數(shù)學(xué)知識(shí)-函數(shù)極限及導(dǎo)數(shù)、微積分課件

函數(shù)及其極限一、函數(shù)概念1、變量：在某一過(guò)程中，數(shù)值不斷變化的量，稱為變量。變量的變化范圍稱為變域D，變域常常由區(qū)間組成。例1：從高度為20米的樓頂落下的物體，在下落的過(guò)程中，其距地面的高度h即為一變量。顯然：：0≤h≤20。函數(shù)及其極限一、函數(shù)概念1、變量：在某一過(guò)程中，數(shù)值不斷變化12、函數(shù)概念設(shè)x,y

為同一變化過(guò)程中的兩個(gè)變量，如果變量x在其變域D內(nèi)任意取定一個(gè)值，變量y都有唯一確定的值與之相對(duì)應(yīng)，就稱y是x的函數(shù)。x稱為自變量。函數(shù)y也稱為因變量。在例1中，物體的落下的高度h顯然是時(shí)間t的函數(shù)，地面樓頂f表示某種確定的關(guān)系。自變量x的變化范圍——函數(shù)的定義域所有函數(shù)值y的集合——函數(shù)的值域。2、函數(shù)概念設(shè)x,y為同一變化過(guò)程中的兩個(gè)變量2數(shù)學(xué)函數(shù)的定義域，由數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)式確定。物理函數(shù)的定義域，由具體的物理過(guò)程確定。若是數(shù)學(xué)函數(shù)，其定義域?yàn)椋喝羰俏锢砗瘮?shù)，表示圓的面積S與半徑r的關(guān)系。其定義域?yàn)椋汉瘮?shù)y也可依賴于多個(gè)自變量：稱為多元函數(shù)，記為：例如，兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的靜電力：數(shù)學(xué)函數(shù)的定義域，由數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)式確定。物理函數(shù)的定義域，由3二、函數(shù)的極限概念（不是數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義）函數(shù)的自變量x趨近于（無(wú)限接近于）某一數(shù)值x0

時(shí)，若函數(shù)f(x)也趨于某一固定值A(chǔ)。則稱A為x趨于x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限。記為：例：二、函數(shù)的極限概念（不是數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義）函數(shù)的自變量x4從上例知，f(x)在x=3時(shí)沒(méi)有意義，但x→3時(shí)，f(x)的極限可以存在。三、自變量的增量和函數(shù)的增量在函數(shù)y=f(x)的定義域中，設(shè)自變量x由x0變到x，相應(yīng)的函數(shù)值由f(x0)變?yōu)閒(x)。則：從上例知，f(x)在x=3時(shí)沒(méi)有意義，但x→3時(shí)，f(5數(shù)學(xué)知識(shí)-函數(shù)極限及導(dǎo)數(shù)、微積分課件6四、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（變化率）1）、問(wèn)題的引入：求函數(shù)曲線在A點(diǎn)的切線Aτ斜率：先考慮在曲線上另取一B點(diǎn)，作割線AB。求割線AB的斜率。四、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（變化率）1）、問(wèn)題的引入：求函數(shù)曲線在A點(diǎn)7由圖，得割線AB的斜率：能否以該斜率代替切線τ的斜率，即以割線AB代替切線Aτ？以割線代替切線肯定會(huì)有誤差，誤差的大小和Δx的大小有關(guān)。由圖，得割線AB的斜率：能否以該斜率代替切線τ的斜率，即以割8顯然，當(dāng)Δx→0時(shí)，B點(diǎn)無(wú)限接近A點(diǎn)，即割線AB無(wú)限接近切線Aτ。由此，得計(jì)算切線Aτ斜率的方法：上述極限記為：可見(jiàn)，數(shù)學(xué)上提出了這樣一種計(jì)算要求：計(jì)算函數(shù)增量Δy與自變量增量Δx之比（商），在Δx趨于零時(shí)的極限。物理學(xué)上，也有類似的計(jì)算要求（舉例）。顯然，當(dāng)Δx→0時(shí)，B點(diǎn)無(wú)限接近A點(diǎn)，即割線AB無(wú)限接近切線92）導(dǎo)數(shù)的定義：綜上討論，得出函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，如下：設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0處，自變量增加Δx，即由x0

變?yōu)閤0+Δx；相應(yīng)的函數(shù)增量：Δy=f(x0+Δx)-f(x0)與自變量增量Δx之比，在Δx→0時(shí)的極限，稱為函數(shù)f(x)在x0的導(dǎo)數(shù)。2）導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0處，自變10解：x由x0→x0+Δx時(shí)，從上例可歸納出求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般步驟：1）計(jì)算自變量增加Δx時(shí)，函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。3）計(jì)算增量比值的極限。2）計(jì)算增量的比值（商）:該極限值即稱為函數(shù)f(x)在x0的導(dǎo)數(shù)。解：x由x0→x0+Δx時(shí)，從上例可歸納出求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般步11在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，x0

可在函數(shù)的定義域內(nèi)任意取值。因此，導(dǎo)數(shù)也是自變量x的函數(shù)，稱為導(dǎo)函數(shù)。記為：在大學(xué)物理學(xué)中，一些物理量之間的關(guān)系就是導(dǎo)數(shù)關(guān)系。3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：從導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)的變化快慢。在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，x0可在函數(shù)的定義域內(nèi)任意取值。因此，導(dǎo)數(shù)也是124）基本求導(dǎo)公式：5）函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)：4）基本求導(dǎo)公式：5）函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)：13數(shù)學(xué)知識(shí)-函數(shù)極限及導(dǎo)數(shù)、微積分課件146）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：6）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：157）矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：7）矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：16五、高階導(dǎo)數(shù)對(duì)導(dǎo)函數(shù)繼續(xù)求導(dǎo)數(shù)，所得結(jié)果就是原來(lái)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。類似可定義三階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)……n階導(dǎo)數(shù)。二階以上導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。大學(xué)物理學(xué)中，一般只用到二階導(dǎo)數(shù)。五、高階導(dǎo)數(shù)對(duì)導(dǎo)函數(shù)繼續(xù)求導(dǎo)數(shù)，所得結(jié)果就是原來(lái)函數(shù)的二階導(dǎo)17六、利用導(dǎo)數(shù)求極值和極值設(shè)右圖為函數(shù)f(x)在oxy坐標(biāo)上的曲線。曲線上，A、B點(diǎn)的函數(shù)值要比它鄰近點(diǎn)的函數(shù)值要大，點(diǎn)A、B稱為f(x)的極大值點(diǎn)，函數(shù)值f(xA),f(xB)稱為極大值。而C點(diǎn)的函數(shù)值要比它鄰近點(diǎn)的函數(shù)值要小，稱為f(x)的極小值點(diǎn)。f(xC)稱為極小值。極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，相應(yīng)的函數(shù)值稱為極值。從圖可知，函數(shù)曲線在極值點(diǎn)的切線與x軸平行，即，極值點(diǎn)處，函數(shù)曲線切線的斜率為零。亦即函數(shù)在極值點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)等于零。六、利用導(dǎo)數(shù)求極值和極值設(shè)右圖為函數(shù)f(x)在oxy坐標(biāo)上的18所以，要求函數(shù)的極值點(diǎn)，只需求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，令其為零即可。極大值：+1；極小值：-1所以，要求函數(shù)的極值點(diǎn)，只需求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，令其為零即可。19七、函數(shù)的不定積分1、原函數(shù)概念：對(duì)于函數(shù)f(x)，若有函數(shù)F(x)存在，使得在x的定義域上的任一點(diǎn)x。都有：因常數(shù)C的導(dǎo)數(shù)等于零。所以，若F(x)是f(x)的原函數(shù)，則F(x)+C也是f(x)的原函數(shù)（C是任意常數(shù)）。原函數(shù)包含無(wú)窮多個(gè)函數(shù)，這些函數(shù)彼此間相差一個(gè)常數(shù)。七、函數(shù)的不定積分1、原函數(shù)概念：對(duì)于函數(shù)f(x)，若有函數(shù)202、不定積分函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)的全體集合稱為f(x)的不定積分。記為：顯然，只要找出f(x)的任一一個(gè)原函數(shù)F(x)，也就求出了f(x)的所有原函數(shù)的整體：F(x)+C從不定積分的定義知，求不定積分和求導(dǎo)數(shù)是互為逆運(yùn)算的。直接從求導(dǎo)數(shù)公式，可得出求不定積分公式。2、不定積分函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)的全體集合稱為f(x)的213、不定積分的性質(zhì)3、不定積分的性質(zhì)22八、定積分1、定積分的引入：計(jì)算曲邊梯形面積?？紤]由函數(shù)：再考慮由函數(shù)：該如何計(jì)算這一面積？八、定積分1、定積分的引入：計(jì)算曲邊梯形面積?？紤]由函數(shù)：再23這時(shí)，可將整個(gè)曲邊梯形分成許多與y

軸平行的小窄長(zhǎng)條。每一個(gè)小窄長(zhǎng)條都可近似看做長(zhǎng)方形（右圖）。任取一個(gè)小長(zhǎng)窄條，如第i個(gè)。其面積近似為：整個(gè)曲邊梯形面積近似等于所有這樣的小長(zhǎng)條面積之和，即：近似程度顯然和每個(gè)小長(zhǎng)條的寬度Δxi有關(guān)。這時(shí)，可將整個(gè)曲邊梯形分成許多任取一個(gè)小長(zhǎng)窄條，如第i個(gè)。24此式即得出曲邊梯形的面積。此式即得出曲邊梯形的面積。252、定積分的計(jì)算（牛頓——萊布尼茲公式）然后，將定積分的上、下限代入原函數(shù)中，求出其差值即可。2、定積分的計(jì)算（牛頓——萊布尼茲公式）然后，將定積分的上、263、定積分的性質(zhì)意義：曲邊梯形的面積等于虛線