2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角差的余弦公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】.故選：A.2．已知復(fù)數(shù)是一元二次方程的一個(gè)根，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】設(shè)出，，代入方程，化簡(jiǎn)得到，求出，并求出模長(zhǎng).【詳解】設(shè)，，，即，故，解得或，故，所以.故選：C．3．拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，“既有正面向上，也有反面向上”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用列舉法，列舉出所有不同結(jié)果以及符合條件的情況，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.【詳解】拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），共有8種不同的結(jié)果，既有正面向上，也有反面向上情況：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），有6種不同的結(jié)果，所以，既有正面向上，也有反面向上的概率為.故選：D.4．已知，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】由題意得，點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選:B．5．中國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之、祖暅父子總結(jié)魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”的“祖暅原理”，其中“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高．如圖，已知正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和2，高為，一個(gè)不規(guī)則的幾何體與此棱臺(tái)滿足“冪勢(shì)既同”，則該幾何體的體積為（

）

A． B． C． D．21【答案】D【分析】首先求出正六棱臺(tái)的上、下底面面積，再根據(jù)臺(tái)體的體積公式求出正六棱臺(tái)的體積，根據(jù)祖暅原理可得.【詳解】因?yàn)檎馀_(tái)的上下底面為正六邊形，所以，，所以，由祖暅原理知該幾何體的體積也為.故選：D．6．已知平面向量，滿足，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用在上的投影向量公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】在上的投影向量為，故選：B．7．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，所?故選：C.8．用長(zhǎng)度分別為2，3，4，5，6（單位：）的5根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形接近等邊三角形時(shí)面積最大，或者利用海倫公式故排除,由于等號(hào)成立的條件為，故“”不成立，推測(cè)當(dāng)三邊長(zhǎng)相等時(shí)面積最大，故考慮當(dāng)，，三邊長(zhǎng)最接近時(shí)面積最大，進(jìn)而得到答案．【詳解】方法一：因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)為20，所以三角形越接近等邊三角形，面積越大，所以三邊長(zhǎng)為6，7，7時(shí)面積最大此時(shí)邊長(zhǎng)為6的邊上的高為，面積為，方法二：設(shè)三角形的三邊分別為，，，令，則．由海倫公式知由于等號(hào)成立的條件為，故“”不成立，．排除由以上不等式推測(cè)，當(dāng)三邊長(zhǎng)相等時(shí)面積最大，故考慮當(dāng)，，三邊長(zhǎng)最接近時(shí)面積最大，此時(shí)三邊長(zhǎng)為7，7，6，用2、5連接，3、4連接各為一邊，第三邊長(zhǎng)為6組成三角形，此三角形面積最大，解法同一可知面積為，故選：B．二、多選題9．已知一組數(shù)據(jù)4，2，，10，7的平均數(shù)為5，則此組數(shù)據(jù)的（

）A．眾數(shù)為2 B．中位數(shù)為4 C．極差為3 D．方差為【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)和平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差的運(yùn)算可得答案.【詳解】由題意可得，所以A正確：2，2，4，7，10的中位數(shù)為4，故B正確，極差為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，D正確．故選：ABD．10．下列條件中能推導(dǎo)出一定是銳角三角形的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】對(duì)于A，利用向量的數(shù)量積判斷得角為銳角，但確定不了另兩個(gè)角的范圍，由此判斷即可；對(duì)于B，利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可判斷；對(duì)于C，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)與三角形角的范圍分析判斷即可；對(duì)于D，利用正切函數(shù)的性質(zhì)與和差公式，結(jié)合三角形角的范圍分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，又，故角為銳角，但無(wú)法確定另兩個(gè)角的范圍，故不一定是銳角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，由正弦定理得，令，則，顯然最大角為，且，所以最大角為銳角，所以一定是銳角三角形，故B正確：對(duì)于C，因?yàn)?，若，則或，又，則除了角為鈍角外，還有一角為鈍角，矛盾；同理都不可能，故，，，即三個(gè)角均為銳角，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋字?，，則均為銳角，又，則也為銳角，所以一定為銳角三角形，故D正確．故選：BCD．11．折扇是一種用竹木或象牙做扇骨、韌紙或者綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子（如圖1），打開后形成以為圓心的兩個(gè)扇形（如圖2），若，，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在上，（，），則（

）

A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】AD【分析】對(duì)于A、B，利用向量減法的幾何意義，結(jié)合數(shù)量積的定義式，化簡(jiǎn)，根據(jù)角的取值范圍，可得答案;對(duì)于C、D，由題意作圖，根據(jù)幾何性質(zhì)，求得邊長(zhǎng)，結(jié)合向量加法與數(shù)乘，可得答案.【詳解】對(duì)于A，，因?yàn)椋?，所以，即，A正確；B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，當(dāng)時(shí)，可判斷為中點(diǎn)，，則，，作，則四邊形為平行四邊形，則，，所以，，所以．所以，C錯(cuò)誤，D正確．故選：AD．

12．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．若為棱上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為D．過(guò)作平面，使得，則截正方體所得的截面可以是四邊形【答案】ABC【分析】根據(jù)空間幾何關(guān)系及正方體的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可得到答案．【詳解】對(duì)于A，在正方體中，平面，所以，又因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，所以，同理可證，又因?yàn)榍移矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，A正確；因?yàn)樵谡襟w中，且，所以是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以∥平面，又，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，而面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，B正確；

對(duì)C，如圖，將繞旋轉(zhuǎn)，繞旋轉(zhuǎn)，使得與和與共面，如圖點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若周長(zhǎng)最小，即最小，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，最小，在中，由余弦定理得，所以，C正確；對(duì)于D，如圖，在正方體中，與正方體體對(duì)角線垂直的截面只有兩種圖形，三角形與六邊形，所以D錯(cuò)誤．

故選：ABC．三、填空題13．已知事件與相互獨(dú)立，，，則．【答案】0.88【分析】根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式求出，從而利用求出答案.【詳解】因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，所以，所以．故答案為：0.8814．已知三條不同的直線，，和兩個(gè)不同的平面，滿足以下條件：①，；②；③，，，，則與的位置關(guān)系是．（填“相交”，“平行”或“異面”）【答案】平行【分析】由面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到結(jié)論.【詳解】由題意可知，直線與直線不平行，過(guò)上一點(diǎn)作與直線，如圖所示，則與確定一個(gè)平面，由，，則，由，，則，又，則，由，得，由，得，又，，，所以，，，所以.故答案為：平行.15．已知棱長(zhǎng)為4的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，過(guò)棱的中點(diǎn)的一個(gè)平面截此球所得截面面積為（），請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的的值：．【答案】4或5或6（答案不唯一）【分析】將正四面體，置入到正方體中，正方體的外接球即為正四面體的外接球，從而得到過(guò)點(diǎn)的截面面積的最值，得到過(guò)點(diǎn)的截面圓面積取值范圍為，得到答案.【詳解】如圖，棱長(zhǎng)為4的正四面體，置入到正方體中，

此正方體棱長(zhǎng)為，四面體外接球即為此正方體外接球，球心即為正方體中心，半徑．則過(guò)點(diǎn)的最大截面圓即為過(guò)球心時(shí)，此時(shí)截面圓半徑即為球半徑，截面面積為，當(dāng)點(diǎn)為截面圓圓心時(shí)，此時(shí)截面圓面積最小，其中，最小截面圓半徑為，截面圓面積為，所以過(guò)點(diǎn)的截面圓面積取值范圍為，所以．故答案為：4或5或616．已知，為一個(gè)斜三角形的兩個(gè)內(nèi)角，若，則的最小值為．【答案】/【分析】利用同角三角函數(shù)的平方和商數(shù)關(guān)系及二倍角的余弦公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，由，得，所以，因?yàn)闉橐粋€(gè)斜三角形的兩個(gè)內(nèi)角，即，，，因此，顯然有，即角為一斜三角形的內(nèi)角，所以當(dāng)時(shí)，取最小值.故答案為：四、解答題17．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．(1)若復(fù)數(shù)滿足，求的虛部；(2)設(shè)復(fù)數(shù)（），若復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第二象限，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得答案；（2）求出，根據(jù)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第二象限可得答案．【詳解】（1）設(shè)，則由可得，整理得，所以，解得，，所以的虛部為；（2），因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第二象限，所以，即的取值范圍為．18．?dāng)?shù)字人民幣在數(shù)字經(jīng)濟(jì)時(shí)代中體現(xiàn)的價(jià)值、交易媒介和支付手段職能，為各地?cái)?shù)字經(jīng)濟(jì)建設(shè)提供了安全、便捷的支付方式，同時(shí)也為金融監(jiān)管、金融產(chǎn)品設(shè)計(jì)提供更多選擇性和可能性．蘇州作為全國(guó)首批數(shù)字人民幣試點(diǎn)城市之一，提出了2023年交易金額達(dá)2萬(wàn)億元的目標(biāo)．現(xiàn)從使用數(shù)字人民幣的市民中隨機(jī)選出200人，并將他們按年齡（單位：歲）進(jìn)行分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求直方圖中的值和第25百分位數(shù)；(2)在這200位市民中用分層隨機(jī)抽樣的方法從年?在和內(nèi)抽取6位市民做問(wèn)卷調(diào)查，并從中隨機(jī)抽取兩名幸運(yùn)市民，求兩名幸運(yùn)市民年齡都在內(nèi)的概率．【答案】(1)，第25百分位數(shù)為30(2)【分析】（1）根據(jù)頻率和為1可求的值，判斷第25百分位數(shù)在第二組，設(shè)為，列方程可求解；（2）用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取年齡在的人數(shù)為人，年齡在的人數(shù)為人，利用列舉法，根據(jù)古典概型概率公式求解即可.【詳解】（1）,因?yàn)榈谝唤M的頻率為，，第二組的頻率為，，所以第25百分位數(shù)在第二組，設(shè)為，則，所以第25百分位數(shù)為30.（2）年齡在的市民人數(shù)為，年齡在的市民人數(shù)為，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取年齡在的人數(shù)為人，年齡在的人數(shù)為人，設(shè)年齡在的4人為，，，，年齡在的2人為，，從這6為市民中抽取兩名的樣本事件為，共15種，其中2名年齡都在內(nèi)的樣本事件有種，所以兩名幸運(yùn)市民年齡都在內(nèi)的概率為．19．如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，平面平面，，和分別是和的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）取中點(diǎn)為，易證得四邊形為平行四邊形，得到，由線面平行的判定可證得結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)、面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可得，，由線面垂直的判定和性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】（1）取中點(diǎn)為，連結(jié)，分別為中點(diǎn)，，，，，又為中點(diǎn)，，，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面.（2）連結(jié)，四邊形是菱形，，平面平面，平面平面，平面，，平面，又平面，，，平面，平面，平面，.

20．已知向量，，函數(shù)．(1)若，且，求的值；(2)已知，，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象．在的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）利用向量數(shù)量積公式計(jì)算出，從而得到，結(jié)合角的范圍得到，從而利用湊角法求出答案；（2）求出，設(shè)，由垂直關(guān)系利用向量列出方程，令，結(jié)合，得到，求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1），，因?yàn)?，所以，而，所以，所以，所以；?）由題意得，假設(shè)的圖象上存在點(diǎn)使得，因?yàn)?，，因?yàn)?，所以，令，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以存唯一解，此時(shí)，點(diǎn)，綜上，符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為．21．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得創(chuàng)作的一部傳世巨著，該書以基本定義、公設(shè)和公理作為推理的出發(fā)點(diǎn)，第一次實(shí)現(xiàn)了幾何學(xué)的系繞化、條理化，成為用公理化方法建立數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范．書中第Ⅰ卷第47號(hào)命題是著名的畢達(dá)哥拉斯（勾股定理），證明過(guò)程中以直角三角形中的各邊為邊分別向外作了正方形（如圖1）．某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)上述圖形結(jié)構(gòu)作拓廣探究，提出了如下問(wèn)題，請(qǐng)幫忙解答．問(wèn)題：如圖2，已知滿足，，設(shè)（），四邊形、四邊形、四邊形都是正方形．

(1)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度；(2)求長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)6(2)6【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式，結(jié)合余弦定理即可求解；（2）利用余弦定理和正弦定理，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）在中，，，，則，，因?yàn)?，所以在中，，，由余弦定理所以的長(zhǎng)度為.（2）在中，由余弦定理得，所以，設(shè)，在中，由余弦定理得，所以

①在中，由正弦定理得，所以，代入①可得,因?yàn)?所以，當(dāng)即時(shí)，的最大值為，所以長(zhǎng)度的最大值為6．22．如圖，在四棱錐中，，，，，．

(1)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的大??；(2)當(dāng)二面角為時(shí)，求平面與平面所成二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）作出輔助線，由余弦定理求出，證明出線面垂直，得到即為直線與平面的所成角，求出，得到答案；（2）作出輔助線，得到為二面角的平面角，即，設(shè)點(diǎn)到平面和邊的距離分別為，，由求出，由求出，從而利用求出答案.【詳解】（1）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接．

因?yàn)?，所以，故為等邊三角形，所以，．因?yàn)?，，所以，．在中，由余弦定理得，所以，所以，所以由勾股定理逆定理得．因?yàn)椋?，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫?/p>