陜西省2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中理科試題含解析

Page22陜西省2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中理科試題注意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，答案均寫在答題紙上，滿分150分，時間120分鐘.2.答卷前將答題卡上的姓名?班級?考場填寫清楚，并檢查條形碼是否完整?信息是否準(zhǔn)確.3.答卷必須使用0.5mm的黑色簽字筆書寫，字跡工整?筆跡清晰，并且必須在題號所指示的答題區(qū)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的書寫無效.第I卷（選擇題共60分）一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知全集U＝{x∈Z|0<x<8}，集合M＝{2,3,5}，N＝{x|x2－8x＋12＝0}，則集合{1,4,7}為()A.M∩(?UN) B.?U(M∩N)C.?U(M∪N) D.(?UM)∩N【答案】C【解析】【詳解】由N中方程解得：x=2或x=6,即N={2,6}，∵全集U={x∈Z|0<x<8}={1,2,3,4,5,6,7},M={2,3,5}，∴M∪N={2,3,5,6}，則M∩(?UN)={1,2,3,4,5,7};?U(M∩N)={1,3,4,5,6,7};?U(M∪N)={1,4,7};(?UM)∩N={2,6}，故選C.點(diǎn)睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確集合類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的集合．2．求集合的交、并、補(bǔ)時，一般先化簡集合，再由交、并、補(bǔ)的定義求解．3．在進(jìn)行集合的運(yùn)算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點(diǎn)值的取舍．2.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若（i為虛數(shù)單位），則（）A.i B.－1＋iC.－1－i D.－i【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】由已知可得，則，故選：C.3.設(shè)為單位向量，下列命題中：①若為平面內(nèi)的某個向量，則；②若與平行，則；③若與平行且，則，假命題的個數(shù)是（）A0 B.1C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由向量是既有大小又有方向的量，兩個非零向量平行的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，可判斷【詳解】向量是既有大小又有方向的量，與的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若與平行，則與的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3．故選：D4.歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯(公元前375年—325年)，大約100年后，阿波羅尼奧更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).設(shè)拋物線：，一束平行于拋物線對稱軸的光線經(jīng)過，被拋物線反射后，又射到拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出入射光線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，利用斜率相等列式可解得結(jié)果.【詳解】設(shè)從點(diǎn)沿平行于拋物線對稱軸的方向射出的直線與拋物線交于點(diǎn)，易知，將代入拋物線方程得，即，設(shè)焦點(diǎn)為，則，設(shè)，由，，三點(diǎn)共線，有，化簡得，解得或(舍)，即.故選：D5.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和題設(shè)條件，求得，進(jìn)而求解數(shù)列的公差，得到答案．【詳解】依題意，可得，解得，又，所以，所以公差，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，合理準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6.已知，為第三象限角，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩角差的正弦公式化簡可得，利用同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，由為第三象限角知，，所以，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和差的正余弦公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題.7.侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成的，且每一個正方形的四個頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，設(shè)外圍第1個正方形的邊長是m，侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長度(蜘蛛網(wǎng)中正方形的周長之和)為Sn，則（）A.Sn無限大 B.Sn<3(3＋)mC.Sn＝3(3＋)m D.Sn可以取100m【答案】B【解析】【分析】先找出規(guī)律，再用等比數(shù)列的求和公式可求解.【詳解】由題意可得，外圍第2個正方形的邊長為＝m；外圍第3個正方形的邊長為＝m；……外圍第n個正方形的邊長為m.所以蜘蛛網(wǎng)的長度Sn＝4m＝4m×<4m×＝3(3＋)m.故選:B.8.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且的最小正周期為，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為．若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)原函數(shù)的奇偶性及周期性確定的值，然后得到的解析式，再根據(jù)確定，最后求解的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，且其最小正周期為，所以，則，得．又，所以，故，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查型函數(shù)的圖象及性質(zhì)，難度一般.解答時先要根據(jù)題目條件確定出、及的值，然后解答所給問題.9.雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于點(diǎn)，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】將代入雙曲線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，通過解直角三角形列出三參數(shù)，，的關(guān)系，求出離心率的值．【詳解】由于軸，且在第一象限，設(shè)所以將代入雙曲線的方程得即，在△中，，即,解得,故選：B10.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，，，，當(dāng)時，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出的圖象，由圖象可知，則可得出，在上的圖象關(guān)于直線對稱，所以，且，那么，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其值域即可.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，即，所以，.由余弦函數(shù)的圖象可知，在上的圖象關(guān)于直線對稱，所以，且，因此變形為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想的運(yùn)用，難度一般,準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖象是關(guān)鍵.11.已知在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，SD，則可得為二面角的平面角，得，過點(diǎn)D作與平面垂直的直線，則球心O在該直線上，設(shè)球的半徑為R，連接OB，OS，然后在△OSD中利用余弦定理可求出R，從而可求得球的表面積.【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，SD，因?yàn)?，，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)锳B⊥BC，，所以，因?yàn)?，所以，過點(diǎn)D作與平面ABC垂直的直線，則球心O在該直線上，設(shè)球的半徑為R，連接OB，OS，可得，在△OSD中，∠ODS＝，利用余弦定理可得，解得R2＝，所以其外接球的表面積為.故選：D12.函數(shù)滿足，，若存在，使得成立，則的取值A(chǔ). B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由題意設(shè)，則，所以（為常數(shù)）．∵，∴，∴，∴．令，則，故當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．∴，從而當(dāng)時，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增．設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．∴不等式等價于，∴，解得，故的取值范圍為．選A．點(diǎn)睛：本題考查用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，在解答過程中首先要根據(jù)含有導(dǎo)函數(shù)的條件構(gòu)造函數(shù)，并進(jìn)一步求得函數(shù)的解析式，從而得到函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．然后再根據(jù)條件中的能成立將原不等式轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)不等式化為一般不等式求解即可．第II卷（非選擇題共90分）二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題紙中相成的橫線上.）13.已知向量，則___________.【答案】12【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】，由，得，，解得.故答案為：1214.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】畫出前三個不等式構(gòu)成的不等式組表示的平面區(qū)域，求出A，B的坐標(biāo)，得到當(dāng)直線x+y=a過A，B時的a值，再由題意可得a的取值范圍．【詳解】如圖，聯(lián)立解得A當(dāng)x+y=a過B（1，0）時，a=1；當(dāng)x+y=a過A時，a=∴若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則0＜a≤1或a≥.故答案為0＜a≤1或a≥.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．15.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和等于的展開式的常數(shù)項(xiàng)，而的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)等于54，則正數(shù)的值為__________.【答案】【解析】【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值．根據(jù)展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)等于，求得的值．【詳解】展開式的通項(xiàng)為:，令，解得，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為．由題意可得，故有．由于展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)等于，，解得．由于，所以故答案為：16.如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則下列四個結(jié)論：①；②；③；④.其中正確結(jié)論的序號為__________.（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】③④【解析】【分析】根據(jù)三棱錐的體積公式和等積性，結(jié)合正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定定理逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，，則，，如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槠矫?，平面，所以，而，所以四邊形是直角梯形，則有，，，所以有，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)闉檎叫?，所以，而平面，所以平面，即平面?所以，，故答案為：③④.三?解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）若，求的值；（2）若的平分線交AB于點(diǎn)D，且，求的最小值；【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角得到，再根據(jù)，有，然后利用兩角差的正弦公式展開求解.（2）根據(jù)的平分線交AB于點(diǎn)D，且，由，可得，化簡得到，則，再利用基本不等式求解.【詳解】（1）解法一由及正弦定理，知即，，.解法二，，，，.（2），，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，的最小值為4.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，基本不等式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18.為了讓稅收政策更好的為社會發(fā)展服務(wù),國家在修訂《中華人民共和國個人所得稅法》之后，發(fā)布了《個人所得稅專項(xiàng)附加扣除暫行辦法》，明確“專項(xiàng)附加扣除”就是子女教育、繼續(xù)教育大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金贈養(yǎng)老人等費(fèi)用，并公布了相應(yīng)的定額扣除標(biāo)準(zhǔn)，決定自2019年1月1日起施行，某機(jī)關(guān)為了調(diào)查內(nèi)部職員對新個稅方案的滿意程度與年齡的關(guān)系，通過問卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)得如下2×2列聯(lián)表：40歲及以下40歲以上合計(jì)基本滿意153045很滿意251035合計(jì)404080（1）根據(jù)列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為滿意程度與年齡有關(guān)?（2）為了幫助年齡在40歲以下的未購房的8名員工解決實(shí)際困難,該企業(yè)擬員工貢獻(xiàn)積分（單位：分）給予相應(yīng)的住房補(bǔ)貼（單位：元）,現(xiàn)有兩種補(bǔ)貼方案，方案甲：;方案乙：.已知這8名員工的貢獻(xiàn)積分為2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,將采用方案甲比采用方案乙獲得更多補(bǔ)貼的員工記為“類員工”.為了解員工對補(bǔ)貼方案的認(rèn)可度,現(xiàn)從這8名員工中隨機(jī)抽取4名進(jìn)行面談，求恰好抽到3名“類員工”的概率．附：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.100.0500250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）由列聯(lián)表計(jì)算的觀測值即可求解；（2）由題得8名員工的貢獻(xiàn)積分及按甲、乙兩種方案所獲補(bǔ)貼情況，進(jìn)一步得到“類員工”的人數(shù)，再利用古典概型求解即可【詳解】（1）根據(jù)列聯(lián)表可以求得的觀測值：.∵.∴有99%的把握認(rèn)為滿意程度與年齡有關(guān)（2）據(jù)題意，該8名員工的貢獻(xiàn)積分及按甲、乙兩種方案所獲補(bǔ)貼情況為：積分23677111212方案甲24003100520059005900870094009400方案乙30003000560056005600900090009000由表可知，“類員工”有5名.設(shè)從這8名員工中隨機(jī)抽取4名進(jìn)行面談，恰好抽到3名“類員工”的概率為.則【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，古典概型計(jì)算，熟練計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題19.已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，平面，分別是的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的大?。敬鸢浮浚á瘢┳C明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）通過證明和，結(jié)合線面垂直的判定定理證明出平面；（Ⅱ）先求解出平面和平面的法向量，然后求解出法向量夾角的余弦值，由此確定出銳二面角的余弦值，從而銳二面角的大小可求.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)槭钦切?，是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，，平面，所以面；（Ⅱ）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面法向量為因?yàn)?，所以，令，則，又平面法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以.所以平面與平面所成銳二面角為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：向量方法求解二面角的余弦值的步驟：（1）建立合適空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對應(yīng)的兩個半平面中相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一個法向量；（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量亦可）（3）計(jì)算（2）中兩個法向量夾角的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是鈍角還是銳角，從而得到二面角的余弦值.20.如圖，經(jīng)過點(diǎn)，且中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓的弦所在直線交軸于點(diǎn)，且.求證：直線的斜率為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，即，，將點(diǎn)，代入即可求得和的值，求得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線的方程與橢圓方程,可得坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式即可求解.【小問1詳解】由題意可知：焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由橢圓的離心率，即，，將代入橢圓方程：，解得：，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】由題意可知：直線有斜率，且，設(shè)直線方程為，，，，，，整理得：，，故由韋達(dá)定理可知：，由得：,故直線方程為，因此所以因此，為定值.21.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）試比較與的大小，并說明理由；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，證明：.【答案】（1），證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得，在分析判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到，即得；（2）將逐步轉(zhuǎn)化為證明的問題，利用導(dǎo)數(shù)證明在上的單調(diào)性，從而得證.【小問1詳解】由題可知：，，而直線的斜率，所以有，解得：或，又因?yàn)楹瘮?shù)在處有意義，所以，故，所以，，時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，即，即有，所以.【小問2詳解】不妨設(shè)，所以有，化簡得即，，要證，即證，即證，因?yàn)?，所以即證：，即，設(shè)，因?yàn)椋?，即證()設(shè)()，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，即，即.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)