山東省2015年春季高考數(shù)學(xué)真題含解析

Page15山東省2015年春季高考數(shù)學(xué)真題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題20個(gè)小題，每題3分，共60分．在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請將符合題目要求的選項(xiàng)字母選出，填涂在答題卡上）1.假設(shè)集合，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】，，.故選：B.2.的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用公式法解絕對值不等式，即可求解集.【詳解】由得：，解得.∴解集為.故選：B3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.且 B.C.且 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義的要求列不等式求函數(shù)定義域.【詳解】由函數(shù)解析式有意義可得且所以函數(shù)的定義域是且，故選：A.4.“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的（）A.充分沒必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由直線與圓相切等價(jià)條件，易判斷【詳解】由于“圓心到直線的距離等于圓的半徑”“直線與圓相切”，因此充分性成立；“直線與圓相切”“圓心到直線的距離等于圓的半徑”，故必要性成立；可得“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的充要條件故選：C5.在等比數(shù)列中，，，則等于（）A. B.5 C. D.9【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的項(xiàng)求公比，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴．故選：D6.如下圖，是線段的中點(diǎn)，設(shè)向量，，那么能夠表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算，可得解【詳解】由題意，．故選：B7.終邊在軸的正半軸上的角的集合是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用終邊落在坐標(biāo)軸上角的表示方法即可求解【詳解】終邊在軸正半軸上的角的集合是故選：A8.關(guān)于函數(shù)，以下表達(dá)錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）A.函數(shù)的最大值是1 B.函數(shù)圖象的對稱軸是直線C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 D.函數(shù)圖象過點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，直接進(jìn)行求解即可.【詳解】，最大值是1，A正確；對稱軸是直線，B正確；單調(diào)遞減區(qū)間是，故C錯(cuò)誤；令的，故在函數(shù)圖象上，故D正確，故選：C9.某值日小組共有5名同窗，假設(shè)任意安排3名同窗負(fù)責(zé)教室內(nèi)的地面衛(wèi)生，其余2名同窗負(fù)責(zé)教室外的走廊衛(wèi)生，那么不同的安排方式種數(shù)是（）A.10 B.20 C.60 D.100【答案】A【解析】【分析】根據(jù)組合的定義計(jì)算即可.【詳解】從5人當(dāng)選取3人負(fù)責(zé)教室內(nèi)的地面衛(wèi)生，共有種安排方式．（選取3人后剩下2名同窗干的活就定了）

故選：A10.如下圖，直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由圖得到直線的傾斜角為30，進(jìn)而得到斜率，然后由直線與軸交點(diǎn)為求解.【詳解】由圖可得直線的傾斜角為30°，所以斜率，所以直線與軸的交點(diǎn)為，所以直線的點(diǎn)斜式方程可得：，即．故選：D11.關(guān)于命題，，假設(shè)“為假命題”，且為真命題，那么（）A.，都是真命題 B.，都是假命題C.，一個(gè)是真命題一個(gè)是假命題 D.無法判定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)邏輯聯(lián)合詞“或”，“且”連接的命題的真假性，容易判斷出，的真假性.【詳解】由是假命題可知，至少有一個(gè)假命題，由是真命題可知，至少有一個(gè)真命題，∴，一個(gè)是真命題一個(gè)是假命題.故選：C12.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么的值是（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，.故選：A.13.已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)在函數(shù)的圖象上代入可得，再利用向量的模長公式求解即可.【詳解】∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，，．故選：D14.關(guān)于，的方程，給出以下命題；①當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線；②當(dāng)時(shí)，方程表示拋物線；③當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓；④當(dāng)時(shí)，方程表示等軸雙曲線；⑤當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓．其中，真命題的個(gè)數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)曲線方程，討論m的取值確定對應(yīng)曲線的類別即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線；當(dāng)時(shí)，方程表示兩條垂直于軸的直線；當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，方程表示圓；當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓．∴①③⑤正確.故答案為：B15.的二項(xiàng)展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是（）A.0 B. C. D.32【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的二項(xiàng)展開式系數(shù)之和為求解即可【詳解】的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為故選：D16.不等式組表示的區(qū)域（陰影部分）是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用特殊點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證和邊界的虛實(shí)線進(jìn)行排除可得答案.【詳解】將點(diǎn)代入不成立，則點(diǎn)不在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，將點(diǎn)代入不成立，則點(diǎn)不在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以表示的平面區(qū)域不包括原點(diǎn)，排除AC；不包括邊界，用虛線表示，包括邊界，用實(shí)線表示，故選：D.17.甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點(diǎn)中任選一處，那么甲、乙兩位同學(xué)恰好選取同一處景點(diǎn)的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用古典概型的概率求法，求甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點(diǎn)的概率即可.【詳解】甲、乙兩位同窗選取景點(diǎn)的種數(shù)為，其中甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點(diǎn)的種數(shù)為2，∴甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點(diǎn)的概率為．故選：D18.已知向量，，那么等于（）A. B. C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和兩角和的正弦公式可得答案.【詳解】，，.故選：A.19.已知，表示平面，，表示直線，以下命題中正確的選項(xiàng)是（）A.假設(shè)，，那么B.假設(shè)，，，那么C.假設(shè)，，那么D.假設(shè)，，，，那么【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可判斷A；根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可判斷B、C；根據(jù)面面平行的判定定理，可判定D【詳解】選項(xiàng)A：假設(shè)，，那么或在內(nèi)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：假設(shè)，，，那么或與異面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：假設(shè)，，，，且、相交才能判定，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：依照兩平面平行的性質(zhì)可知C正確．故選：C20.已知是雙曲線（，）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，直線與軸垂直，且，那么雙曲線的離心率是（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】易得的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，求得，由可得，然后由a，b，c的關(guān)系求得，最后求得離心率即可.【詳解】的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，易得，解得，因?yàn)橹本€與軸垂直，且，所以可得，則，即，所以，離心率為．故選：A.第Ⅱ卷（非選擇題，共60分）二、填空題（本大題共5個(gè)題，每題4分，共20分，請將答案填在答題卡上相應(yīng)題號的橫線上）21.直棱柱的底面是邊長為的菱形，側(cè)棱長為，那么直棱柱的側(cè)面積是______．【答案】【解析】【分析】直棱柱的四個(gè)側(cè)面都是長為，寬為的矩形，依此計(jì)算側(cè)面積即可.【詳解】直棱柱的四個(gè)側(cè)面都是長為，寬為的矩形，該直棱柱的側(cè)面積為四個(gè)矩形面積之和，所以直棱柱側(cè)面積是.故答案為：.22.在△中，，，，等于______．【答案】【解析】【分析】由和角正弦公式求函數(shù)值，再應(yīng)用正弦定理求即可.【詳解】，由正弦定理可知，，∴.故答案為：23.打算從500名學(xué)生中抽取50名進(jìn)行問卷調(diào)查，擬采納系統(tǒng)抽樣方式，為此將他們一一編號為1~500，并對編號進(jìn)行分段，假設(shè)從第一個(gè)號碼段中隨機(jī)抽出的號碼是2，那么從第五個(gè)號碼段中抽出的號碼應(yīng)是______．【答案】42【解析】【分析】由題設(shè)，根據(jù)等距抽樣的特點(diǎn)確定第五個(gè)號碼段中抽出的號碼即可.【詳解】從500名學(xué)生中抽取50名，那么每兩相鄰號碼之間的距離是10，第一個(gè)號碼是2，那么第五個(gè)號碼段中抽取的號碼應(yīng)是.故答案為：4224.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)與圓的圓心重合，長軸長等于圓的直徑，那么短軸長等于______．【答案】【解析】【分析】由于是圓，可得，通過圓心和半徑計(jì)算，即得解【詳解】由于是圓，即：圓其中圓心為，半徑為4那么橢圓的長軸長為8，即，，，那么短軸長為故答案為：25.集合，，都是非空集合，現(xiàn)規(guī)定如下運(yùn)算：且．假設(shè)集合，，，其中實(shí)數(shù)，，，，，滿足：（1），；；（2）；（3）．計(jì)算____________________________________．【答案】或【解析】【分析】由題設(shè)條件求，，，，，的大小關(guān)系，再根據(jù)集合運(yùn)算新定義求即可.【詳解】，得；，得；∴，；同理，∴．由(1)(3)可得．∴，，．或．故答案為：或三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共40分，請?jiān)诖痤}卡相應(yīng)的題號處寫出解答進(jìn)程）26.某學(xué)校合唱團(tuán)參加演出，需要把120名演員排成5排，而且從第二排起，每排比前一排多3名，求第一排應(yīng)安排多少名演員．【答案】18【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求第一排的演員數(shù)量即可.【詳解】由題意，各排人數(shù)組成等差數(shù)列，設(shè)第一排人數(shù)是，公差，前5項(xiàng)和，由知：，解得．∴第一排應(yīng)安排18名演員.27.已知函數(shù)，，，函數(shù)的部分圖象如下圖，求（1）函數(shù)的最小正周期及的值：（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）最小正周期；；（2），．【解析】【分析】（1）根據(jù)解析式可直接求出最小正周期，代入點(diǎn)可求出；（2）令可解出單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1）函數(shù)的最小正周期，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，因此，即，又因?yàn)?，因此．?）因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，．因此，解得，因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，28.已知函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值是16，（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）假設(shè)函數(shù)的定義域是，求不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)求解；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)求解；（2）根據(jù)的定義域是，由恒成立求解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值16，即，因此．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值16，即，因此．（2）因?yàn)榈亩x域是，即恒成立．則方程的判別式，即，解得，又因?yàn)榛?，因此．代入不等式得，即，解得，因此?shí)數(shù)的取值范圍是．29.如下圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，，．（1）求與所成角的余弦值；（2）求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】(1)由題意可得即為SA與BC所成的角，根據(jù)余弦定理計(jì)算即可；

(2)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)即可證明.【詳解】【考查內(nèi)容】異面直線所成的角，直線與平面垂直的判定和性質(zhì)【解】（1）因?yàn)?，因此即為與所成的角，在中，，又在正方形中，因此，因此與所成角余弦值是．（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，在正方形中，，因此平面，又因平面，因此?0.已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，且到軸的距離是．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)直線通過點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合到焦點(diǎn)、軸的距離求，寫出拋物線方程.（2）直線的斜率不存在易得與不垂直與題設(shè)矛盾，設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，進(jìn)