冪賦范條件下的離散分布

冪賦范條件下的離散分布

當（xn）是一個獨立的分布隨機變量序列（簡單記錄為i.i.d.序列）時，公共分布函數(shù)為f（x）、mn=max（x1，…，xn）和非退化分布函數(shù)（x）。當實體序列為a，bnr時。Ρ(Μn≤anx+bn)w→G(x)(1)則G(x)只能與3種經(jīng)典的極值分布類型之一同類,且如果(1)式成立,則稱F(x)屬于吸引場Dl(G),記為F∈Dl(G).文獻推廣了Dl(G)中分布函數(shù)所滿足充要條件的部分結果,文獻進一步研究了獨立同有限混合分布的隨機變量的極值分布問題.對于一些常見的離散分布(1)式是不成立的,如離散均勻分布、二項分布、幾何分布、負二項分布、廣義冪級數(shù)分布和泊松分布等.文獻和分別證明了當上述提及的常見離散分布的參數(shù)隨n適當變化時,(1)式可以成立.文獻研究了非線性賦范下的最大值的極限分布.特別地,若存在αn>0和βn>0,滿足當n→∞時,Ρ(|Μnαn|1βnsign(Μn)≤x)=Fn(αn|x|βnsign(x))w→Η(x)(2)其中sign(x)是符號函數(shù),則稱F屬于H的冪賦范條件下的吸引場,且記作F∈Dp(H).文獻證明了H一定是6種極值分布類型之一.文獻和分別得到了F滿足(2)式的充要條件,其中文獻得到了Dl(G)?Dp(H).文獻給出了Dp(H)和Dl(G)的聯(lián)系.本文采用使離散分布的參數(shù)隨n適當變化的方法,得到了幾種常見離散分布的冪賦范條件下的極值分布.記ω(F)=sup{x|F(x)<1}為F的右端點.對于離散變量X,分布律為pk=P(X=k),其中k≤ω(F).為了證明主要結論,需要以下引理.引理1(Xn)為一列i.i.d.隨機變量,其公共分布函數(shù)為F,且ω(F)>0.假設G(x)是非退化分布函數(shù),如果存在an,bn滿足當n→∞時an/bn→0且(1)式成立,那么,當n→∞時,Ρ(|Μnαn|1βnsign(Μn)≤x)=Fn(αn|x|βnsign(x))→G(μ(x))(3)其中:αn=bn?βn=an/bn?μ(x)={logxx＞0-∞x≤0.證定義μn(x)={-1/βnx≤0(xβn-1)/βnx＞0首先對于x≤0,由于ω(F)>0,因此當n→∞時,Fn(αn|x|βnsign(x))=Ρ(Μn≤sign(x)αn|x|βn)≤Ρ(Μn≤0)→0(4)當x>0時,由條件知μn(x)→logx.因此,Fn(αn|x|βnsign(x))=Fn(αnxβn)=Fn(anμn(x)+bn)→G(logx)(5)引理證畢.下面討論本文主要結論.首先是關于泊松分布冪賦范條件下的最大值極限分布.(Xn)為參數(shù)λ(n)的泊松獨立隨機變量序列,其公共分布律為pk=λk(n)k!exp(-λ(n))k=0?1??(6)且λ(n)滿足logn=o(λ1/3(n)),取an=1√2lognbn=√2logn-loglogn+log4π2√2logn(7)當n→∞時,文獻得到Ρ(Μn≤√λ(n)anx+√λ(n)bn+λ(n))→exp(-exp(-x))由引理1,得到以下結論.定理1假設(Xn)為所述泊松獨立隨機變量序列,取αn=λ(n)+√λ(n)bn?βn=an/(bn+√λ(n))?那么limn→∞Ρ(Μn≤αn|x|βnsign(x))={0x≤0exp(-x-1)x＞0其中an和bn定義見(7)式.證由于n→∞時,Ρ(Μn≤αnβnx+αn)→exp(-exp(-x)),且n→∞時,βn=28logn+2√2λ(n)logn-loglogn-log4π→0應用引理1,即可得到結論.定理2假設(Xn)是一列i.i.d.的離散均勻隨機變量序列,其分布律為pk=1Ν?k=1?2???Ν?Ν=Ν(n).如果N(n)滿足n=o(N(n)),那么對于序列αn=Ν(n)+Ν(n)nlogββn=αn+logβ我們有l(wèi)imn→∞Ρ(Μn≤αn|x|βnsign(x))={0x≤0βxα0＜x≤β-1/α其中:α>0,0<β≤1.證由文獻的定理2知n→∞時有,Ρ(Μn≤αnβnx+αn)→exp(αx-β)顯然n→∞時βn→0,最后應用引理1即可得到結論.對于二項分布,定義pk=(Νk)pk(1-p)Ν-kk=0?1???Ν(8)以下定理表明,當Ν=Ν(n)→∞且參數(shù)p固定時,可以得到二項分布冪賦范下的最大值極限分布.定理3假設(Xn)是一列i.i.d.的隨機變量,都服從二項分布,其參數(shù)p固定,N(n)滿足(logn)3=o(Ν(n))(9)則存在序列αn=pΝ(n)+√p(1-p)Ν(n)b(n)βn=an√pΝ(n)/(1-p)+bn使得limn→∞Ρ(Μn≤αn|x|βnsign(x))={0x≤0exp(-x-1)x＞0其中an,bn與(7)式中定義相同.證首先由文獻中的定理3得到,當n→∞時,Ρ(Μn≤αnβnx+αn)→exp(-exp(-x))再由(8)和βn的定義,顯然βn→0.最后應用引理1即可得到結果.對于幾何分布,其分布律為pk=p(1-p)k-1k=1?2??(10)定理4假設(Xn)是一列i.i.d.隨機變量,都服從參數(shù)為p=p(n)的幾何分布,如果當n→∞時p(n)→0,取αn=log(n/β)p(n)βn=αlog(n/β)則limn→∞Ρ(Μn≤αn|x|βnsign(x))={0x≤0exp(-βx-α)x＞0其中:α>0,β>0.證首先由文獻中的定理4有,當n→∞時,Ρ(Μn≤αnβnx+αn)→exp(-βexp(-αx))所以由(10)式和βn定義知βn→0.最后通過引理1即可得到結論.定義負二項分布為pk=(k-1r-1)pr(1-p)k-rk=r?r+1??(11)得到以下結論.定理5假設(Xn)是一列i.i.d.隨機變量,都服從負二項分布,其參數(shù)滿足r≥2(r為常數(shù)),p(n)→0且p(n)=o(1/logn)(12)取αn=logn+(r-1)loglogn-log(r-1)!p(n)βn=αlogn+(r-1)loglogn-log(r-1)!則limn→