七年級數(shù)學(xué)上冊專題4.1 平面圖形中的計(jì)數(shù)問題（強(qiáng)化）（解析版）

/專題4.1平面圖形中的計(jì)數(shù)問題【例題精講】如圖，以為一個端點(diǎn)的線段共有A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【解答】解：以為端點(diǎn)的線段有、、，共三條，故選：．濟(jì)青高鐵北線，共設(shè)有5個不同站點(diǎn)，要保證每兩個站點(diǎn)之間都有高鐵可乘，需要印制不同的火車票A．20種 B．42種 C．10種 D．84種【解答】解：如圖，圖中有5個站點(diǎn)．經(jīng)分析，往同一個方向（從1站點(diǎn)往5站點(diǎn)的方向），需要印制不同的火車票種類的數(shù)量有（種．保證任意兩個站點(diǎn)雙向都有車票，需要印制車票種類的數(shù)量為（種．故選：．觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字：①兩直線相交，最多1個交點(diǎn)；②三條直線相交最多有3個交點(diǎn)；③四條直線相交最多有6個交點(diǎn)；那么十條直線相交交點(diǎn)個數(shù)最多有A．40個 B．45個 C．50個 D．55個【解答】解：10條直線兩兩相交，最多有．故選：．如圖所示，從一點(diǎn)出發(fā)，引兩條射線可以得到一個角，引三條射線可以得到三個角，引四條射線可以得到六個角，引五條射線可以得到十個角，如果從一點(diǎn)出發(fā)引為大于等于2的整數(shù)）條射線，則會得到多少個角？如果時，檢驗(yàn)?zāi)闼玫慕Y(jié)論是否正確．【解答】解：當(dāng)時，角的個數(shù)為1；當(dāng)時，角的個數(shù)為；當(dāng)時，角的個數(shù)為；當(dāng)時，角的個數(shù)為；當(dāng)射線的條數(shù)為時，角的個數(shù)為，當(dāng)時，．所以條射線可組成個角，這個結(jié)論也是正確的．【題組訓(xùn)練】1．閱讀：在直線上有個不同的點(diǎn)，則此圖中共有多少條線段？通過分析、畫圖嘗試得如下表格：圖形直線上點(diǎn)的個數(shù)共有線段的條數(shù)兩者關(guān)系213346問題：（1）把表格補(bǔ)充完整；（2）根據(jù)上述得到的信息解決下列問題：①某學(xué)校七年級共有20個班進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽（每兩班賽一場），那么該校七年級的辯論賽共要進(jìn)行多少場？②乘火車從站出發(fā)，沿途經(jīng)過10個車站方可到達(dá)站，那么在，兩站之間需要安排多少種不同的車票？【解答】解：（1）圖形直線上點(diǎn)的個數(shù)共有線段的條數(shù)兩者關(guān)系213346；（2）①把每一個班級看作一個點(diǎn)，則（場；②由題意可得：一共12個車站看作12個點(diǎn)，線段條數(shù)為（條，因?yàn)檐嚻庇衅瘘c(diǎn)和終點(diǎn)站之分，所以車票要（種．2．觀察圖①，由點(diǎn)和點(diǎn)可確定1條直線；觀察圖②，由不在同一直線上的三點(diǎn)、和最多能確定條直線；（1）動手畫一畫圖③中經(jīng)過、、、四點(diǎn)的所有直線，最多共可作條直線；（2）在同一平面內(nèi)任三點(diǎn)不在同一直線的五個點(diǎn)最多能確定條直線、個點(diǎn)最多能確定條直線．【解答】解：①由點(diǎn)和點(diǎn)可確定1條直線；②由不在同一直線上的三點(diǎn)、和最多能確定3條直線；經(jīng)過、、、四點(diǎn)最多能確定6條直線；直在同一平面內(nèi)任三點(diǎn)不在同一直線的五個點(diǎn)最多能確定10條線、根據(jù)1個點(diǎn)、兩個點(diǎn)、三個點(diǎn)、四個點(diǎn)、五個點(diǎn)的情況可總結(jié)出個點(diǎn)時最多能確定：條直線．故答案為：1；3，6，10，．3．在一條直線上取兩上點(diǎn)、，共得幾條線段在一條直線上取三個點(diǎn)、、，共得幾條線段在一條直線上取、、、四個點(diǎn)時，共得多少條線段在一條直線上取個點(diǎn)時，共可得多少條線段？【解答】解：2個點(diǎn)時1條線段，3個點(diǎn)時有條線段；4個點(diǎn)時有條線段；個點(diǎn)時有條線段．4．平面內(nèi)有三點(diǎn)、、，過其中任意兩點(diǎn)畫直線，有如下兩種情況：（1）若平面內(nèi)有四個點(diǎn)、、、，過其中任意兩點(diǎn)畫直線，有多少種情況？請畫圖說明；（2）若平面內(nèi)有6個點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)畫直線，最多可以畫多少條直線？（3）若平面內(nèi)有個點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)畫直線，最多可以畫多少條直線？（直接寫出結(jié)果）【解答】解：（1）（2）最多可畫：（條；（3）最多可畫：（條．5．根據(jù)題意填空：（1）（2）每小問1分，（3）每小問2分，共6分）（1）與是同一平面內(nèi)兩條相交直線，他們有一個交點(diǎn)，如果在這個平面內(nèi)，再畫第三條直線，那么這三條直線最多有3個交點(diǎn)．（2）如果在（1）的基礎(chǔ)上在這個平面內(nèi)再畫第四條直線，那么這四條直線最多可有個交點(diǎn)．（3）由（1）（2）我們可以猜想：在同一平面內(nèi)，6條直線最多可有個交點(diǎn)，條直線最多可有條交點(diǎn)．（用含有的代數(shù)式表示）【解答】解：（1）；（2）；（3）；．6．如圖，在直線上任取1個點(diǎn)，2個點(diǎn)，3個點(diǎn)，4個點(diǎn)，（1）填寫下表：點(diǎn)的個數(shù)所得線段的條數(shù)所得射線的條數(shù)1234（2）在直線上取個點(diǎn)，可以得到幾條射線？（3）用這種方法可以得到15條線段嗎？如果可以，請指出取幾個點(diǎn)；不能，請說明理由．【解答】解：（1）點(diǎn)的個數(shù)所得線段的條數(shù)所得射線的條數(shù)102214336468（2）可以得條；（3）能，取6個點(diǎn)．時，，所以取6個點(diǎn)．7．畫出線段．（1）如圖（1）所示，在線段上畫出1個點(diǎn)，這時圖中共有幾條線段？（2）如圖（2）所示，在線段上畫出2個點(diǎn)，這時圖中共有幾條線段？（3）如圖（3）所示，在線段上畫出3個點(diǎn)，這時圖中共有幾條線段？（4）當(dāng)在線段上畫出個點(diǎn)時，則共有幾條線段？【解答】解：（1）三條線段（2）六條線段（3）十條線段（4）或條線段．8．【觀察思考】如圖線段上有兩個點(diǎn)、，分別以點(diǎn)、、、為端點(diǎn)的線段共有6條．【模型構(gòu)建】若線段上有個點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則該線段上共有條線段．【拓展應(yīng)用】若有8位同學(xué)參加班級的演講比賽，比賽采用單循環(huán)制（即每兩位同學(xué)之間都要進(jìn)行一場比賽），請你應(yīng)用上述模型構(gòu)建，求一共要進(jìn)行多少場比賽？【解答】解：【觀察思考】以點(diǎn)為左端點(diǎn)向右的線段有：線段、、，以點(diǎn)為左端點(diǎn)向右的線段有線段、，以點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有線段，共有（條．故答案為：6；【模型構(gòu)建】設(shè)線段上有個點(diǎn)，該線段上共有線段條，則，倒序排列有，，．故答案為：；【拓展應(yīng)用】把8位同學(xué)看作直線上的8個點(diǎn)，每兩位同學(xué)之間的一場比賽看作一條線段，由題知，當(dāng)時，．答：一共要進(jìn)行28場比賽．9．觀察圖形，并回答下列問題：（1）圖中共有幾條線段？說明你分析這個問題的具體思路；（2）請你用上面的思路來解決“十五個同學(xué)聚會每個人都與其他人握一次手，共握了多少次”這個問題；（3）十五個同學(xué)聚會，每個人都送給其他人一張名片呢，共送了幾張？【解答】解：（1）以為端點(diǎn)的線段有、、、四條；以為端點(diǎn)的且與前面不重復(fù)的線段有、、三條；以為端點(diǎn)的且與前面不重復(fù)的線段有、兩條；以為端點(diǎn)的且與前面不重復(fù)的線段有一條．或直接利用公式，則（條．答：圖中共有10條線段；（2）由上面結(jié)論可知（次．答：共握了105次；（3）（張．答：共送了210張．11．（1）在內(nèi)部畫1條射線，則圖1中有3個不同的角；（2）在內(nèi)部畫2條射線，，則圖2中有個不同的角；（3）在內(nèi)部畫3條射線，，，則圖3中有個不同的角；（4）在內(nèi)部畫10條射線，，，則圖中有個不同的角；（5）在內(nèi)部畫條射線，，，則圖中有個不同的角．【解答】解：（1）在內(nèi)部畫1條射線，則圖中有3個不同的角，故答案為：3．（2）在內(nèi)部畫2條射線，，則圖中有6個不同的角，故答案為：6．（3）在內(nèi)部畫3條射線，，，則圖中有10個不同的角，故答案為：10．（4）在內(nèi)部畫10條射線，，，，則圖中有個不同的角，故答案為：66．（5）在內(nèi)部畫條射線，，，，則圖中有個不同的角．故答案為：．12．過一個角的頂點(diǎn)，在這個角的內(nèi)部引1條射線，共形成多少個角（包括原來的角）？如果引2條、3條這樣的射線呢？由此，請猜想，過一個角的頂點(diǎn)，如果在這個角的內(nèi)部引條射線，共形成多少個角？【解答】解：在的內(nèi)部引1條射線，即3條射線能組成個角；引2條射線即4條射線能組成個角；引3條射線即5條射線能組成個角；引條射線即條射線能組成個角．13．（1）數(shù)一數(shù)圖①中共有3個角，圖②中共有個角；圖③中共有個角．（2）從（1）中你能找到一種數(shù)圖④中角的個數(shù)的規(guī)律嗎？【解答】解：（1）圖①中共有3個角，圖②中共有6個角，圖③中共有10個角．故答案為：3，6，10；（2），，，第個圖形共有：．14．（1）如圖①，過角的頂點(diǎn)在角的內(nèi)部作一條射線，那么圖中一共有多少個角？（2）如圖②，過角的頂點(diǎn)在角的內(nèi)部作兩條射線，那么圖中一共有多少個角？（3）如圖③，過角的頂點(diǎn)在角的內(nèi)部作條射線，那么圖中一共有多少個角？【解答】解：（1）在角的內(nèi)部作一條射線，共有三條射線，那么圖中一共有個角；（2）在角的內(nèi)部作兩條射線，共有四條射線，那么圖中一共有個角；（3）在角的內(nèi)部作條射線，共有條射線，那么圖中一共有個角．15．如圖，在的內(nèi)部：（1）畫1條射線，則圖中共有幾個角？把它表示出來．（2）畫2條射線，，則圖中共有幾個角？畫3條呢？（3）畫行條射線，，，，圖中共有幾個角？【解答】解：（1）有3個角，分別為，，；（2）如圖，畫2條射線有6個角，分別為，，，，，，共有：個，畫3條射線，共有：個；（3）畫條射線，共有：個角．16．已知如圖，是銳角，以為端點(diǎn)向內(nèi)部作一條射線，則圖中有多少個角？若作二條、三條射線有多少個角？條時有多少個角？畫一畫，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？【解答】解：圖（1）中有3個角；圖（2）中有6個角；圖（3）中有10個角；即內(nèi)部有一條射線時，有個角；內(nèi)部有二條射線時，有個角；內(nèi)部有三條射線時，有個角；內(nèi)部有條射線時，有個角；17．觀察下圖，回答下列問題：（1）在圖①中有幾個角？（2）在圖②中有幾個角？（3）在圖③中有幾個角？（4）以此類推，如圖④所示，若一個角內(nèi)有條射線，此時共有多少個角？【解答】解：由分析知：（1）①圖中有2條射線，則角的個數(shù)為：（個；（2）②圖中有3條射線，則角的個數(shù)為：（個；（3）③圖中有4條射線，則角的個數(shù)為：（個；（4）由前三問類推，角內(nèi)有條射線時，圖中共有條射線，則角的個數(shù)為個．18．有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，如圖所示，如果過角的頂點(diǎn)：（1）在角的內(nèi)部作一條射線，那么圖中一共有幾個角？（2）在角的內(nèi)部作兩條射線，那么圖中一共有幾個角？（3）在角的內(nèi)部作三條射線，那么圖中一共有幾個角？（4）在角的內(nèi)部作條射線，那么圖中一共有幾個角？【解答】解：（1）在角的內(nèi)部作一條射線，共有三條射線，那么圖中一共有個角；（2）在角的內(nèi)部作兩條射線，共有四條射線，那么圖中一共有個角；（3）在角的內(nèi)部作三條射線，共有5條射線，那么圖中一共有個角；（4）在角的內(nèi)部作條射線，共有條射線，那么圖中一共有個角．19．如圖，在的內(nèi)部引一條射線，能組成多少個角？引兩條射線能組成多少個角？引三條射線呢？引五條射線呢？引條射線呢？【解答】解：在的內(nèi)部引一條射線，即3條射線能組成個角；引兩條射線即4條射線能組成個角；引三條射線即5條射線能組成個角；引五條射線即7條射線組成個角；引條射線即條射線能組成個角．20．如圖，在直線上任取1個點(diǎn)，2個點(diǎn)，3個點(diǎn)，4個點(diǎn)，（1）填寫下表：點(diǎn)的個數(shù)所得線段的條數(shù)所得射線的條數(shù)10234（2）在直線上取個點(diǎn)，可以得到幾條線段，幾條射線？【解答】解：（1）表格如下：點(diǎn)的個數(shù)所得線段的條數(shù)所得射線的條數(shù)102214336468（2）可以得到條線段，條射線．21．（1）圖中共有幾條線段？說明你分析這個問題的具體思路．（2）你能用上面的思路來解決“十五個同學(xué)聚會，每個人都與其他人握一次手，共握多少次？”這個問題嗎？請解決．（3）若改為“十五個同學(xué)聚會，每個人都送給其他人一張名片呢，共送了幾張？”【解答】解：（1）以為端點(diǎn)的線段有、、、四條；以為端點(diǎn)的且與前面不重復(fù)的線段有、、三條；以為端點(diǎn)的且與前面不重復(fù)的線段有、兩條；以為端點(diǎn)的且與前面不重復(fù)的線段有一條．或直接利用公式則條．答：圖中共有10條線段；（2）由上面結(jié)論可知（次．答：共握了105次；（3）（張．答：共送了210張．22．眾所周知，過兩點(diǎn)確定一條直線，過三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)最多能畫三條直線．（1）過四點(diǎn)、五點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)最多能畫幾條直線，請畫出相應(yīng)的圖形；（2）過點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)最多能畫幾條直線，請說明理由；（3）小明有12種不同顏色的顏料，在顏料的調(diào)色中，若只能將它們中的任意兩種顏料按的比例混合調(diào)配，那么小明畫一幅圖，總共有