專題12空間向量求距離與角度13種題型歸類（原卷版）

專題空間向量：求距離與角度13種題型歸類一、熱考題型歸納【題型一】求平面法向量【題型二】點(diǎn)到面的距離(向量法)【題型三】點(diǎn)到直線的距離(向量法)【題型四】兩平面之間的距離(向量法)【題型五】異面直線之間的距離(向量法)【題型六】異面直線的夾角【題型七】直線與平面所成的角【題型八】二面角【題型九】線線角應(yīng)用【題型十】線面角應(yīng)用【題型十一】面面角應(yīng)用【題型十二】斜棱柱型建系計(jì)算【題型十三】空間向量求體積二、培優(yōu)練熱點(diǎn)考題歸納【題型一】平面法向量【典例分析】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在正三棱錐DABC中，，，O為底面ABC的中心，點(diǎn)P在線段DO上，且，若平面PBC，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．2.（（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，則平面的一個(gè)單位法向量是（

）A． B．C． D．【提分秘籍】求平面法向量的方法與步驟(1)求平面ABC的法向量時(shí)，要選取平面內(nèi)兩不共線向量，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)；(3)聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解；(4)所求出向量中的三個(gè)坐標(biāo)不是具體的值而是比例關(guān)系，設(shè)定一個(gè)坐標(biāo)為常數(shù)(常數(shù)不能為0)便可得到平面的一個(gè)法向量．【變式演練】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，則下列向量是平面法向量的是（）A． B．C． D．2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，則平面ABC的一個(gè)單位法向量是（

）A． B．C． D．3.（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則平面的一個(gè)單位法向量是（

）A． B．C． D．【題型二】點(diǎn)到面的距離（向量法）【典例分析】1.（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）在三棱錐中，底面，則點(diǎn)到平面的距離是（

）A． B． C． D．2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）在單位正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】對(duì)于利用空間向量求解點(diǎn)到平面的距離的步驟通常為：①求平面的法向量；②求斜線段對(duì)應(yīng)的向量在法向量上的投影的絕對(duì)值，即為點(diǎn)到平面的距離．空間中其他距離問題一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解．著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式演練】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，則（

）A． B． C． D．2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正方體的棱長為2，、分別為上底面和側(cè)面的中心，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【題型三】點(diǎn)到直線的距離（向量法）【典例分析】1.．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知三棱錐，，且，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．C． D．32.（2023·江蘇徐州·校考模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，空間一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．【變式演練】1.（2023春·廣東茂名·高三校考階段練習(xí)）菱形的邊長為4，，E為AB的中點(diǎn)（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，則F到直線BC的距離為（

）A． B． C． D．2.（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B． C． D．53.（2023·全國·高二專題練習(xí)）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線BE的距離為（

）A．3 B． C． D．【題型四】兩平面之間距離（向量法）【典例分析】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）在邊長為1的正方體中．平面與平面之間的距離為（

）A． B．1 C． D．【提分秘籍】兩平面之間的距離,可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面上一點(diǎn)到另外一個(gè)面的距離.【變式演練】1.（2023·全國·高二假期作業(yè)）兩平行平面分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量，則兩平面間的距離是（

）A． B． C． D．2.（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習(xí)）在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．3.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知是棱長為1的正方體，則平面與平面的距離為．【題型五】異面直線之間距離（向量法）【典例分析】1.（2022秋·黑龍江綏化·高三海倫市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正四棱錐中，PA＝AB＝1，點(diǎn)Q，R分別在棱AB，PC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)QR取得最小值時(shí)，三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．2.（2022·高二單元測(cè)試）如圖，正方體中，M，N分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列各項(xiàng)中會(huì)隨著M，N的運(yùn)動(dòng)而變化的是（

）A．異面直線與直線所成的角的大小 B．平面與平面所成的角的大小C．直線到平面距離的大小 D．異面直線，之間的距離的大小【變式演練】1.（2023·全國·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，，，，分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，記兩點(diǎn)之間的最小距離為，將沿折疊，直到三棱錐的體積最大時(shí)，不再繼續(xù)折疊.在折疊過程中，的最小值為.2.（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖，正四棱錐的棱長均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為．3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，N是棱AD的中點(diǎn)，M是棱CC1上的點(diǎn)，且CC1=3CM，則直線BM與B1N之間的距離為.【題型六】異面直線的夾角【典例分析】1.（2022·安徽安慶·安慶一中校考三模）已知直平行六面體中，，，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．02.（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，若三棱錐的體積等于時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】求異面直線夾角的方法(1)傳統(tǒng)法：作出與異面直線所成角相等的平面角，進(jìn)而構(gòu)造三角形求解．(2)向量法：在兩異面直線a與b上分別取點(diǎn)A，B和C，D，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))可分別為a，b的方向向量，則cosθ＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|).【變式演練】1.（2022·安徽安慶·安慶一中校考三模）已知直平行六面體中，，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．02.（2021春·廣西桂林·高二桂林中學(xué)?？计谥校┮阎睦庵?，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所形成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3.（2022秋·安徽安慶·高二校考階段練習(xí)）在直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【題型七】直線與平面的夾角【典例分析】1.（2023春·廣東東莞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面底面，平面底面，四邊形為正方形，且，為的重心，則與底面所成的角滿足（

）A． B．C． D．2.（2022秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┤鐖D，在棱錐中，，，兩兩垂直，，，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系．(2)求直線的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)設(shè)線面角為θ，則sinθ＝eq\f(|u·n|,|u||n|).【變式演練】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（

）．A． B． C． D．2.（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在長方體中，已知，，為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3.（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期末）在正方體中，E為的中點(diǎn)，則直線與平面所成的角的正弦值為（

）A． B． C． D．【題型八】面與面所成的角【典例分析】1.（2023秋·浙江嘉興·高二浙江省海鹽高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，則銳二面角的大小為（

）A．30° B．45°C．60° D．75°2.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體ABEF-DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點(diǎn)，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（

）A．－ B．C．－ D．【提分秘籍】求兩平面夾角的兩種方法:(1)定義法：在兩個(gè)平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角．也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同．(2)法向量法：分別求出兩平面的法向量n1，n2，則兩平面的夾角為〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)))或π－〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí).))如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小為，其兩個(gè)面的法向量分別為，則==【變式演練】1.（2023秋·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為1，則平面與平面所成的角為（）A． B． C． D．2.（2022秋·吉林長春·高二東北師大附中校考期中）如圖，在正三棱柱中，，則平面與平面夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．3.（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）在三棱錐中，平面平面是的中點(diǎn).，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【題型九】線線角應(yīng)用【典例分析】1.（2018秋·上?！じ叨軛疃行？计谀┰谡襟w中，點(diǎn)（異于點(diǎn)）是棱上一點(diǎn)，則滿足與，所成的角為45°的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．0 B．3 C．4 D．62.（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合），且．若直線與所成角的余弦值是，則（

）A． B． C． D．【提分秘籍】求異面直線所成的角若兩異面直線所成角為，它們的方向向量分別為，則有=.【變式演練】1.（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，平面，線段AB，SC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，若異面直線EC與BF所成角的余弦值為，則（

）A． B．4 C．2 D．32.（2022秋·全國·高二專題練習(xí)）已知正方體的棱長為，點(diǎn)在線段上，若直線與所成角的余弦值為，則（

）A． B． C．3 D．3.（2022秋·廣東江門·高二開平市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)，使得異面直線與成30°的角，則線段長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型十】線面角應(yīng)用【典例分析】1.（2021·高二單元測(cè)試）在正方體ABCD—A1B1C1D1中，異面直線和分別在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且，若與所成角為60°時(shí)，則與側(cè)面ADD1A1所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°2.（2020·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，直角梯形中，，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，沿直線把翻折，連接，如圖2，設(shè)，若異面直線與所成的角是，則（

）A． B． C． D．【提分秘籍】求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有=.【變式演練】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面圓心為，頂點(diǎn)為，側(cè)面展開圖對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為，，是底面圓周上的兩點(diǎn)，與平面所成角的正弦值為，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知四棱錐的底面為平行四邊形，，，，平面ABCD，直線PD與平面PAC所成角為，則（

）A． B． C． D．3.（2023春·江蘇連云港·高二?？计谥校┤鐖D所示空間直角坐標(biāo)系中，是正三棱柱的底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，直線和底面所成角為，則P點(diǎn)坐標(biāo)滿足（

）【題型十一】面面角應(yīng)用【典例分析】1.（2021·高二課時(shí)練習(xí)）在正四棱錐中，，分別為，的中點(diǎn)，且側(cè)面與底面所成二面角的正切值為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）.A． B． C． D．2.（2022春·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）設(shè)點(diǎn)是棱長為的正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在面所在的平面內(nèi)，若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，則點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是A． B． C． D．【提分秘籍】平面與平面相交，形成四個(gè)二面角，把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面與平面的夾角=.【變式演練】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正三棱柱中，，點(diǎn)D為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)E為上的點(diǎn)，且滿足，當(dāng)二面角的正切值為時(shí)，實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．1 C．2 D．32.（2022秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中?？茧A段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)在棱上，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)平面與平面所成（銳）二面角的余弦值為時(shí)，經(jīng)過三點(diǎn)的截面的面積為（

）A． B． C． D．3.（2020秋·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）如圖四邊形中，，，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，直線與所成角的余弦值是A． B． C． D．【題型十二】斜棱柱型建系計(jì)算【典例分析】1.（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，，頂點(diǎn)在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線上的動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值是（

）A． B．2 C． D．2.（2023春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是，直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】斜棱柱建系,主要從以下幾方面來入手:是否有”立桿”(線面垂直)是否有面面垂直,通過垂面來構(gòu)造線面垂直.底面是否有互相垂直的直線.【變式演練】1.（2023春·四川成都·高二?？计谥校┰谄叫辛骟w中，底面是邊長為2的正方形，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是a，且，，E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為（

）A． B． C． D．【題型十三】空間向量求體積【典例分析】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面是等腰直角三角形，平面平面，當(dāng)棱上一動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)，過作截面交于點(diǎn)，則四棱錐的體積是（

）A． B． C． D．2.（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學(xué)考試）在直四棱柱中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱，M為側(cè)棱的中點(diǎn)，N在側(cè)面矩形內(nèi)(異于點(diǎn))，則三棱錐體積的最大值為.【變式演練】1.（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在正四棱錐中，底面邊長為，側(cè)棱，為的中點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，且與、不重合，若異面直線與所成角為，則三棱錐的體積為．2.（2021春·全國·高二專題練習(xí)）四棱錐中，平面，，，，已知是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，且二面角的平面角大小為，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡將分成面積為的兩部分，則.一、單選題1．（2023春·廣東深圳·高二校考期中）若平面的一個(gè)法向量為，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．2．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量為（

）A． B． C． D．3．（2021秋·湖北武漢·高二武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）期中）已知，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求與的夾角（

）A．0 B． C． D．4．（2021秋·北京·高二北京市第十三中學(xué)校考期中）兩個(gè)不重合的平面α與平面ABC，若平面α的法向量為，，，則（

）A．平面平面ABC B．平面平面ABCC．平面α、平面ABC相交但不垂直 D．以上均有可能5．（2022秋·安徽馬鞍山·高二校聯(lián)考期中）二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于，已知，AC=3，，，則該二面角的大小為（

）．A． B． C． D．6．（2023春·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）如圖，長方體中，，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論中不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為B．當(dāng)時(shí)，若平面的法向量記為，則C．當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為D．若，則7．（2023春·湖南郴州·高二期中）在三棱錐中，面ABC，，，且，若G為△PAB的重心，則CG與平面ABC所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）如圖，是棱長為1的正方體，若P∈平面BDE，且滿足，則P到AB的距離為（）A． B． C． D．二、多選題9．（20