正弦定理和余弦定理及其應用

正弦定理和余弦定理及其應用（新課標人教版必修5第一章）一、知識與方法歸納1.正弦定理與三角形的面積公式（略）2.正弦定理的應用（1）利用正弦定理可以解答以下兩類三角形問題（包括相關(guān)的社會實際問題中的應用題）.①已知三角形的兩角及其任意一條邊，求其它的邊和角.解題的思路是：首先由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角，然后利用正弦定理求出另外兩條邊.②已知三角形的兩邊和其中一條邊所對的角，求其它的邊和角.解題的思路是：首先由正弦定理求出另一條邊所對的角，然后由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角，最后再由正弦定理求出第三條邊的大小.⑵已知a,b和A,用正弦定理求B時，由于已知三角形的兩邊和其中一條邊所對的角不能確定唯一的三角形，因此，解答此類型的三角形時常常出現(xiàn)無解、一解、兩解三種情況.①若A為銳角時:；②若A為直角或鈍角時:具體解的情況可列表如下：⑶在解決實際問題中的應用.2余弦定理(1).余弦定理及其推論（略）；(2).余弦定理與勾股定理的關(guān)系(略)(5).余弦定理的應用⑴.求解三角形問題：利用余弦定理主要解答如下三種.求解三角形問題①已知三角形的兩邊和它們的夾角,求三角形的第三邊和其他兩個角；②已知三角形的三邊,求三角形的三個角；③已知三角形的兩邊及其中一邊的對角,求三角形的第三邊和其余兩個角.⑵判斷三角形的形狀：基本思路是圍繞三角形的邊角關(guān)系進行思考，通常有兩種途徑：一是利用正弦定理和余弦定理，化邊為角;二是利用正弦定理和余弦定理，化角為邊⑶解決實際應用問題.3.解斜三角形應用題中的幾個概念(1)仰角、俯角：如下圖（左），當我們進行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫做俯角.

(2)方向角、方位角：①方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫方向角，如上圖（右），目標方向線方向一般可用“×偏×”多少度來表示，這里第一個“×”號是“北”或“南”字，第二個“×”號是“東”字或“西”字，OA、OB、OC、OD的方向角分別表示北偏東60°，北偏西30°，西南方向，南偏東20°.②方向角：從某點開始的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標方向線為止的水平角，叫方位角.它是方向角的另一種表現(xiàn)形式(3)水平距離、垂直距離、坡面距離：如下圖（左）BC代表水平距離，AC代表垂直距離，AB代表坡面距離.

(4)坡度、坡角：如上圖（右）把坡面的鉛直高度h和水平寬度為l的比叫做坡度(或叫做坡比)，用字母i表示，即,坡度一般寫成h/l的形式.如i=1/4(即)坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡角與坡度之間有如下關(guān)系：i==tanα.⑸基線：的測量上，根據(jù)測量需要而確定的線段叫做基線（6）.解斜三角形應用題常見題型主要有以下六種題型即：題型1.測量高度的問題；題型2.測量角度的問題；題型3.測量距離問題包括求水平距離和垂直距離兩種，題型4.計算面積問題；題型5.航海問題；題型6.物理學問題.具體分類見下表：二、典型例題例1．根據(jù)下列條件解三角形：（1）；（2）．例2．根據(jù)下列條件，判斷有沒有解？若有解，判斷解的個數(shù)．（1），，，求；（2），，，求；（3），，，求；（4），，，求；（5），，，求．例3．（1）在中,已知判斷的形狀(要求用兩種方法)．（2）在中，已知，試判斷該三角形的形狀(要求用兩種方法).例4．作用在同一點的三個力平衡.已知，，與之間的夾角是，求的大小及與之間的夾角的正弦值.例4圖例4圖例5．如圖，為了測量河對岸兩點之間的距離，在河岸這邊取點，測得，，，，.設(shè)在同一平面內(nèi)，試求之間的距離（精確到）.引申：如果，兩點在河的兩岸（不可到達），試設(shè)計一種測量，兩點間距離的方法.例5圖例6．如圖，某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該漁輪在方位角為，距離為的處，并測得漁輪正沿方位角為的方向，以的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以的速度前去營救.求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間（角度精確到，時間精確到）.例5圖（例6）例7．如圖，某海島上一觀察哨在上午時測得一輪船在海島北偏東的處，時分測得輪船在海島北偏西的處，時分輪船到達海島正西方的港口.如果輪船始終勻速前進，求船速.（例6）例8．某登山隊在山腳處測得山頂?shù)难鼋菫?，沿傾斜角為的斜坡前進米后到達處，又測得山頂?shù)难鼋菫?，求山的高?精確到米)．正弦定理和余弦定理及其應用參考答案例題1解：（1），∴，，∴，∴為銳角，∴，∴．（2），∴，∴，∴當；∴當；所以，．例題2.解：（1）∵，∴只能是銳角，因此僅有一解．（2）∵，∴只能是銳角，因此僅有一解．（3）由于為銳角，而，即，因此僅有一解．（4）由于為銳角，而，即，因此有兩解，易解得．（5）由于為銳角，又，即，∴無解．例題3解：（1）解：令，由正弦定理，得，，．代入已知條件，得，即．又，，，所以，從而為正三角形．（2）由正弦定理及余弦定理，得，所以，整理得因為，所以．因此，為等腰三角形．例8圖例4.解：應和合力平衡，所以和在同一直線上，例8圖并且大小相等，方向相反.如圖，在中，由余弦定理，得.再由正弦定理，得，.答為，與之間夾角的正弦值是.例題5解：在中，，，則.又，由正弦定理，得.在中，，，則.又，由正弦定理，得.在中，由余弦定理，得，所以答兩點之間的距離約為.本例中看成或的一邊，為此需求出，或，，所以可考察和，根據(jù)已知條件和正弦定理來求，，再由余弦定理求.例6.解：設(shè)艦艇收到信號后在處靠攏漁輪，則，，又，.由余弦定理，得，即.化簡，得，解得（負值舍去）.由正弦定理，得，所以，方位角為.答艦艇應沿著方向角的方向航行，經(jīng)過就可靠近漁輪.本例是正弦定理、余弦定理在航海問題中的綜合應用.因為艦艇從到與漁輪從到的時間相同，所以根據(jù)余弦定理可求出該時間，從而求出和；再根據(jù)正弦定理求出.例7．解：設(shè)，船的速度為，則，.在中，，.在中，，.在中，，，，船的速度.例8分析：要求，只要求，為此考慮解．解：過點作交于，因為，所以，于是．又，所以．在中，由正弦定理，得．在中，．答：山的高度約為．，求：①角的度數(shù)；②的長度；③．北乙甲2.（山東07理科）如圖,甲船以每小時海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當甲船位于處時,乙船位于甲船的北偏西的方向處,此時兩船相距