應(yīng)用統(tǒng)計(jì) (09)第9章 一元線性回歸(2011年)

數(shù)據(jù)分析

(方法與案例)

作者賈俊平統(tǒng)計(jì)學(xué)統(tǒng)

計(jì)

學(xué)

Statistics*

不要過(guò)于教條地對(duì)待研究的結(jié)果，尤其當(dāng)數(shù)據(jù)的質(zhì)量受到懷疑時(shí)。

——DamodarN.Gujarati統(tǒng)計(jì)名言第9章一元線性回歸9.1

變量間關(guān)系的度量9.2一元線性回歸的估計(jì)和檢驗(yàn)9.3利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)9.4用殘差檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷募俣?/p>

regressionanalysis*學(xué)習(xí)目標(biāo)相關(guān)關(guān)系的分析參數(shù)的最小二乘估計(jì)回歸直線的擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗(yàn)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)用殘差證實(shí)模型的假定用Excel

和SPSS進(jìn)行回歸*子代與父代一樣嗎？Galton被譽(yù)為現(xiàn)代回歸和相關(guān)技術(shù)的創(chuàng)始人。1875年，Galton利用豌豆實(shí)驗(yàn)來(lái)確定尺寸的遺傳規(guī)律。他挑選了7組不同尺寸的豌豆，并說(shuō)服他在英國(guó)不同地區(qū)的朋友每一組種植10粒種子，最后把原始的豌豆種子(父代)與新長(zhǎng)的豌豆種子(子代)進(jìn)行尺寸比較當(dāng)結(jié)果被繪制出來(lái)之后，他發(fā)現(xiàn)并非每一個(gè)子代都與父代一樣，不同的是，尺寸小的豌豆會(huì)得到更大的子代，而尺寸大的豌豆卻得到較小的子代。Galton把這一現(xiàn)象叫做“返祖”(趨向于祖先的某種平均類型)，后來(lái)又稱之為“向平均回歸”。一個(gè)總體中在某一時(shí)期具有某一極端特征(低于或高于總體均值)的個(gè)體在未來(lái)的某一時(shí)期將減弱它的極端性(或者是單個(gè)個(gè)體或者是整個(gè)子代)，這一趨勢(shì)現(xiàn)在被稱作“回歸效應(yīng)”。人們發(fā)現(xiàn)它的應(yīng)用很廣，而不僅限于從一代到下一代豌豆大小問(wèn)題*子代與父代一樣嗎？正如Galton進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)的那樣，平均來(lái)說(shuō)，非常矮小的父輩傾向于有偏高的子代；而非常高大的父輩則傾向于有偏矮的子代。在第一次考試中成績(jī)最差的那些學(xué)生在第二次考試中傾向于有更好的成績(jī)(比較接近所有學(xué)生的平均成績(jī))，而第一次考試中成績(jī)最好的那些學(xué)生在第二次考試中則傾向于有較差的成績(jī)(同樣比較接近所有學(xué)生的平均成績(jī))。同樣，平均來(lái)說(shuō)，第一年利潤(rùn)最低的公司第二年不會(huì)最差，而第一年利潤(rùn)最高的公司第二年則不會(huì)是最好的如果把父代和子代看作兩個(gè)變量，找出這兩個(gè)變量的關(guān)系，并根據(jù)這種關(guān)系建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，就可以根據(jù)父代的數(shù)值預(yù)測(cè)子代的取值，這就是經(jīng)典的回歸方法要解決的問(wèn)題。學(xué)完本章的內(nèi)容你會(huì)對(duì)回歸問(wèn)題有更深入的理解*回歸分析研究什么？研究某些實(shí)際問(wèn)題時(shí)往往涉及到多個(gè)變量。在這些變量中，有一個(gè)變量是研究中特別關(guān)注的，稱為因變量，而其他變量則看成是影響這一變量的因素，稱為自變量假定因變量與自變量之間有某種關(guān)系，并把這種關(guān)系用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型表達(dá)出來(lái)，那么，就可以利用這一模型根據(jù)給定的自變量來(lái)預(yù)測(cè)因變量，這就是回歸要解決的問(wèn)題在回歸分析中，只涉及一個(gè)自變量時(shí)稱為一元回歸，涉及多個(gè)自變量時(shí)則稱為多元回歸。如果因變量與自變量之間是線性關(guān)系，則稱為線性回歸(linearregression)；如果因變量與自變量之間是非線性關(guān)系則稱為非線性回歸(nonlinearregression)

9.1變量間的關(guān)系

9.1.1變量間是什么樣的關(guān)系？

9.1.2用散點(diǎn)圖描述相關(guān)關(guān)系

9.1.3用相關(guān)系數(shù)度量關(guān)系強(qiáng)度第9章一元線性回歸*怎樣分析變量間的關(guān)系？建立回歸模型時(shí)，首先需要弄清楚變量之間的關(guān)系。分析變量之間的關(guān)系需要解決下面的問(wèn)題變量之間是否存在關(guān)系？如果存在，它們之間是什么樣的關(guān)系？變量之間的關(guān)系強(qiáng)度如何？樣本所反映的變量之間的關(guān)系能否代表總體變量之間的關(guān)系？9.1.1變量間是什么樣的關(guān)系？9.1變量間的關(guān)系*

xy函數(shù)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系設(shè)有兩個(gè)變量x和y，變量y隨變量x一起變化，并完全依賴于x

，當(dāng)變量x取某個(gè)數(shù)值時(shí)，

y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量各觀測(cè)點(diǎn)落在一條線上

*相關(guān)關(guān)系

(幾個(gè)例子)子女的身高與其父母身高的關(guān)系從遺傳學(xué)角度看，父母身高較高時(shí)，其子女的身高一般也比較高。但實(shí)際情況并不完全是這樣，因?yàn)樽优纳砀卟⒉煌耆怯筛改干砀咭粋€(gè)因素所決定的，還有其他許多因素的影響一個(gè)人的收入水平同他受教育程度的關(guān)系收入水平相同的人，他們受教育的程度也不可能不同，而受教育程度相同的人，他們的收入水平也往往不同。因?yàn)槭杖胨诫m然與受教育程度有關(guān)系，但它并不是決定收入的惟一因素，還有職業(yè)、工作年限等諸多因素的影響農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量與降雨量之間的關(guān)系在一定條件下，降雨量越多，單位面積產(chǎn)量就越高。但產(chǎn)量并不是由降雨量一個(gè)因素決定的，還有施肥量、溫度、管理水平等其他許多因素的影響*相關(guān)關(guān)系

(correlation)一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定當(dāng)變量

x取某個(gè)值時(shí)，變量y的取值對(duì)應(yīng)著一個(gè)分布各觀測(cè)點(diǎn)分布在直線周圍

y

x

9.1.2用散點(diǎn)圖描述相關(guān)關(guān)系9.1變量間的關(guān)系*

完全負(fù)線性相關(guān)完全正線性相關(guān)

散點(diǎn)圖

(scatterdiagram)

不相關(guān)

負(fù)線性相關(guān)

正線性相關(guān)

非線性相關(guān)*用散點(diǎn)圖描述變量間的關(guān)系

(例題分析)【例9-1】為研究銷售收入與廣告費(fèi)用支出之間的關(guān)系，某醫(yī)藥管理部門隨機(jī)抽取20家藥品生產(chǎn)企業(yè)，得到它們的年銷售收入和廣告費(fèi)用支出(萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下。繪制散點(diǎn)圖描述銷售收入與廣告費(fèi)用之間的關(guān)系

原始數(shù)據(jù)*散點(diǎn)圖

(銷售收入和廣告費(fèi)用的散點(diǎn)圖)9.1.3用相關(guān)系數(shù)度量關(guān)系強(qiáng)度9.1變量間的關(guān)系*相關(guān)系數(shù)

(correlationcoefficient)度量變量之間線性關(guān)系強(qiáng)度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量若相關(guān)系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體相關(guān)系數(shù)，記為

若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，則稱為樣本相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱為相關(guān)系數(shù)，記為r也稱為Pearson相關(guān)系數(shù)

(Pearson’scorrelationcoefficient)樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式

計(jì)算相關(guān)系數(shù)Excel*相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：r

的取值范圍是[-1,1]|r|=1，為完全相關(guān)r=1，為完全正相關(guān)r=-1，為完全負(fù)正相關(guān)r=0，不存在線性相關(guān)關(guān)系-1

r<0，為負(fù)相關(guān)0<r

1，為正相關(guān)|r|越趨于1表示關(guān)系越強(qiáng)；|r|越趨于0表示關(guān)系越弱*相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2：r具有對(duì)稱性。即x與y之間的相關(guān)系數(shù)和y與x之間的相關(guān)系數(shù)相等，即rxy=ryx性質(zhì)3：r數(shù)值大小與x和y原點(diǎn)及尺度無(wú)關(guān)，即改變x和y的數(shù)據(jù)原點(diǎn)及計(jì)量尺度，并不改變r(jià)數(shù)值大小性質(zhì)4：僅僅是x與y之間線性關(guān)系的一個(gè)度量，它不能用于描述非線性關(guān)系。這意為著，r=0只表示兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，并不說(shuō)明變量之間沒(méi)有任何關(guān)系性質(zhì)5：r雖然是兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的一個(gè)度量，卻不一定意味著x與y一定有因果關(guān)系*相關(guān)系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)解釋|r|

0.8時(shí)，可視為兩個(gè)變量之間高度相關(guān)0.5

|r|<0.8時(shí)，可視為中度相關(guān)0.3

|r|<0.5時(shí)，視為低度相關(guān)|r|<0.3時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度極弱，可視為不相關(guān)上述解釋必須建立在對(duì)相關(guān)系數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)的基礎(chǔ)之上*相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

(檢驗(yàn)的步驟)1. 檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系采用R.A.Fisher提出的t檢驗(yàn)檢驗(yàn)的步驟為提出假設(shè)：H0：

；H1：

0計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量用Excel中的【TDIST】函數(shù)得雙尾計(jì)算P值，并于顯著性水平比較，并作出決策若P<，拒絕H0*相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

(例題分析)【例9-3】檢驗(yàn)銷售收入與廣告費(fèi)用之間的相關(guān)系數(shù)是否顯著(

0.05)提出假設(shè)：H0：

；H1：

0計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量3.用Excel中的【TDIST】函數(shù)得雙尾P=2.743E-09<

0.05，拒絕H0，銷售收入與廣告費(fèi)用之間的相關(guān)系數(shù)顯著*相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

(SPSS輸出結(jié)果)第1步：選擇【Analyze】

【Correlate-Bivariate】第2步：將兩個(gè)變量（本例為銷售收入和廣告費(fèi)用）分別選入【Variables】。點(diǎn)擊【OK】

9.2一元線性回歸的估計(jì)和檢驗(yàn)

9.2.1一元線性回歸模型

9.2.2參數(shù)的最小二乘估計(jì)

9.2.3回歸直線的擬合優(yōu)度

9.2.4顯著性檢驗(yàn)第9章一元線性回歸9.2.1一元線性回歸模型9.2一元線性回歸的估計(jì)和檢驗(yàn)*什么是回歸分析？

(regressionanalysis)重點(diǎn)考察考察一個(gè)特定的變量(因變量)，而把其他變量(自變量)看作是影響這一變量的因素，并通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型將變量間的關(guān)系表達(dá)出來(lái)利用樣本數(shù)據(jù)建立模型的估計(jì)方程對(duì)模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)進(jìn)而通過(guò)一個(gè)或幾個(gè)自變量的取值來(lái)估計(jì)或預(yù)測(cè)因變量的取值*一元線性回歸涉及一個(gè)自變量的回歸因變量y與自變量x之間為線性關(guān)系被預(yù)測(cè)或被解釋的變量稱為因變量(dependentvariable)，用y表示用來(lái)預(yù)測(cè)或用來(lái)解釋因變量的一個(gè)或多個(gè)變量稱為自變量(independentvariable)，用x表示因變量與自變量之間的關(guān)系用一個(gè)線性方程來(lái)表示*一元線性回歸模型

(linearregressionmodel)描述因變量y如何依賴于自變量x和誤差項(xiàng)

的方程稱為回歸模型一元線性回歸模型可表示為

y=b0+b1x+ey是x的線性函數(shù)(部分)加上誤差項(xiàng)線性部分反映了由于x的變化而引起的y的變化誤差項(xiàng)

是隨機(jī)變量反映了除x和y之間的線性關(guān)系之外的隨機(jī)因素對(duì)y的影響是不能由x和y之間的線性關(guān)系所解釋的變異性

0和

1稱為模型的參數(shù)*一元線性回歸模型

(基本假定)

因變量x與自變量y之間具有線性關(guān)系在重復(fù)抽樣中，自變量x的取值是固定的，即假定x是非隨機(jī)的誤差項(xiàng)

滿足正態(tài)性。是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且期望值為0，即

~N(0,

2)。對(duì)于一個(gè)給定的x值，y的期望值為E(y)=

0+

1x方差齊性。對(duì)于所有的x值，

的方差一個(gè)特定的值，的方差也都等于2都相同。同樣，一個(gè)特定的x值，y的方差也都等于

2獨(dú)立性。獨(dú)立性意味著對(duì)于一個(gè)特定的x值，它所對(duì)應(yīng)的ε與其他x值所對(duì)應(yīng)的ε不相關(guān)；對(duì)于一個(gè)特定的x值，它所對(duì)應(yīng)的y值與其他x所對(duì)應(yīng)的y值也不相關(guān)*估計(jì)的回歸方程

(estimatedregressionequation)總體回歸參數(shù)和

是未知的，必須利用樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)用樣本統(tǒng)計(jì)量和代替回歸方程中的未知參數(shù)和，就得到了估計(jì)的回歸方程一元線性回歸中估計(jì)的回歸方程為其中：是估計(jì)的回歸直線在y

軸上的截距，是直線的斜率，它表示對(duì)于一個(gè)給定的x

的值，是y

的估計(jì)值，也表示x

每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，y的平均變動(dòng)值

9.2.2參數(shù)的最小二乘估計(jì)9.2一元線性回歸的估計(jì)和檢驗(yàn)*參數(shù)的最小二乘估計(jì)

(methodofleastsquares)德國(guó)科學(xué)家KarlGauss(1777—1855)提出用最小化圖中垂直方向的誤差平方和來(lái)估計(jì)參數(shù)

使因變量的觀察值與估計(jì)值之間的誤差平方和達(dá)到最小來(lái)求得和的方法。即用最小二乘法擬合的直線來(lái)代表x與y之間的關(guān)系與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線都小*KarlGauss的最小化圖xy(xn,yn)(x1,y1)

(x2,y2)(xi,yi)ei=yi-yi＾*參數(shù)的最小二乘估計(jì)

(

和的計(jì)算公式)

根據(jù)最小二乘法，可得求解和的公式如下*參數(shù)的最小二乘估計(jì)

(例題分析)【例9-4】根據(jù)例9-1的數(shù)據(jù)，求銷售收入與廣告費(fèi)用的估計(jì)的回歸方程第1步：選擇【工具】下拉菜單，并選擇【數(shù)據(jù)分析】選項(xiàng)第2步：在分析工具中選擇【回歸】，選擇【確定】第2步：當(dāng)對(duì)話框出現(xiàn)時(shí)

在【Y值輸入?yún)^(qū)域】設(shè)置框內(nèi)鍵入Y的數(shù)據(jù)區(qū)域在【X值輸入?yún)^(qū)域】設(shè)置框內(nèi)鍵入X的數(shù)據(jù)區(qū)域在【置信度】選項(xiàng)中給出所需的數(shù)值在【輸出選項(xiàng)】中選擇輸出區(qū)域在【殘差】分析選項(xiàng)中選擇所需的選項(xiàng)回歸分析Excel*參數(shù)的最小二乘估計(jì)

(Excel輸出結(jié)果)【例】求銷售收入與廣告費(fèi)用的估計(jì)回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的含義*用SPSS進(jìn)行回歸第1步：選擇【Analyze】下拉菜單，并選擇【Regression-linear】選項(xiàng)，進(jìn)入主對(duì)話框第2步：在主對(duì)話框中將因變量(本例為銷售收入)選入【Dependent】，將自變量(本例為廣告費(fèi)用)選入【Independent(s)】第3步：點(diǎn)擊【Save】

在【PredictedValues】下選中【Unstandardized】(輸出點(diǎn)預(yù)測(cè)值)

在【Predictioninterval】下選中【Mean】和【Individual】(輸出置信區(qū)間和預(yù)測(cè)區(qū)間)

在【ConfidenceInterval】中選擇所要求的置信水平(隱含值95%，一般不用改變)

在【Residuals】下選中【Unstandardized】和【standardized】(輸出殘差和標(biāo)準(zhǔn)化殘差)

點(diǎn)擊【Continue】回到主對(duì)話框。點(diǎn)擊【OK】進(jìn)行回歸SPSS*參數(shù)的最小二乘估計(jì)

(SPSS輸出結(jié)果)*參數(shù)的最小二乘估計(jì)

(例題分析)9.2.3回歸直線的擬合優(yōu)度9.2一元線性回歸的估計(jì)和檢驗(yàn)*變差因變量

y的取值是不同的，y取值的這種波動(dòng)稱為變差。變差來(lái)源于兩個(gè)方面由于自變量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x對(duì)y的非線性影響、測(cè)量誤差等)的影響對(duì)一個(gè)具體的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，變差的大小可以通過(guò)該實(shí)際觀測(cè)值與其均值之差來(lái)表示*誤差分解圖xyy

*誤差平方和的分解

(誤差平方和的關(guān)系)

SST=SSR+SSE總平方和(SST){回歸平方和(SSR)殘差平方和(SSE){{*誤差平方和的分解

(三個(gè)平方和的意義)總平方和(SST—totalsumofsquares)反映因變量的n個(gè)觀察值與其均值的總誤差回歸平方和(SSR—sumofsquaresofregression)反映自變量x

的變化對(duì)因變量y

取值變化的影響，或者說(shuō)，是由于x

與y

之間的線性關(guān)系引起的y

的取值變化，也稱為可解釋的平方和殘差平方和(SSE—sumofsquaresoferror)反映除x

以外的其他因素對(duì)y

取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和*判定系數(shù)R2

(coefficientofdetermination)回歸平方和占總誤差平方和的比例反映回歸直線的擬合程度取值范圍在[0,1]之間R2

1，說(shuō)明回歸方程擬合的越好；R2

0，說(shuō)明回歸方程擬合的越差判定系數(shù)平方根等于相關(guān)系數(shù)輸出結(jié)果Excel*估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差

(standarderrorofestimate)實(shí)際觀察值與回歸估計(jì)值誤差平方和的均方根反映實(shí)際觀察值在回歸直線周圍的分散狀況對(duì)誤差項(xiàng)

的標(biāo)準(zhǔn)差

的估計(jì)，是在排除了x對(duì)y的線性影響后，y隨機(jī)波動(dòng)大小的一個(gè)估計(jì)量反映用估計(jì)的回歸方程預(yù)測(cè)y時(shí)預(yù)測(cè)誤差的大小

計(jì)算公式為輸出結(jié)果Excel9.2.4顯著性檢驗(yàn)9.2一元線性回歸的估計(jì)和檢驗(yàn)*線性關(guān)系的檢驗(yàn)檢驗(yàn)自變量與因變量之間的線性關(guān)系是否顯著將回歸均方(MSR)同殘差均方(MSE)加以比較，應(yīng)用F檢驗(yàn)來(lái)分析二者之間的差別是否顯著回歸均方：回歸平方和SSR除以相應(yīng)的自由度(自變量的個(gè)數(shù)k)殘差均方：殘差平方和SSE除以相應(yīng)的自由度(n-k-1)*線性關(guān)系的檢驗(yàn)

(檢驗(yàn)的步驟)

提出假設(shè)H0：

1=0線性關(guān)系不顯著2.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)