正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用

正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用（新課標(biāo)人教版必修5第一章）一、知識(shí)與方法歸納1.正弦定理與三角形的面積公式（略）2.正弦定理的應(yīng)用（1）利用正弦定理可以解答以下兩類(lèi)三角形問(wèn)題（包括相關(guān)的社會(huì)實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用題）.①已知三角形的兩角及其任意一條邊，求其它的邊和角.解題的思路是：首先由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，然后利用正弦定理求出另外兩條邊.②已知三角形的兩邊和其中一條邊所對(duì)的角，求其它的邊和角.解題的思路是：首先由正弦定理求出另一條邊所對(duì)的角，然后由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，最后再由正弦定理求出第三條邊的大小.⑵已知a,b和A,用正弦定理求B時(shí)，由于已知三角形的兩邊和其中一條邊所對(duì)的角不能確定唯一的三角形，因此，解答此類(lèi)型的三角形時(shí)常常出現(xiàn)無(wú)解、一解、兩解三種情況.①若A為銳角時(shí):；②若A為直角或鈍角時(shí):具體解的情況可列表如下：⑶在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.2余弦定理(1).余弦定理及其推論（略）；(2).余弦定理與勾股定理的關(guān)系(略)(5).余弦定理的應(yīng)用⑴.求解三角形問(wèn)題：利用余弦定理主要解答如下三種.求解三角形問(wèn)題①已知三角形的兩邊和它們的夾角,求三角形的第三邊和其他兩個(gè)角；②已知三角形的三邊,求三角形的三個(gè)角；③已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角,求三角形的第三邊和其余兩個(gè)角.⑵判斷三角形的形狀：基本思路是圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，通常有兩種途徑：一是利用正弦定理和余弦定理，化邊為角;二是利用正弦定理和余弦定理，化角為邊⑶解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.3.解斜三角形應(yīng)用題中的幾個(gè)概念(1)仰角、俯角：如下圖（左），當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線(xiàn)與水平線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的角叫仰角，在水平線(xiàn)下方的角叫做俯角.

(2)方向角、方位角：①方向角：指北或指南方向線(xiàn)與目標(biāo)方向線(xiàn)所成的小于90°的水平角，叫方向角，如上圖（右），目標(biāo)方向線(xiàn)方向一般可用“×偏×”多少度來(lái)表示，這里第一個(gè)“×”號(hào)是“北”或“南”字，第二個(gè)“×”號(hào)是“東”字或“西”字，OA、OB、OC、OD的方向角分別表示北偏東60°，北偏西30°，西南方向，南偏東20°.②方向角：從某點(diǎn)開(kāi)始的指北方向線(xiàn)按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)為止的水平角，叫方位角.它是方向角的另一種表現(xiàn)形式(3)水平距離、垂直距離、坡面距離：如下圖（左）BC代表水平距離，AC代表垂直距離，AB代表坡面距離.

(4)坡度、坡角：如上圖（右）把坡面的鉛直高度h和水平寬度為l的比叫做坡度(或叫做坡比)，用字母i表示，即,坡度一般寫(xiě)成h/l的形式.如i=1/4(即)坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡角與坡度之間有如下關(guān)系：i==tanα.⑸基線(xiàn)：的測(cè)量上，根據(jù)測(cè)量需要而確定的線(xiàn)段叫做基線(xiàn)（6）.解斜三角形應(yīng)用題常見(jiàn)題型主要有以下六種題型即：題型1.測(cè)量高度的問(wèn)題；題型2.測(cè)量角度的問(wèn)題；題型3.測(cè)量距離問(wèn)題包括求水平距離和垂直距離兩種，題型4.計(jì)算面積問(wèn)題；題型5.航海問(wèn)題；題型6.物理學(xué)問(wèn)題.具體分類(lèi)見(jiàn)下表：二、典型例題例1．根據(jù)下列條件解三角形：（1）；（2）．例2．根據(jù)下列條件，判斷有沒(méi)有解？若有解，判斷解的個(gè)數(shù)．（1），，，求；（2），，，求；（3），，，求；（4），，，求；（5），，，求．例3．（1）在中,已知判斷的形狀(要求用兩種方法)．（2）在中，已知，試判斷該三角形的形狀(要求用兩種方法).例4．作用在同一點(diǎn)的三個(gè)力平衡.已知，，與之間的夾角是，求的大小及與之間的夾角的正弦值.例4圖例4圖例5．如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)之間的距離，在河岸這邊取點(diǎn)，測(cè)得，，，，.設(shè)在同一平面內(nèi)，試求之間的距離（精確到）.引申：如果，兩點(diǎn)在河的兩岸（不可到達(dá)），試設(shè)計(jì)一種測(cè)量，兩點(diǎn)間距離的方法.例5圖例6．如圖，某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在處獲悉后，測(cè)出該漁輪在方位角為，距離為的處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為的方向，以的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以的速度前去營(yíng)救.求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間（角度精確到，時(shí)間精確到）.例5圖（例6）例7．如圖，某海島上一觀(guān)察哨在上午時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東的處，時(shí)分測(cè)得輪船在海島北偏西的處，時(shí)分輪船到達(dá)海島正西方的港口.如果輪船始終勻速前進(jìn)，求船速.（例6）例8．某登山隊(duì)在山腳處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?，沿傾斜角為的斜坡前進(jìn)米后到達(dá)處，又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?，求山的高?精確到米)．正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用參考答案例題1解：（1），∴，，∴，∴為銳角，∴，∴．（2），∴，∴，∴當(dāng)；∴當(dāng)；所以，．例題2.解：（1）∵，∴只能是銳角，因此僅有一解．（2）∵，∴只能是銳角，因此僅有一解．（3）由于為銳角，而，即，因此僅有一解．（4）由于為銳角，而，即，因此有兩解，易解得．（5）由于為銳角，又，即，∴無(wú)解．例題3解：（1）解：令，由正弦定理，得，，．代入已知條件，得，即．又，，，所以，從而為正三角形．（2）由正弦定理及余弦定理，得，所以，整理得因?yàn)?，所以．因此，為等腰三角形．?圖例4.解：應(yīng)和合力平衡，所以和在同一直線(xiàn)上，例8圖并且大小相等，方向相反.如圖，在中，由余弦定理，得.再由正弦定理，得，.答為，與之間夾角的正弦值是.例題5解：在中，，，則.又，由正弦定理，得.在中，，，則.又，由正弦定理，得.在中，由余弦定理，得，所以答兩點(diǎn)之間的距離約為.本例中看成或的一邊，為此需求出，或，，所以可考察和，根據(jù)已知條件和正弦定理來(lái)求，，再由余弦定理求.例6.解：設(shè)艦艇收到信號(hào)后在處靠攏漁輪，則，，又，.由余弦定理，得，即.化簡(jiǎn)，得，解得（負(fù)值舍去）.由正弦定理，得，所以，方位角為.答艦艇應(yīng)沿著方向角的方向航行，經(jīng)過(guò)就可靠近漁輪.本例是正弦定理、余弦定理在航海問(wèn)題中的綜合應(yīng)用.因?yàn)榕炌牡脚c漁輪從到的時(shí)間相同，所以根據(jù)余弦定理可求出該時(shí)間，從而求出和；再根據(jù)正弦定理求出.例7．解：設(shè)，船的速度為，則，.在中，，.在中，，.在中，，，，船的速度.例8分析：要求，只要求，為此考慮解．解：過(guò)點(diǎn)作交于，因?yàn)?，所以，于是．又，所以．在中，由正弦定理，得．在中，．答：山的高度約為．，求：①角的度數(shù)；②的長(zhǎng)度；③．北乙甲2.（山東07理科）如圖,甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線(xiàn)航行,當(dāng)甲船位于處時(shí),乙船位于甲船的北偏西的方向處,此時(shí)兩船相距