2022年廣東省梅州市葉塘中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022年廣東省梅州市葉塘中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)在上存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A．

B．C．

D．參考答案：D2.已知，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，可知使函數(shù)f（x）有四個(gè)零點(diǎn)，只需要ex-ax2=0有兩個(gè)正根，即=-a有兩個(gè)正根，設(shè)g（x）=，x＞0，求導(dǎo)g′（x）=,令g′（x）＞0，解得：0＜x＜2，g（x）在（0，2）單調(diào)遞減，令g′（x）＜0，解得：x＞2，g（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增，∴g（x）在x=2時(shí)取最大值，最大值g（2）=﹣，要使=-a有兩個(gè)正根，即使g（x）與y=-a有兩個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的范圍是.故答案為：B.

3.已知函數(shù)（表示不超過x的最大整數(shù)），若有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f（x）的圖象，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f（x）與g（x）=ax有三個(gè)不同的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則等價(jià)為有且僅有3個(gè)根，即與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)和的圖象如圖，當(dāng)a=1時(shí)，與有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，即，時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，與有三個(gè)交點(diǎn)，要使與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線處在過和之間，即，故選：A．【點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.4.在中，“”是“”的（

）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件參考答案：C5.已知a＞0，b＞0，則“l(fā)og2a＞log2b”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴l(xiāng)og2a＞log2b?a＞b?，故選：C．6.若是R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論：①是偶函數(shù)；②對(duì)任意的都有；③在上單調(diào)遞增；④在上單調(diào)遞增．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

（）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：7.在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，則的值為（）A．79 B．69 C．5 D．﹣5參考答案：D【考點(diǎn)】余弦定理；平面向量數(shù)量積的含義與物理意義．【分析】由三角形的三邊，利用余弦定理求出cosB的值，然后利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則表示出所求向量的數(shù)量積，利用誘導(dǎo)公式化簡后，將各自的值代入即可求出值．【解答】解：由AB=5，BC=7，AC=8，根據(jù)余弦定理得：cosB==，又||=5，||=7，則=||?||cos（π﹣B）=﹣||?||cosB=﹣5×7×=﹣5．故選D【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．注意與的夾角是π﹣B，而不是B，學(xué)生做題時(shí)容易出錯(cuò)．8.設(shè)集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，則?U（A∩B）=（） A．{4} B． {3，5} C． {1，2，4} D． ?參考答案：C略9.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)時(shí)，，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：B10.分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，組成一個(gè)樣本的抽樣方法；在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢．欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共100錢，要按照各人帶錢多少的比例進(jìn)行交稅，問三人各應(yīng)付多少稅？則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．甲應(yīng)付錢 B．乙應(yīng)付錢C．丙應(yīng)付錢 D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少參考答案：B由分層抽樣知識(shí)可知，，則甲應(yīng)付：錢；乙應(yīng)付：錢；丙應(yīng)付：錢.故選：B

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)正數(shù)a，b，c滿足++≤，則=

．參考答案：考點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：利用基本不等式的性質(zhì)“取等號(hào)的條件”即可得出．解答： 解：∵a，b，c為正數(shù)，∴（a+b+c）=14+++++=36．當(dāng)且僅當(dāng)a：b：c=1：2：3．∵++≤，∴++=，∴==．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12.若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為1cm、圓心角為的半圓，則這個(gè)圓錐的軸截面面積等于.參考答案：因?yàn)榘雸A的周長為，所以圓錐的母線為1。設(shè)圓錐的底面半徑為，則，所以。圓錐的高為，所以圓錐的軸截面面積為。13.已知滿足,則的最大值為

參考答案：答案:314.四棱錐的所有側(cè)棱長都為，底面是邊長2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值

.參考答案：略15.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

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．參考答案：3當(dāng)時(shí)，由得，設(shè)，作出函數(shù)的圖象，由圖象可知，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，由，解得。所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)。16.在下列結(jié)論中：①函數(shù)為奇函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為；④若，則.其中正確結(jié)論的序號(hào)為

（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．參考答案：①③17.若數(shù)列{an}滿足“對(duì)任意正整數(shù)n，恒成立”，則稱數(shù)列{an}為“差非增數(shù)列”．給出下列數(shù)列{an}，n∈N*：①an=2n++1，②an=n2+1，③an=2n+1，④an=ln，⑤an=2n+．其中是“差非增數(shù)列”的有（寫出所有滿足條件的數(shù)列的序號(hào)）．參考答案：③④【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】把恒成立化為an+an+2≤2an+1恒成立，然后逐一驗(yàn)證5個(gè)數(shù)列得答案．【解答】解：①若an=2n++1為“差非增數(shù)列”，則恒成立，即恒成立，此式顯然不正確，①不是“差非增數(shù)列”；②若an=n2+1為“差非增數(shù)列”，則n2+1+（n+2）2+1≤2（n+1）2+2，即2≤0恒成立，此式顯然不正確，②不是“差非增數(shù)列”；③若an=2n+1為“差非增數(shù)列”，則2n+1+2（n+2）+1≤2[2（n+1）+1]，即0≤0恒成立，此式顯然正確，③是“差非增數(shù)列”；④若an=ln為“差非增數(shù)列”，則ln+ln≤2ln，即恒成立，也就是2n+3≥0恒成立，此式顯然正確，④是“差非增數(shù)列”；⑤若an=2n+為“差非增數(shù)列”，則，即2≤0恒成立，此式顯然不正確，②不是“差非增數(shù)列”．故答案為：③④．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)．若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：函數(shù)的定義域?yàn)椋?分（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．………………………4分（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減．……………5分（2）當(dāng)時(shí)，，（?。┤簦?，即，得或；………………6分由，即，得．………7分所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．

……8分（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增．…………………9分（Ⅲ））因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)使得，則，等價(jià)于.………………10分令，等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，”.

對(duì)求導(dǎo)，得.

……………11分因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.……………13分所以，因此.

…………14分另解：設(shè)，定義域?yàn)椋?依題意，至少存在一個(gè)，使得成立，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，.

………10分（1）當(dāng)時(shí)，在恒成立，所以在單調(diào)遞減，只要，不滿足題意.

…………………11分（2）當(dāng)時(shí)，令得.（?。┊?dāng)，即時(shí)，在上，所以在上單調(diào)遞增，所以，由得，，所以.

………ks5u…12分（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，在上，所以在單調(diào)遞減，所以，由得.………ks5u…………13分（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，在上，在上，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，等價(jià)于或，解得，所以，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

………14分【解析】略19.函數(shù)f（x）=|x﹣a|，a＜0（Ⅰ）若a=﹣2求不等式f（x）+f（2x）＞2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】R5：絕對(duì)值不等式的解法；R4：絕對(duì)值三角不等式．【分析】（Ⅰ）若a=﹣2，分類討論，即可求不等式f（x）+f（2x）＞2的解集；（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇﹣，+∞），利用不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，f（x）=|x+2|，f（x）+f（2x）=|x+2|+|2x+2|＞2，不等式可化為或或解得x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）；（Ⅱ）f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，則f（x）≥﹣a；當(dāng)a時(shí)，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，則﹣＜f（x）＜﹣a；當(dāng)x≥時(shí)，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，則x≥﹣，所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇﹣，+∞），因?yàn)椴坏仁絝（x）+f（2x）＜的解集非空，即為，解得a＞﹣1，由于a＜0，則a的取值范圍為（﹣1，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的解法，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．20.如圖所示的三棱臺(tái)中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=1，AB=2，BC=4，∠ABB1=45°．（1）證明：AB1⊥平面BCC1B1；（2）若點(diǎn)D為CC1中點(diǎn)，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）過點(diǎn)B1作B1N⊥AB．說明△BNB1為等腰直角三角形，證明AB1⊥BB1．AA1⊥BC．AB⊥BC，推出BC⊥平面ABB1A1，得到BC⊥AB1，然后證明AB1⊥平面BCC1B1．（2）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．如圖，求出平面ABD的一個(gè)法向量．平面BCC1B1的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．【解答】（1）證明：如圖，過點(diǎn)B1作B1N⊥AB．∵∠B1BN=45°，故△BNB1為等腰直角三角形，∴B1N=BN=1，∴，∴，∴AB1⊥BB1．又∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC．又AB⊥BC，且AB∩AA1=A，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB1，又∵BC∩BB1=B，∴AB1⊥平面BCC1B1．（2）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），B1（1，0，1），C1（1，2，1），∴，∴，．由（1）知，平面BCC1B1的一個(gè)法向量為．設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為，則即令y=1，則∴，．故二面角A﹣BD﹣C的余弦值為．21.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記bn=log2（an+1），求數(shù)列{bn?an}的前n項(xiàng)和為Sn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）通過對(duì)an+1=2an+1變形可得（an+1+1）=2（an+1），進(jìn)而可得{an+1}是以2為公比、2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；（2）通過，可得bn?an=n?2n﹣n，記A=1×21+2×22+…+n?2n，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算A﹣2A的值，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵an+1=2an+1，∴（an+1+1）=2（an+1）∵a1+1=2≠0，∴an+1≠0，∴，∴{an+1}是以2為公比、2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，∴，∴；（2）∵，∴