微積分初步課件

《微積分初步》導數可應用于求各種變化率，如求變速直線運動的速度、加速度、切線的斜率，經濟的邊際等問題。介紹微分的概念及應用。介紹積分的概念及應用。1.1、導數的定義：

一般地，函數y=f（x）在x=x0處的瞬時變化率是：我們稱它為函數y=f(x)在x=x0處的導數（derivative），記作或，即2、根據導數的定義，求函數y=f(x)的導數的三個步驟：

2.算比值：

1.求增量：

3.取極限：

導數的計算2.解：（1）求增量：（2）算比值：

（3）取極限：這就是說，常數的導數等于零1

、求函數(c

是常數)的導數。下面我們求幾個常用函數的導數。2

、求函數的導數。解：3.在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=2x，y=3x，y=4x的圖象，從圖象上看，它們的導數分別表示什么？yxO4.3、函數的導數

解：4、函數的導數

解：5.

一般地，可以證明冪函數(是任意實數）的導數公式為6.常數的導數等于零1

、求函數(c

是常數)的導數。下面我們求幾個常用函數的導數。2

、求函數的導數。3函數的導數

一般地，可以證明冪函數(是任意實數）的導數公式為(x

)′=x-14函數的導數7.基本初等函數的導數公式8.可以幫助我們解決兩個函數加、減、乘、除的求導問題。導數運算法則9.2、熟記運算法則

（1）（C)‘=0（2）(3)（4）（7）（8）（5）（6）1、熟記以下導數公式：10.利用函數的導數來研究函數的極值問題:

一般地,當函數f(x)在x0處連續(xù)時,判別f(x0)是極大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左側右側那么,f(x0)是極大值;(2):如果在x0附近的左側右側那么,f(x0)是極小值.說明求函數極值的方法與步驟：②令③分區(qū)間討論④將極值點代入f(x)算出極值。①求。，求一階駐點。的正負號，確定單調區(qū)間進而確定極值點。11.函數的極值:請注意幾點(1)極值是一個局部概念.由定義,極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小.并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小.也就是說極值與最值是兩個不同的概念.(2)函數的極值不是唯一的.即一個函數在某區(qū)間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個.12.(4)函數的極值點一定出現在區(qū)間的內部,區(qū)間的端點不能成為極值點.而使函數取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部,也可能在區(qū)間的端點.(3)極大值與極小值之間無確定的大小關系.即一個函數的極大值未必大于極小值,如下圖所示,x1是極大值點,x4是極小值點,而f(x4)>f(x1).oaX1X2X3X4bxy13.在函數取得極值處,如果曲線有切線的話,則切線是水平的,從而有.但反過來不一定.如函數y=x3,在x=0處,曲線的切線是水平的,但這點的函數值既不比它附近的點的函數值大,也不比它附近的點的函數值小.14.二階導數的應用曲線凹凸區(qū)間的判定直觀看曲線“往上彎”為凹，每點切線在曲線下方；曲線“往下彎”為凸，每點切線在曲線上方。xy0xy0abbay=f(x)y=f(x)a圖b圖a圖曲線是凹的,切線的傾斜角

為銳角，且由小變大，

是遞增的，則表明有

遞增，反之亦然。這就得到有f(x)凹；(b）圖同理有，f(x)凸。曲線上凹凸的分界點叫做曲線的拐點。進一步觀察曲線凹凸性與切線的關系15.例1：求下列函數的導數并畫出函數的大致圖像：（4）試證當x>0時，有16.17.微分：導數的代數應用

如果說用導數判定確定函數的單調性、極值、曲線的凹凸性、拐點，是導數在幾何上的應用，那么這里“微分”則主要是導數在代數上的應用。因為“微分”的主要問題是函數的近似計算——如何求一個函數的改變量？

微分的概念及思想設函數y=f(x)的導數存在，即，由極限的概念令，稱它為函數f(x)的微分。并記，則18.例1求函數的微分解

需要注意：(1)微分的意義由于，說明可以用微分求函數的改變量，即這里越小近似程度越好。19.如下圖所示：MT是y=f(x)在M點的切線

微分，當較小時，可用直線MT來近似曲線MP（或說用三角形MTN近似曲邊三角形MPN）?？梢姡耙灾贝笔俏⒎值囊粋€基本思想。于是，可顧名思義，把“微分”看作動詞，意思為“無限細分”，而把“微分”看作名詞，意思為“微小的一部分”。x0yMPTNxX+△Xy=f(x)(2)微分的思想20.(3)微分的計算

由于，因此，“求微分就是求導數”．（并且在存在的情況下，可微與可導等價）。

于是，由導數公式與法則可直接得到微分的公式與法則，如下表

微分基本公式（略）微分四則運算法則

設u、v是x的可導函數，則

21.例2在下面的括號中以適當的函數填空：

分析例1求微分是通過求，這里對照，則是其逆運算，已知求原來的函數。方法在于熟練掌握導數公式：首先找到類似的求導公式，然后猜察反推和多次試算。解

說明：由微分的逆運算求原函數是接下來積分講的內容，通過求原函數可求不定積分。

22.

微分的近似計算

由得到近似公式：例3證明近似公式：證明類似地，可以證明當較小時有下面近似公式

23.～～～～～常用等價無窮小:～～24.

設曲線通過點(1,2),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍,求此曲線方程.25.微分學:積分學:互逆問題26.二、基本積分表不定積分的概念和性質一、原函數與不定積分的概念三、不定積分的性質27.一、原函數與不定積分的概念定義1（原函數）如果在區(qū)間內,即都有或那么函數就稱為或在區(qū)間內原函數.的導函數為可導函數是在區(qū)間內的一個原函數.28.原函數存在定理：即連續(xù)函數一定有原函數.問題：(1)原函數是否唯一？例（C為任意常數）(2)若不唯一它們之間有什么聯系？如果函數在區(qū)間內連續(xù)，那么在區(qū)間內存在可導函數使都有29.關于原函數的說明：（1）若，則對于任意常數C，（2）若和都是的原函數，則（C為任意常數）證（2）（C為任意常數）都是的原函數.30.被積表達式任意常數積分號被積函數定義2（不定積分）積分變量

在區(qū)間I內，函數的帶有任意常數項的原函數，稱為在區(qū)間I內的不定積分,記為原函數31.例1

求解解例2

求32.例3

設曲線通過點(1,2),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍,求此曲線方程.解設曲線方程為根據題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為即是的一個原函數.33.由不定積分的定義，可知結論：微分運算與求不定積分的運算“互逆”.微分運算與求不定積分的運算的關系34.啟示能否根據求導公式得出積分公式？結論

既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據求導公式得出積分公式.二、基本積分表35.基本積分表(k是常數);說明：36.37.38.例4

求積分解根據積分公式39.證等式成立.（可推廣到有限多個函數之和的情況）三、不定積分的性質線性性質為常數）40.解所求曲線方程為例

已知一曲線在點處的切線斜率為且此曲線與y軸的交點為求此曲線的方程.41.5.基本積分表(1)4.不定積分的性質（線性性）1.原函數的概念：2.不定積分的概念：3.求微分與求積分的互逆關系小結6.利用積分公式求積分42.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．43.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．44.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．45.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．46.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．47.48.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．49.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．50.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．51.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．52.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．53.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．54.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．55.觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．56.求由連續(xù)曲線y=f(x)對應的曲邊梯形面積的方法(2)取近似求和:任取xi

[xi-1,xi]，第i個小曲邊梯形的面積用高為f(xi)而寬為Dx的小矩形面積f(xi)Dx近似之。(3)取極限:，所求曲邊梯形的面積S為取n個小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xi

(1)分割:在區(qū)間[0,1]上等間隔地插入n-1個點,將它等分成n個小區(qū)間:每個小區(qū)間寬度⊿x57.一、定積分的定義如果當n

∞時，S的無限接近某個常數，這個常數為函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出,通過“四步曲”:分割---近似代替----求和------取極限得到解決.58.定積分的定義：定積分的相關名稱：

———叫做積分號，

f(x)——叫做被積函數，

f(x)dx—叫做被積表達式，

x———叫做積分變量，

a———叫做積分下限，

b———叫做積分上限，

[a,b]—叫做積分區(qū)間。59.被積函數被積表達式積分變量積分下限積分上限60.

按定積分的定義，有

(1)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)

0)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形