2022-2023學(xué)年江蘇省常州市高二上學(xué)期10月第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省常州市高二上學(xué)期10月第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角是（

）A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】A【分析】先求得直線的斜率，進(jìn)而求得傾斜角.【詳解】直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：A2．若點(diǎn)、、在同一直線上，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用結(jié)合斜率公式可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?、、在同一直線上，則，即，解得.故選：A.3．已知，，則在y軸上的截距是－3，且經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得直線在軸截距，根據(jù)截距式即可求解直線的截距式方程.【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段AB的中點(diǎn)為，故可知軸上的截距為4，故直線的方程為.故選：B4．一座圓拱橋，當(dāng)水面在如圖所示位置時(shí)，拱頂離水面3米，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后，水面寬度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】建立合適的直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出圓的方程，當(dāng)水面下降1米后，設(shè)水面所在直線與圓的交點(diǎn)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，求出的值，即可得到答案．【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則圓心在y軸上，設(shè)圓的半徑為r，則圓的方程為，∵拱頂離水面3米，水面寬12米，∴圓過點(diǎn)，∴，∴，∴圓的方程為，當(dāng)水面下降1米后，可設(shè)水面的端點(diǎn)坐標(biāo)為，則，∴，∴當(dāng)水面下降1米后，水面寬度為．故選：C．5．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則（

）A．有最大值，為16 B．有最小值，為16C．有最大值，為4 D．有最小值，為4【答案】A【分析】依據(jù)橢圓定義，再利用均值定理即可求得有最大值，為16．【詳解】由題意知，，則．由基本不等式，知，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以有最大值，為16．故選：A．6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段長(zhǎng)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，利用面積相等得到，再根據(jù)即可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，由可知，∵AC垂直平分PQ，∴，∴當(dāng)時(shí)，PQ取得最小值，又，∴，∴．故選：B．.7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，是直線上的兩點(diǎn)，若對(duì)線段上任意一點(diǎn)，圓上均存在兩點(diǎn)，使得，則線段長(zhǎng)度的最大值為（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】設(shè)圓的切線為、，由得，即，再求得的取值范圍，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得的最大值．【詳解】由題意，圓心到直線的距離為（半徑）故直線和圓相交；當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)，才是最大的角，不妨設(shè)切線為，，則由，得，；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，解得：，設(shè)，如圖，之間的任何一個(gè)點(diǎn)，圓上均存在兩點(diǎn)，使得，線段長(zhǎng)度的最大值為

故選：C8．已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，若，則的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知，畫出圖像，根據(jù)，可令，然后表示出，，然后利用橢圓定義找到與之間的關(guān)系，然后用分別表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出與之間的關(guān)系，從而求解離心率.【詳解】由已知，可根據(jù)條件做出下圖：因?yàn)椋?，所以，，由橢圓的定義可知，所以，所以，，，，由橢圓的定義可知，在中，，所以,在中，，所以所以.所以的離心率是.故選：D.二、多選題9．若直線m被兩平行直線：x－y＋1＝0與：x－y＋3＝0所截得的線段長(zhǎng)為，則直線m的傾斜角可以是（

）A．15° B．30° C．60° D．75°【答案】AD【分析】求兩平行線之間的距離，根據(jù)三角函數(shù)，得到直線與平行線的夾角，再結(jié)合外角定理，可得答案.【詳解】因?yàn)椋灾本€，間的距離．設(shè)直線m與直線，分別相交于點(diǎn)B，A，則，過點(diǎn)A作直線l垂直于直線，垂足為C，則，則在Rt△ABC中，，所以∠ABC＝30°，又直線的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角為45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°．故選：AD．10．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)為?，點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)不在軸上），則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為B．橢圓的離心率C．△的周長(zhǎng)為D．的取值范圍為【答案】ACD【分析】根據(jù)橢圓的方程，求出，，，判斷A，B，C的正誤，對(duì)于D，設(shè)出，表示出的解析式，求出其范圍，判斷正誤即可.【詳解】橢圓，，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故A正確，橢圓的離心率，故B錯(cuò)誤，的周長(zhǎng)為：，故C正確，設(shè)，則，且，故，又，則，故，故的取值范圍是，故D正確，故選：ACD.11．已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在圓：上，為圓心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為B．以為直徑的圓與圓的公共弦所在的直線方程為：C．當(dāng)最大時(shí)，的面積為D．的面積的最大值為【答案】ABD【分析】由求得最大值判斷A；以為直徑的圓方程與圓的方程相減判斷B；當(dāng)與圓相切時(shí)，求出三角形的面積判斷C；求出點(diǎn)到直線的距離最大值，計(jì)算判斷D作答.【詳解】顯然點(diǎn)在圓：外，點(diǎn)在圓內(nèi)，圓的半徑為2，直線方程為，圓心在直線上，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是射線與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B，以為直徑的圓方程為，與圓的方程聯(lián)立消去二次項(xiàng)得，因此以為直徑的圓與圓的公共弦所在的直線方程為：，B正確；對(duì)于C，當(dāng)且僅當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，即，此時(shí)，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，到直線：的距離最大值為2，因此的面積的最大值為，D正確.故選：ABD12．已知點(diǎn)P是坐標(biāo)平面xOy內(nèi)一點(diǎn)，若在圓O：上存在A，B兩點(diǎn)，使得（其中k為常數(shù)，且），則稱點(diǎn)P為圓O的“k倍分點(diǎn)”，則（

）A．點(diǎn)不是圓O的“3倍分點(diǎn)”B．在直線：上，圓O的“倍分點(diǎn)”的軌跡長(zhǎng)度為C．在圓D：上，恰有1個(gè)點(diǎn)是圓O的“2倍分點(diǎn)”D．若點(diǎn)P是圓O的“1倍分點(diǎn)”，則點(diǎn)P也是圓O的“2倍分點(diǎn)”【答案】BCD【分析】根據(jù)圓O的“k倍分點(diǎn)”的定義，得到各線段的關(guān)系，進(jìn)而表示各線段的長(zhǎng)度，然后在三角形中利用余弦定理求解判斷.【詳解】A.如圖所示：

若點(diǎn)是圓O的“3倍分點(diǎn)，則，設(shè)，，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，則，解得，故點(diǎn)是圓O的“3倍分點(diǎn)”，故錯(cuò)誤；B.如圖所示：

過點(diǎn)O作弦AB的垂線OD，當(dāng)點(diǎn)P在直線：上，P是圓O的“倍分點(diǎn)”，則，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，則，解得，因?yàn)椋瑒t，所以，解得，因?yàn)榈男边吷系母邽椋援?dāng)P在直線l上時(shí)，，所以，又因?yàn)橹本€l的方程為，所以，故正確；C.如圖所示：

在圓D：上取一點(diǎn)P，若點(diǎn)P是圓O的“2倍分點(diǎn)”，則有，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，則，解得，即，綜上：，所以在圓D：上，恰有1個(gè)點(diǎn)是圓O的“2倍分點(diǎn)”，故正確；D.如圖所示：

設(shè)，若點(diǎn)P是圓O的“1倍分點(diǎn)”，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，則，解得，此時(shí)點(diǎn)P是圓O的“1倍分點(diǎn)”，當(dāng)點(diǎn)A，B互換位置時(shí)，點(diǎn)P是圓O的“2倍分點(diǎn)”，故正確,故選：BCD三、填空題13．直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，則直線的方程為.【答案】【分析】設(shè)出直線的方程，代入，求出答案.【詳解】設(shè)直線的方程為，將代入可得，解得，故直線的方程為.故答案為：14．若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】先求出直線所過定點(diǎn)，再將曲線轉(zhuǎn)化為，可知其為半圓，結(jié)合圖像，即可求出的取值范圍.【詳解】由題意得，直線的方程可化為，所以直線恒過定點(diǎn)，又曲線可化為，其表示以為圓心，半徑為2的圓的上半部分，如圖.當(dāng)與該曲線相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，解得，設(shè)，則，由圖可得，若要使直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，須得，即.故答案為：.

15．寫出與圓和圓都相切的一條切線方程.【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，再分情況依次求解可得.【詳解】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，易得切線的方程為，因?yàn)?，且，所以，設(shè)，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以，可知和關(guān)于對(duì)稱，聯(lián)立，解得在上，在上任取一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，則，所以直線，即，綜上，切線方程為或或.故答案為：或或.16．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)橢圓定義可將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)可得的最小值為，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式即得答案.【詳解】由題意橢圓C：，M為橢圓C上任意一，N為圓E：上任意一點(diǎn)，

故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，而，故，即的最小值為，故答案為：四、解答題17．已知直線的方程為，若直線過點(diǎn)，且.(1)求直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且在y軸上截距是在x軸上的截距的2倍，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）求出直線的方程與方程聯(lián)立求解交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）分類討論，截距都為0與截距都不為0兩種情況求解的方程即可.【詳解】（1）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，，所以直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時(shí)，此時(shí)直線方程為，當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0時(shí)，此時(shí)可設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過，所以，所以，此時(shí)直線方程為，即，綜上直線的方程為或.18．已知圓，直線，．(1)若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，被圓所截得的弦的長(zhǎng)度之比為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意知直線過圓心，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值；（2）求出圓心到直線的距離和被圓所截得的弦長(zhǎng)，再求出直線被圓所截得的弦長(zhǎng)與圓心到直線的距離，列方程求出的值．【詳解】（1）解：圓的圓心為，圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則直線過圓心，，解得；（2）解：由直線，得，則圓心到直線的距離為，被圓所截得的弦長(zhǎng)為；又直線、被圓所截得的弦長(zhǎng)之比為，被圓所截得的弦長(zhǎng)為，由，得；則圓心到直線的距離，整理得，解得．19．如圖，已知的圓心在原點(diǎn)，且與直線相切．(1)求的方程；(2)點(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P引的兩條切線、，切點(diǎn)為A、B．①求四邊形面積的最小值；②求證：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)；(2)①；②證明見解析．【分析】（1）求出圓心到切線的距離得圓半徑，從而得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①由勾股定理求得切線長(zhǎng)，由求得四邊形面積，由此得當(dāng)最小時(shí)，四邊形面積最小，從而得結(jié)論；②A，B在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，b），，寫出此圓方程，此圓方程與已知圓方程相減公共弦所在直線方程，由直線方程得定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）依題意得：圓心（0，0）到直線x+3y+40的距離d＝r，∴，∴圓C的方程為x2+y2；（2）①解：連接OA，OB，∵PA，PB是圓C的兩條切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴．∴當(dāng)PO取最小值為8時(shí)，；②證明：由①得，A，B在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，b），，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，），∴以O(shè)P為直徑的圓方程為，即x2+y2﹣8x﹣by＝0．∵AB為兩圓的公共弦，∴由得直線AB的方程為，b∈R，即8(x)+by＝0，則直線AB恒過定點(diǎn)(，0)．20．已知橢圓C：（其中）的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓C交于不同的A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)作AB的垂線，垂足為D.若點(diǎn)D恰好是與A的中點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)和離心率即可求解,進(jìn)而得橢圓方程，（2）聯(lián)立兩直線方程可得坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,將代入橢圓，即可得斜率，進(jìn)而由直線方程和橢圓方程聯(lián)立即可利用弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】（1）由題設(shè)，得.

又，所以.

所以，

所以橢圓的方程為，（2）設(shè)，.

由題意可知直線有斜率且不為0，故設(shè)直線的方程為，

所以直線的方程為，

所以

得

所以

因?yàn)辄c(diǎn)恰好是與的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以

解得，

當(dāng)時(shí)，由，得

所以，所以

同理時(shí)，21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M：，過點(diǎn)O及點(diǎn)的圓N與圓M外切．(1)求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)A的直線l被兩圓截得的弦長(zhǎng)相等，求直線l的方程；(3)直線MN上是否存在點(diǎn)B，使得過點(diǎn)B分別作圓M與圓N的切線，切點(diǎn)分別為P，（不重合），滿足？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，【分析】（1）由題得到，N在直線上，設(shè)，半徑為r，根據(jù)兩圓外切，表示出MN，解出b和r即可；（2）易得直線l的斜率存在，不妨設(shè)l的方程為，根據(jù)l被兩圓截得的弦長(zhǎng)相等，可得，解出k即可；（3）設(shè)，由得，與直線MN的方程為聯(lián)立即可．【詳解】（1）解：由題意知，圓N的圓心N在直線上，設(shè)，半徑為r，因?yàn)閳AN與圓M外切，且圓M的圓心，半徑為，所以，即①，又，即②，由①可得，將②代入，可得，即①