數(shù)項級數(shù)斂散性習(xí)題課課件

第十二章(1)2023/10/11習(xí)題課數(shù)項級數(shù)的斂散與冪級數(shù)的收斂域一、數(shù)項級數(shù)的審斂法二、求冪級數(shù)收斂域的方法三、課外練習(xí)題求和展開(在收斂域內(nèi)進行)基本問題：判別斂散；求和函數(shù)；求收斂域；級數(shù)展開.時為數(shù)項級數(shù);時為冪級數(shù);為傅氏系數(shù))時,

為傅立葉級數(shù).2023/10/12一、數(shù)項級數(shù)的審斂法利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)

散滿足比值審斂法根值審斂法收

斂發(fā)

散不定用它法判別部分和極限比較審斂法積分判別法2023/10/13Leibniz判別法:

若且則交錯級數(shù)3.

任意項級數(shù)審斂法概念:

為收斂級數(shù)收斂,且余項若收斂,

稱絕對收斂若發(fā)散,

稱2023/10/14條件收斂例1解原級數(shù)發(fā)散．2023/10/15例2解根據(jù)極限審斂法,

知所給級數(shù)收斂.2023/10/16例3解因為根據(jù)極限審斂法,

知所給級數(shù)收斂.2023/10/17例4

若級數(shù)均收斂,且證明級數(shù)收斂.證則由題設(shè)收斂收斂收斂2023/10/18解答提示:判別下列級數(shù)的斂散性:提示:(1)因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,

據(jù)比較判別法,原級數(shù)發(fā)散.P322

題22023/10/19利用比值判別法,可知原級數(shù)發(fā)散.用比值法,可判斷級數(shù)時收斂;時發(fā)散.再由比較法可知原級數(shù)收斂.因n充分大時∴原級數(shù)發(fā)散.用比值判別法可知:時收斂;

時發(fā)散.時,與p級數(shù)比較可知發(fā)散,2023/10/110收斂,設(shè)正項級數(shù)和也收斂.提示:因又因利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.都收斂,證明級數(shù)∴存在N>0,

當(dāng)n>N時P323

題32023/10/111設(shè)級數(shù)收斂,且問級數(shù)級數(shù)收斂,收斂,級數(shù)發(fā)散.是否也收斂？說明理由.提示:對正項級數(shù),由比較判別法可知但對任意項級數(shù)卻不一定收斂.例如,取P323

題42023/10/112討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:提示:(1)P

>1時,絕對收斂0;

<p≤1時,條件收斂;p≤0

時,發(fā)散.(2)

因各項取絕對值后所得強級數(shù)原級數(shù)絕對收斂.故P323

題52023/10/113因單調(diào)遞減,且所以原級數(shù)僅條件收斂.由Leibniz判別法知級數(shù)收斂;但2023/10/114因所以原級數(shù)絕對收斂.2023/10/115例5解即原級數(shù)非絕對收斂．2023/10/116由萊布尼茨定理：2023/10/117所以此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂．2023/10/118例6解2023/10/119由比較審斂法知，即原級數(shù)絕對收斂．2023/10/120例7解2023/10/1212023/10/122二、求冪級數(shù)收斂域的方法求下列級數(shù)的斂散區(qū)間:標準形式冪級數(shù):先求收斂半徑R

,再討論 處的斂散性.通過換元轉(zhuǎn)化為標準形式非標準形式冪級數(shù)直接用比值法或根值法練習(xí):P323

題72023/10/123解當(dāng)時,時原級數(shù)收斂.2023/10/124因此級數(shù)在端點發(fā)散,故收斂區(qū)間為解

因故收斂區(qū)間為級數(shù)收斂;一般項不趨于0,

級數(shù)發(fā)散;2023/10/125例