2023-2024學(xué)年湘教版選擇性必修第一冊(cè) 2-2直線的方程2-2-4直線的方向向量與法向量 課件（21張）

基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1直線的方向向量我們把與直線l平行的非零向量v都稱為l的方向向量.斜率為k的直線的方向向量為(1,k)的

.

只需要共線即可,不必考慮方向

非零實(shí)數(shù)倍

名師點(diǎn)睛1.直線的方向向量可以用來(lái)表示直線的方向,并且直線的方向向量并不是唯一的.2.(B,-A)只是直線Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)的一個(gè)方向向量,所有與(B,-A)共線的方向向量都是直線的方向向量.3.平行于x軸的直線或x軸所在直線的一個(gè)方向向量的特征是(t,0)(t≠0),平行于y軸的直線或y軸所在直線的一個(gè)方向向量的特征是(0,t)(t≠0).過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是直線l上的不同兩點(diǎn),則直線l的方向向量是(cosθ,sinθ).(

)(3)直線l的一個(gè)方向向量是t=(u,v),則λt也是直線的方向向量.(

)×√×2.若直線l的一個(gè)方向向量是(u,v),直線的斜率一定存在嗎?若存在,如何求直線的斜率?提示當(dāng)u=0時(shí),直線的斜率不存在,當(dāng)u≠0時(shí),斜率為k=.知識(shí)點(diǎn)2直線的法向量與直線l

的非零向量n=(A,B)稱為直線l的一個(gè)法向量.若點(diǎn)P(x0,y0)是直線l上的定點(diǎn),向量n=(A,B)是直線l的一個(gè)法向量,則直線l的方程是A(x-x0)+B(y-y0)=0.

非零向量,且有無(wú)數(shù)個(gè)

此方程稱為直線的點(diǎn)法式方程

名師點(diǎn)睛直線l的一個(gè)法向量垂直于直線l上的全體向量(包括方向向量).垂直

過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)直線的法向量也是確定直線位置的幾何要素.(

)(2)直線的法向量確定后,直線的斜率也就確定了.(

)(3)若直線的一個(gè)法向量是n=(A,B)時(shí),其斜率為k=-.(

)2.為什么當(dāng)直線的一個(gè)法向量是n=(A,B)時(shí),向量m=(-B,A)或m=(B,-A)就是直線的一個(gè)方向向量?×√√提示由直線的法向量與方向向量是互相垂直的性質(zhì)以及n·m=0可知向量m=(-B,A)或m=(B,-A)就是直線的一個(gè)方向向量.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一直線的方向向量與法向量【例1】

已知直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(2,4),B(a,5),且直線的一個(gè)方向向量是(1,-1),求直線的傾斜角與a的值.分析

根據(jù)方向向量與斜率的關(guān)系求出斜率后,根據(jù)斜率求傾斜角,再結(jié)合斜率公式求a的值.變式探究1若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(2,4),B(a,5),且直線的一個(gè)方向向量是m=(0,1),求實(shí)數(shù)a的值.解

由直線的一個(gè)方向向量是m=(0,1)可知直線的斜率不存在,因此直線與x軸垂直,由A(2,4),B(a,5),可知a=2.變式探究2若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(2,4),B(a,5),且直線的一個(gè)法向量是n=(-1,3),求實(shí)數(shù)a的值.解

由直線的一個(gè)法向量是n=(-1,3)可知直線的一個(gè)方向向量是m=(3,1),因此直線的斜率是

,解得a=5.規(guī)律方法

根據(jù)直線的方向向量與法向量求斜率的方法若直線的一個(gè)方向向量是n=(a,b),則直線的一個(gè)法向量是m=(-b,a)或m=(b,-a).若a≠0,則直線的斜率k=;當(dāng)a=0時(shí),直線的斜率不存在.探究點(diǎn)二直線的方向向量與法向量的應(yīng)用【例2】

已知A(-1,2),直線l:4x-3y+9=0.(1)求直線l的一個(gè)方向向量;(2)過(guò)點(diǎn)A且與直線l平行的直線方程;(3)過(guò)點(diǎn)A且與直線l垂直的直線方程.解

(1)由題知,直線l的斜率k=,所以直線l的一個(gè)方向向量u=(3,4).(2)設(shè)P(x,y)是過(guò)點(diǎn)A且與直線l平行的直線上的一動(dòng)點(diǎn),則

=(x+1,y-2),當(dāng)且僅當(dāng)u∥

,即3×(y-2)-4(x+1)=0時(shí),所求直線與直線l平行,整理得4x-3y+10=0,即過(guò)點(diǎn)A且與直線l平行的直線方程為4x-3y+10=0.(3)設(shè)Q(x,y)為所求直線上不同于點(diǎn)A的一動(dòng)點(diǎn),則

=(x+1,y-2).設(shè)點(diǎn)Q在過(guò)點(diǎn)A且垂直于l的直線上,則u·=0,即3(x+1)+4(y-2)=0,整理得3x+4y-5=0,即過(guò)點(diǎn)A且與直線l垂直的直線方程為3x+4y-5=0.規(guī)律方法

利用方向向量及法向量求直線方程已知直線l的一個(gè)方向向量為m=(a,b),點(diǎn)Q(x1,y1)為直線上的動(dòng)點(diǎn),求直線l有關(guān)的方程的方法.其中P(x,y)是所求直線上的動(dòng)點(diǎn).條件方法結(jié)論過(guò)點(diǎn)P與直線l平行

∥ma(y-y1)-b(x-x1)=0過(guò)點(diǎn)P與直線l垂直

·m=0a(x-x1)+b(y-y1)=0變式訓(xùn)練過(guò)點(diǎn)A(-2,1),求滿足下列條件的直線的方程.(1)方向向量a=(3,1);(2)法向量b=(-1,2).解

設(shè)P(x,y)為所求直線上不同于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),∵A(-2,1),∴

=(x+2,y-1).(1)由題意知

∥a,∴(x+2)×1-3(y-1)=0,即x-3y+5=0,故所求直線方程為x-3y+5=0.(2)由題意,知

⊥b,∴(x+2)×(-1)+(y-1)×2=0,即x-2y+4=0,故所求直線方程為x-2y+4=0.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)直線的方向向量;(2)直線的法向量;(3)直線的點(diǎn)法式方程.2.方法歸納:根據(jù)直線的方向向量求直線的斜率,利用向量共線或垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求直線的方程.3.注意事項(xiàng):直線的方向向量與法向量均有無(wú)數(shù)個(gè),根據(jù)含參數(shù)的直線的方向向量求直線的斜率時(shí),要注意方向向量的橫坐標(biāo)是否為0.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1234561.直線x+2y-5=0的一個(gè)法向量可以是(

)A.(1,2) B.(1,-2)C.(1,5) D.(2,5)A解析

因?yàn)橹本€Ax+By+C=0的一個(gè)法向量為(A,B),所以直線x+2y-5=0的一個(gè)法向量可以為(1,2).1234562.若直線l的一個(gè)方向向量為(-2,),則它的傾斜角為(

)A.30°

B.120°

C.60°

D.150°B1234563.過(guò)點(diǎn)P(-1,2)且方向向量為a=(-1,2)的直線方程為(

)A.2x+y=0 B.x-2y+5=0C.x-2y=0 D.x+2y-5=0A解析

因?yàn)橹本€的方向向量為a=(-1,2),所以直線的斜率為

=-2,所以過(guò)點(diǎn)P(-1,2)且方向向量為a=(-1,2)的直線方程為y-2=-2(x+1),即2x+y=0.1234564.已知過(guò)定點(diǎn)(4,5)的直線l的一個(gè)