統(tǒng)計(jì)問題統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

統(tǒng)計(jì)問題-統(tǒng)計(jì)量及其抽樣散布6.1整體與樣本整體與個(gè)體在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題中，我們把研究對(duì)象的全體稱為整體，構(gòu)成整體的每個(gè)成員稱為個(gè)體。對(duì)多半實(shí)質(zhì)問題。整體中的個(gè)體是一些實(shí)在的人或物。比方，我們要研究某大學(xué)的學(xué)生身高狀況，則該大學(xué)的全體學(xué)生構(gòu)成問題的整體，而每一個(gè)學(xué)生即是一個(gè)個(gè)體。事實(shí)上，每個(gè)學(xué)生有很多特點(diǎn)：性別、年紀(jì)、身高、體重、民族、籍貫等。而在該問題中，我們關(guān)懷的不過該校學(xué)生的身高怎樣，對(duì)其余的特點(diǎn)暫不予以考慮。這樣，每個(gè)學(xué)生（個(gè)體）所擁有的數(shù)目指標(biāo)值——身高就是個(gè)體，而將所有身高全體當(dāng)作整體。這樣一來，若拋開實(shí)質(zhì)背景，整體就是一堆數(shù)，這堆數(shù)中有大有小，有的出現(xiàn)的時(shí)機(jī)多，有的出現(xiàn)的時(shí)機(jī)少，所以用一個(gè)概率散布去描繪和概括整體是合適的。從這個(gè)意義上看，整體就是一個(gè)散布，而其數(shù)目指標(biāo)就是聽從這個(gè)散布的隨機(jī)變量。此后說“從整體中抽樣”與“從某散布中抽樣”是同一個(gè)意思。[例6-1]觀察某廠的產(chǎn)質(zhì)量量，將其產(chǎn)品只分為合格品與不合格品，并以0記合格品，以1記不合格品，則整體＝｛該廠生產(chǎn)的所有合格品與不合格品｝＝｛由0或1構(gòu)成的一堆數(shù)｝。若以p表示這堆數(shù)中1的比率（不合格品率），則該整體可由一個(gè)二點(diǎn)散布表示：不一樣的p反應(yīng)了整體間的差別。比如，兩個(gè)生產(chǎn)同類產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品整體散布為：我們能夠看到，第一個(gè)工廠的產(chǎn)質(zhì)量量優(yōu)于第二個(gè)工廠。實(shí)質(zhì)中，散布中的不合格品率是未知的，怎樣對(duì)之進(jìn)行預(yù)計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)要研究的問題。樣本為了認(rèn)識(shí)整體的散布，我們從整體中隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體，記其指標(biāo)值為x1，x2，，xn，則x1，x2，，xn稱為整體的一個(gè)樣本，n稱為樣本容量，或簡稱樣本量，樣本中的個(gè)體稱為樣品。我們第一指出，樣本擁有所謂的二重性：一方面，因?yàn)闃颖臼菑恼w中隨機(jī)抽取的，抽取前沒法預(yù)知它們的數(shù)值，所以，樣本是隨機(jī)變量，用大寫字母X1，X2，，Xn表示；另一方面，樣本在抽取此后經(jīng)觀察就有確立的觀察值，所以，樣本又是一組數(shù)值。此時(shí)用小寫字母x1，x2，，xn表示是合適的。簡單起見，不論是樣本仍是其觀察值，本書中樣本一般均用x1，x2，，xn表示，讀者應(yīng)能從上下文中加以差別。[例6-2]啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640g，，因?yàn)殡S機(jī)性，事實(shí)上不行能使得所有的啤酒凈含量均為640g,現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤酒中隨機(jī)抽取10瓶測定其凈含量，獲得以下結(jié)果：641635640637642638645643639640這是一個(gè)容量為10的樣本的觀察值。對(duì)應(yīng)的整體為該廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒的凈含量。【答疑編號(hào)：10060101針對(duì)該題發(fā)問】從整體中抽取樣本時(shí)，為使樣本擁有代表性，抽樣一定是隨機(jī)抽樣。往常能夠用隨機(jī)數(shù)表來實(shí)現(xiàn)隨機(jī)抽樣。還要求抽樣一定是獨(dú)立的，即每次的結(jié)果互不影響。在概率論中，在有限整體（只有有限個(gè)個(gè)體的整體）中進(jìn)行有放回抽樣，是獨(dú)立的隨機(jī)抽樣；但是，若為不放回抽樣，則是不獨(dú)立的抽樣。但當(dāng)整體容量N很大但樣本容量n較小時(shí)，不放回抽樣能夠近似地看做放回抽樣，即可近似看做獨(dú)立隨機(jī)抽樣。下邊，我們假定抽樣方式總知足獨(dú)立隨機(jī)抽樣的條件。從整體中抽取樣本能夠有不一樣的抽法，為了能由樣本對(duì)整體做出較靠譜的推測，就希望樣本能很好地代表整體。這就需要對(duì)抽樣方法提出一些要求，最常用的“簡單隨機(jī)抽樣”有以下兩個(gè)要求：1）樣本擁有隨機(jī)性，即要求整體中每一個(gè)個(gè)體都有同樣時(shí)機(jī)被選入樣本，這便意味著每同樣品xi與整體X有同樣的散布。2）樣本要有獨(dú)立性，即要求樣本中每同樣品的取值不影響其余樣品的取值，這意味著x1，x2，，xn互相獨(dú)立。用簡單隨機(jī)抽樣方法獲得的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本，也簡稱樣本。除非特別指明，本書中的樣本皆為簡單隨機(jī)樣本。于是，樣本x1，x2，，xn能夠當(dāng)作是互相獨(dú)立的擁有同一散布的隨機(jī)變量，其共同分布即為整體散布。設(shè)整體X擁有散布函數(shù)F（x）,x1，x2，，xn為取自該整體的容量為n的樣本，則樣本聯(lián)合散布函數(shù)為：若整體擁有密度函數(shù)f（x），則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為若整體X為失散型隨機(jī)變量，則樣本的（聯(lián)合）概率函數(shù)為明顯，往常說的樣本散布是指多維隨機(jī)變量（x1，x2，，xn）的聯(lián)合散布。[例6-3]為預(yù)計(jì)一物品的重量μ，用一架天平重復(fù)丈量n次，得樣本x1，x2，，xn，由于是獨(dú)立重復(fù)丈量，x1，x2，，xn是簡單隨機(jī)樣本。整體的散布即x1的散布（x1，x2，，xn散布同樣）。因?yàn)榉Q量偏差是均值（希望）為零的正態(tài)變量，所以x1可以為聽從正態(tài)散布2x1的概率密度為N（μ，σ）（X1等于物品重量μ）加上稱量偏差，即這樣，樣本散布密度為?！敬鹨删幪?hào)：10060102針對(duì)該題發(fā)問】[例6-4]設(shè)某種電燈泡的壽命X聽從指數(shù)散布E（λ），其概率密度為：則來自這一整體的簡單隨機(jī)樣本x1，x2，，xn的樣本散布密度為【答疑編號(hào)：10060103針對(duì)該題發(fā)問】[例6-5]考慮電話互換臺(tái)一小時(shí)內(nèi)的呼喊次數(shù)X。求來自這一整體的簡單隨機(jī)樣本x1，x2，，xn的樣本散布?！敬鹨删幪?hào)：10060104針對(duì)該題發(fā)問】解由概率論知識(shí)，X聽從泊松散布P（λ），其概率函數(shù)，（此中x是非負(fù)整數(shù)｛0，1，2，，k，｝中的一個(gè)）。進(jìn)而，簡單隨機(jī)樣本x1，x2，，xn的樣本散布為：6.2統(tǒng)計(jì)量及其散布統(tǒng)計(jì)量與抽樣散布樣原來自整體，樣本的觀察值中含有整體各方面的信息，但這些信息較為分別，有時(shí)顯得凌亂無章。為將這些分別在樣本中相關(guān)整體的信息集中起來以反應(yīng)整體的各樣特點(diǎn)，需要對(duì)樣本進(jìn)行加工。最常用的加工方法是結(jié)構(gòu)樣本的函數(shù)，不一樣的函數(shù)反應(yīng)整體的不一樣特點(diǎn)。定義6-1設(shè)x1，x2，，xn為取自某整體的樣本，若樣本函數(shù)T＝T（x1，x2，，xn）中不含有任何未知參數(shù)，則稱T為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的散布稱為抽樣散布。依據(jù)這必定義，若x12n為樣本，則，2未知，x，，x都是統(tǒng)計(jì)量，而當(dāng)μ，σ時(shí)，，等均不是統(tǒng)計(jì)量。樣本均值及其抽樣散布定義6-2設(shè)x1，x2，，xn為取自某整體的樣本，其算術(shù)均勻值稱為樣本均值，一般用表示，即。[例6-6]某單位采集到20名青年人某月的娛樂支出花費(fèi)數(shù)據(jù)：79848488929394979899125則該月這20名青年的均勻娛樂支出為【答疑編號(hào)：10060105針對(duì)該題發(fā)問】對(duì)于樣本均值的抽樣散布，我們有下邊的定理。定理6-1設(shè)x1，x2，，xn是來自某個(gè)整體X的樣本，為樣本均值。2；（1）若整體散布為N（μσ），則的精準(zhǔn)散布為（2）若整體X散布未知（或不是正態(tài)散布），且E（X）=μ，D（X）=σ2，則當(dāng)樣本容量n較大時(shí)，的漸近散布為，這里的漸近散布是指n較大時(shí)的近似散布。證明（1）因?yàn)闉楠?dú)立正態(tài)變量線性組合，故仍聽從正態(tài)散布。此外，故（2）易知為獨(dú)立、同散布的隨機(jī)變量之和，且。由中心極限制理，，此中Φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布。這表示n較大時(shí)的漸近散布為。樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差定義6-3設(shè)x1，x2，，xn為取自某整體的樣本，則它對(duì)于樣本均值的均勻偏差平方和稱為樣本方差，其算術(shù)根稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。相對(duì)樣本方差而言，樣本標(biāo)準(zhǔn)差往常更有實(shí)質(zhì)意義，因?yàn)樗c樣本均值擁有同樣的胸懷單位。在上邊定義中，n為樣本容量，稱為偏差平方和，它有3個(gè)不一樣的表達(dá)式：事實(shí)上，，偏差平方和的這[例6-7]在例

3個(gè)表達(dá)式都可用來計(jì)算樣本方差。6-6中，我們已經(jīng)算得，其樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差為，。方法二s=11.5731【答疑編號(hào)：10060201針對(duì)該題發(fā)問】往常用第二種方法計(jì)算s2方便很多。下邊的定理給出樣本均值的數(shù)學(xué)希望和方差以及樣本方差的數(shù)學(xué)希望，它不依靠于整體的散布形式。這些結(jié)果在后邊的議論中是實(shí)用的。定理6-2設(shè)整體X擁有二階矩，即2E（x）=μ,D（X）=σ<+∞x1，x2，，xn為從該整體獲得的樣本，和s2分別是樣本均值和樣本方差，則此定理表示，樣本均值的均值與整體均值同樣，而樣本均值的方差是整體方差的。證明因?yàn)?）2）故（）式建立。下證（），注意到，而，于是，兩邊各除以n-1，即得（）式。值得讀者注意的是：本定理的結(jié)論與整體聽從什么散布沒關(guān)。樣本矩及其函數(shù)樣本均值和樣本方差的更一般的推行是樣本矩，這是一類常有的統(tǒng)計(jì)量。定義6-4設(shè)x1，x2，，xn是樣本，則統(tǒng)計(jì)量（）稱為樣本k階原點(diǎn)矩，特別地，樣本一階原點(diǎn)矩就是樣本均值。統(tǒng)計(jì)量（）稱為樣本k階中心矩。常有的是k=2的場合，此時(shí)稱為二階樣本中心矩。本書中我們將其記為sn2，以差別樣本方差S2。極大次序統(tǒng)計(jì)量和極小次序統(tǒng)計(jì)量定義6-5設(shè)整體X擁有散布函數(shù)F（x），散布密度f（x）,x1，x2，，xn為其樣本，我們分別稱X（1）=min{x12n（n）=max{x12n,x,x},x,x,x}為極小次序統(tǒng)計(jì)量和極大次序統(tǒng)計(jì)量。定理6-3若x(1),x(n)分別為極小、極大次序統(tǒng)計(jì)量，則（1）x(1)的散布函數(shù)F1(x)=1-(1-F（x))n,x（1）的散布密度f1(x)=n-(1-F(x))n-1f(x)（2）x（n）的散布函數(shù)Fn(x)=[F(x)]n,x(n)的散布密度fn(x)=n[F(x)]n-1f(x)證明先求出x（1）及x（n）的散布函數(shù)F1（x）及Fn（x）：，，分別對(duì)F1（x），F(xiàn)n（x）求導(dǎo)即得正態(tài)整體的抽樣散布有好多統(tǒng)計(jì)推測是鑒于正態(tài)整體的假定的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而結(jié)構(gòu)的三個(gè)有名統(tǒng)計(jì)量（其抽樣散布分別為x2散布，t散布和F散布）在實(shí)踐中有著寬泛的應(yīng)用。這是因?yàn)檫@三個(gè)統(tǒng)計(jì)量不單有明確背景，并且其抽樣散布的密度函數(shù)有“明確的表達(dá)式”，它們被稱為統(tǒng)計(jì)中的“三大抽樣散布”。x2散布（卡方散布）定義

6-6

設(shè)X1，X2，，Xn獨(dú)立同散布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布

N（0，1），則x2=x12+xn2的散布稱為自由度為

n的

x2散布，記為

x2～

x2（n）。x2（n）散布的密度函數(shù)見圖6-4當(dāng)隨機(jī)變量22222x～x（n）時(shí)，對(duì)給定的α（0<α<1）,稱知足p{x>xα（n）}=α的xα（n）}是自由度為n的開方散布的α分位數(shù)。分位數(shù)xα2（n）}能夠從附表4中查到。比如n=10，=0.05，那么從附表4中查得x2(10)=18.307p(x)2>x20.05(10)=p{x2>18.307=0.05注：請(qǐng)讀者注意x2～x2（n）時(shí)，n是自由度，不是容量。2.F散布定義6-7設(shè)x1～x2(m)，x2～x2(n)X1與X2獨(dú)立，則稱的散布是自由度為m與n的F散布，記為F～F（m，n），此中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度。自由度為m與n的F散布的密度函數(shù)的圖像是一個(gè)只取非負(fù)值的偏態(tài)散布（見圖6-5）。當(dāng)隨機(jī)變量F～F（m，n）時(shí)，對(duì)給定的α（0<α<1），稱知足P{F>Fα}（m,n）=α的數(shù)Fαm,n）是自由度為m與n的F散布的α分位數(shù)。當(dāng)F～F（m，n）時(shí)，有下邊性質(zhì)（不證），這說明（）對(duì)小的α，分位為Fα（m,n）能夠從附表5中查到，而分位數(shù)F1-α（m,n）則可經(jīng)過（）式獲得?！纠?-8】若取m=10,則n=5,α=0.05，那么從附表5上（m=n1,n=n2）查得F0.05（10,5）=4.74利用（）式可獲得【答疑編號(hào)：10060202針對(duì)該題發(fā)問】3.t散布定義6-8設(shè)隨機(jī)變量與X1與X2獨(dú)立且X1～N（0，1），X2～X2（n），則稱的散布為自由度為n的t的散布，記為t～t（n）.t散布密度函數(shù)的圖像是一個(gè)對(duì)于縱軸對(duì)稱的散布（圖6-6），與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布的密度函數(shù)形態(tài)近似，不過峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布低一些，尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布的大一些。圖6-6t散布與N（0,1）的密度函數(shù)當(dāng)隨機(jī)變量t～t（n）時(shí)，稱知足P{t>tαα的t散布的α（n）}=α的t（n）是自由度為n分位數(shù)，分位數(shù)tαn=10,α=0.05時(shí)，從附表3上查得（n）能夠從附表3中查到，比如當(dāng)（10）=1.8125t0.05因?yàn)閠散布的密度函數(shù)對(duì)于0對(duì)稱，故其分位數(shù)有以下關(guān)系：（n）=-t（n）t1-αα比如，t0.95（10）=-t0.05（10）=-1.8125當(dāng)n很大時(shí)，（n≥30）,t散布能夠用N（0，1）近似P（t>-tα）=1-α,p（t>t1-α）=1-α，∴t1-α=-tα4.一些重要結(jié)論來自一般正態(tài)整體的樣本均值和樣本方差S2的抽樣散布是應(yīng)用最廣的抽樣散布，下邊我們加以介紹。定理6-4設(shè)X1,X2,Xn是來自正態(tài)整體2）的樣本，N（μ,σ其樣本均值和樣本方差分別為：則有1）與s2互相獨(dú)立；2）特別，若（不證）222推論：設(shè)，σ1=σ2=σ并記則（不證）本章小結(jié)本章的基本要求是（一）知道整體、樣本、簡單樣本和統(tǒng)計(jì)量的觀點(diǎn)（二）知道統(tǒng)計(jì)量和s2的以下性質(zhì)。22E（s）=σ（三）若x的散布函數(shù)為F（x），散布函數(shù)為f（x），則樣本（x1,x2,xn）的聯(lián)合散布函數(shù)為F（x1）F（x2）F（xn）樣本（x1,x2,xn）的聯(lián)合散布密度為f（x1）f（x2）fxn），樣本（x1,x2,xn）的概率函數(shù)，