(nèi)非負(fù)偶數(shù)的集合；(2)方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(3)一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合．【解析】（1）以內(nèi)的非負(fù)偶數(shù)有，所以構(gòu)成的集合為，（2）的根為，所以所有實(shí)數(shù)根組成的集合為，（3）聯(lián)立和，解得，所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)為，構(gòu)成的集合為6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用列舉法表示下列集合：(1){x|x是14的正約數(shù)}；(2){(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}；(3){(x,y)|x＋y＝2,x－2y＝4}；(4){x|x＝(－1)n,n∈N}；(5){(x,y)|3x＋2y＝16,x∈N,y∈N}.【解析】根據(jù)集合的列舉法的概念即得.（1）{x|x是14的正約數(shù)}={1,2,7,14}.（2）{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.（3）{(x,y)|x＋y＝2,x－2y＝4}=.（4）{x|x＝(－1)n,n∈N}={－1,1}.（5）{(x,y)|3x＋2y＝16,x∈N,y∈N}={(0,8),(2,5),(4,2)}.考查題型五：用描述法表示集合1．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）表示下列集合：(1)請(qǐng)用列舉法表示方程的解集；(2)請(qǐng)用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；(3)請(qǐng)用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合；(4)請(qǐng)用描述法表示二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合．【解析】（1）方程的解集為.（2）用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為.（3）用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合為，.（4）用描述法表示二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合為．2．（2023·河南周口·高一周口恒大中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合；(2)不等式的解集；(3)方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；(4)拋物線上所有點(diǎn)組成的集合；(5)集合.【解析】（1）所有被3整除的整數(shù)組成的集合，用描述法可表示為：（2）不等式的解集，用描述法可表示為：.（3）方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合，用描述法可表示為：.（4）拋物線上所有點(diǎn)組成的集合，用描述法可表示為：.（5）集合，用描述法可表示為：且.3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用描述法表示下列集合：(1)奇數(shù)組成的集合；(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的點(diǎn)組成的集合．【答案】(1)；(2).【分析】利用集合的描述法即得.（1）奇數(shù)組成的集合為；（2）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的點(diǎn)組成的集合為.4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）試用描述法表示下列集合：（1）比3的倍數(shù)多1的整數(shù)；（2）不等式的解集；（3）一次函數(shù)圖象上的所有的點(diǎn)．【解析】（1）比3的倍數(shù)多1的整數(shù)可表示為,用描述法表示這樣的整數(shù)構(gòu)成的集合為；（2）由解得,不等式的解集為；設(shè)一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則一次函數(shù)圖象上的所有的點(diǎn)的集合為.5．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用描述法表示不等式的解集為________．【答案】【解析】由不等式，解得，則用描述法表示不等式的解集為．故答案為：6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）集合表示的是__________.【答案】第三象限內(nèi)點(diǎn)的集合【解析】由，解得，則集合表示的是第三象限內(nèi)點(diǎn)的集合.故答案為：第三象限內(nèi)點(diǎn)的集合考查題型六：集合表示法的綜合應(yīng)用1．（2023·陜西渭南·高三校考階段練習(xí)）已知集合，寫出一個(gè)滿足集合至少有5個(gè)元素的的值：______．【答案】（答案不唯一）【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足題目要求，故答案為：（答案不唯一）2．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）用表示非空集合A中元素的個(gè)數(shù)：定義，若，，且，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成集合S，__________；【答案】【解析】由已知，而，則或3，顯然的一個(gè)解是，若，則，滿足題意；若，則，方程已有兩個(gè)根和，有兩個(gè)相等的實(shí)根且不為0和，，，時(shí)，的解為．時(shí)，的解為．均滿足題意．綜上．故答案為：．3．（2023·北京·高一清華附中?？计谥校?duì)于實(shí)數(shù)集合、，定義，給出下列4個(gè)命題：①；②；③若，則；④若，則．其中，所有正確命題的序號(hào)是_____________．【答案】①②【解析】①，，顯然，①正確②，，所以，②正確③當(dāng)，，由題意得：，但，③錯(cuò)誤；④當(dāng)，，，其中，，所以，但，④錯(cuò)誤故答案為：①②4．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合．(1)若，則是否存在，使成立？(2)對(duì)于任意，是否一定存在，使，證明你的結(jié)論．【解析】（1）設(shè)，令，，則.故若，則存在，使成立．（2）不一定存在，使，證明如下：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)存在，使；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在，使成立．故對(duì)于任意，不一定存在，使.5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若，則．(1)若，求出中其它所有元素；(2)0是不是集合中的元素？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)數(shù)，再求出中的所有元素？(3)根據(jù)（1）（2），你能得出什么結(jié)論．【解析】（1）由題意，可知，則，，，，所以A中其他所有元素為，，2．（2）假設(shè)，則，而當(dāng)時(shí)，不存在，假設(shè)不成立，所以0不是A中的元素．取，則，，，，所以當(dāng)時(shí)，A中的元素是3，，，．（3）猜想：A中沒有元素，0，1；A中有4個(gè)元素，其中2個(gè)元素互為負(fù)倒數(shù)，另外2個(gè)元素也互為負(fù)倒數(shù)．由（2）知0，，若，則，與矛盾，則有，即，0，1都不在集合A中．若實(shí)數(shù)，則，，，．結(jié)合集合中元素的互異性知，A中最多只有4個(gè)元素，，，且，．顯然，否則，即，無實(shí)數(shù)解．同理，，即A中有4個(gè)元素．所以A中沒有元素，0，1；A中有4個(gè)元素，其中2個(gè)元素互為負(fù)倒數(shù)，另外2個(gè)元素也互為負(fù)倒數(shù)．6．（2023·上海長(zhǎng)寧·高一上海市延安中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)集合；(1)判斷元素7是否屬于，并說明理由；(2)已知實(shí)數(shù)，證明：；(3)對(duì)任意，判斷是否是集合中的元素？并證明你的結(jié)論；【解析】（1）若，則，又，所以或或或，解得或或或，顯然滿足要求，所以.（2）若，則，而可分解為一個(gè)奇數(shù)與偶數(shù)的乘積形式，不妨令或或或，解得或或或，，顯然不符合，所以.（3），證明如下：由，即，且，所以，顯然、，故.考查題型七：集合含義的拓展1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）進(jìn)才中學(xué)1996年建校至今，有一同學(xué)選取其中8個(gè)年份組成集合，設(shè)，，若方程至少有六組不同的解，則實(shí)數(shù)k的所有可能取值是_________.【答案】【解析】集合A中，從小到大8個(gè)數(shù)中，設(shè)兩數(shù)的差為正：則相鄰兩數(shù)的差：1，3，2，6，2，1，3；間隔一個(gè)數(shù)的兩數(shù)差：4，5，8，8，3，4；間隔二個(gè)數(shù)的兩數(shù)差：6，11，10，9，6；間隔三個(gè)數(shù)的兩數(shù)差：12，13，11，12；間隔四個(gè)數(shù)的兩數(shù)差：14，14，14；間隔五個(gè)數(shù)的兩數(shù)差：15，17；間隔六個(gè)數(shù)的兩數(shù)差：18；這28個(gè)差數(shù)中，3出現(xiàn)3次，6出現(xiàn)3次，14出現(xiàn)3次，其余都不超過2次，故k取值為：3，6，14時(shí)，方程至少有六組不同的解，所以k的可能取值為：，故答案為：2．（2023·上海·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，，集合，則中元素的個(gè)數(shù)為___________.【答案】46【解析】由題意，集合當(dāng)時(shí)，，故對(duì)應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故對(duì)應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故對(duì)應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)，其中有3個(gè)數(shù)1，2，3與時(shí)重復(fù)；當(dāng)時(shí)，，故對(duì)應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故對(duì)應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故對(duì)應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；故中元素的個(gè)數(shù)為故答案為：463．（2023·福建龍巖·高一校聯(lián)考期中）定義集合?的一種運(yùn)算：，若，，則___________.【答案】【解析】∵，，，∴故答案為：{2，3，4，5}4．（2023·江西吉安·高一江西省遂川中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是4個(gè)有理數(shù)，使得，則________.【答案】3【解析】依題意，集合，即，則.所以.故答案為：5．（2023·上海浦東新·高一華師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知M是滿足下列條件的集合：①，；②若、，則；③若且，則.(1)判斷是否正確，說明理由；(2)證明：“若，則”是真命題；(3)證明：若，，則.【解析】（1）正確，理由如下：由①②可知，，，由③可知，.（2）由②可知，對(duì)于，，故只需證明對(duì)于，，由(1)中知，，由，，假設(shè)正整數(shù)，則，故對(duì)于，都成立，從而“若，則”是真命題.（3）若，且，由①②知，，，由③知，，，又由②③知，，則，又由②知，，因?yàn)?，，故時(shí)，，因?yàn)?，，所以，，所以?2)知，，則，，又由，則，又因?yàn)?，所以，從而，故，從而?6．（2023·河南南陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，求集合A滿足下列條件時(shí)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合(1)集合A中有且僅有一個(gè)元素;(2)集合A中有兩個(gè)元素；【答案】(1)；(2)或.【分析】將集合中元素的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成方程解的個(gè)數(shù)，然后利用方程解的情況求解即可.（1）集合中有且僅有一個(gè)元素，即方程只有一個(gè)解，①當(dāng)時(shí)，方程為，解得，符合要求；②當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，，解得；所以的所有可能取值構(gòu)成的集合為.（2）集合中有兩個(gè)元素，即方程為一元二次方程，，且方程有兩個(gè)解，所以，解得，所以的所有可能取值構(gòu)成的集合為或.7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（1）如果集合，，證明：．（2）如果集合，整數(shù)互素，那么是否存在x，使得x和都屬于B？若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】解:（1）證明：因?yàn)?，所以可設(shè)，，其中，，，，則．由，，，，可知，，因此．（2）設(shè)，則（整數(shù)m，n互素），所以．若，則與是互素的整數(shù)．又m與n互素，所以，所以當(dāng)m，n互素，且時(shí)，且．如取，，得，．綜上，存在x，使得x與都屬于集合B，如．（注：x的取值不唯一．）8．（2023·北京·高一北京市第十三中學(xué)?？计谥校┰O(shè)A是實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合為集合A的生成集．(1)當(dāng)時(shí)，寫出集合A的生成集B；(2)若A是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值．【解析】（1）根據(jù)題意，，，（2）設(shè)，不妨設(shè)，所以中元素個(gè)數(shù)大于等于7個(gè)，所以生成集合中元素個(gè)數(shù)最小值為7.1．（2023·廣西河池·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由集合，因?yàn)?，所以．故選：B．2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下面有四個(gè)結(jié)論:①集合中最小數(shù)為1；②若，則；③若，，則的最小值為2；④所有的正數(shù)組成一個(gè)集合.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①集合中最小數(shù)為，故①錯(cuò)誤；②取，則，故②錯(cuò)誤；③若，，則的最小值為2，錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤；④所有的正數(shù)組成一個(gè)集合，故④正確；故選：B.3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則可用列舉法將集合表示為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)榧鲜屈c(diǎn)集或數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合，其中均屬于集合，所以用列舉法可表示為．故選：D.4．（2023·高一單元測(cè)試）已知集合，，若，則a等于（

）A．－1或3 B．0或1C．3 D．－1【答案】C【解析】由有，解得，.當(dāng)時(shí)，與集合元素的互異性矛盾，舍去.當(dāng)時(shí)，，滿足題意.故選：C.5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）集合中的三個(gè)元素分別表示某一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)度，那么這個(gè)三角形一定不是（）A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【解析】根據(jù)集合中元素的互異性得，故三角形一定不是等腰三角形.故選：A.6．（2023·廣西欽州·高一統(tǒng)考期末）當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集滿足：如果，，則，，，且時(shí)，時(shí)，我們稱就是一個(gè)數(shù)域以下關(guān)于數(shù)域的說法：是任何數(shù)域的元素若數(shù)域有非零元素，則集合是一個(gè)數(shù)域．有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域其中正確的選項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于①，當(dāng)且時(shí)，所以是任何數(shù)域的元素，①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，且時(shí)，由數(shù)域定義知，所以1+1=2，1+2=3,...1+2018=2019，故選項(xiàng)②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，,故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；對(duì)于④，如果，，則則，，,且時(shí)，,所以有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域.故選：A7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合A的元素滿足條件:若a∈A，則∈A(a≠1)，當(dāng)∈A時(shí)，則集合A中元素的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】∵∈A，∴=2∈A.∵2∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A.∴集合A中有四個(gè)元素.故選：D8．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）對(duì)于、，規(guī)定，集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】分、的奇偶性相同和奇偶性不同兩種情況討論：①如果、的奇偶性相同，且、，此時(shí)，可為：、、、、、、、、、、，共個(gè)；②如果、的奇偶性不同，且、，此時(shí)，可為：、、、，共個(gè).因此，集合的元素個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C.9．（多選題）（2023·陜西咸陽·高一?？茧A段練習(xí)）整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即，其中．以下判斷正確的是（

）A． B．C． D．若，則整數(shù)a，b屬同一類【答案】ACD【解析】對(duì)A，，即余數(shù)為1，正確；對(duì)B，，即余數(shù)為3，錯(cuò)誤；對(duì)C，易知，全體整數(shù)被5除的余數(shù)只能是0,1,2,3,4，正確；對(duì)D，由題意能被5整除，則分別被5整除的余數(shù)相同，正確.故選：ACD.10．（多選題）（2023·湖北武漢·高一期中）用表示非空集合A中元素的個(gè)數(shù)，定義，已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值可能為（

）A． B． C． D．2021【答案】CD【解析】由，可得，若，有（舍去）或.當(dāng)時(shí)，方程組中消去有：，則，解得：，可得若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，可知選項(xiàng)為:.故選：CD11．（多選題）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，則下列是集合中的元素的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ABD【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，，，，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，，，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：若，則存在，使得，則，易知和同奇或同偶，若和都是奇數(shù)，則為奇數(shù)，而是偶數(shù)，矛盾；若和都是偶數(shù)，則能被整除，而不能被整除，矛盾，所以，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：，，，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.12．（多選題）（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)非空集合滿足：當(dāng)時(shí)，有.給出如下四個(gè)命題，其中正確命題的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．【答案】ABC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，根據(jù)當(dāng)時(shí)，有，可得，得，可得，故，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，則，解得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，即，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，時(shí)，此時(shí)符合題意，D錯(cuò).故選：ABC．13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，則集合B中元素的個(gè)數(shù)為______.【答案】6【解析】因?yàn)椋?，，所以時(shí)，；時(shí)，或，時(shí)，或3或4.，所以集合B中元素的個(gè)數(shù)為6.故答案為：6.14