基于主成分分析的振動噪聲源的研究

基于主成分分析的振動噪聲源的研究

在噪聲控制中，源診斷是一項極為重要的工作。它的目標是通過合理的方法確定源的位置、能量分布和頻率特征。在實際聲源的診斷中,由于各聲源的頻率結(jié)構(gòu)往往十分復(fù)雜,而且各源之間的干擾以及聲波的傳遞通道千差萬別使得這一工作極其復(fù)雜。因此,能否從多個聲源信號中構(gòu)造出很少的幾個不相關(guān)的綜合量,而且這些綜合量可以反映出原信號較多的信息,成為人們所關(guān)心的問題。主成分分析法就是利用降維的思想,把原來多個變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個互不相關(guān)的主成分的一種統(tǒng)計方法。本研究采用以最小均方誤差為準則,將原特征向量經(jīng)過維數(shù)壓縮后進行數(shù)據(jù)分析的主成分分析法,并結(jié)合電機表面振動信號的功率譜分析來完成對100CLG-30船用立式單級離心泵的振動噪聲源的分析。1數(shù)據(jù)化簡的方法主成分分析法是利用降維的思想,把原來多個變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個互不相關(guān)的主成分的一種統(tǒng)計方法,最終達到數(shù)據(jù)化簡、揭示變量間的關(guān)系和進行數(shù)據(jù)解釋的目的。1.1隨機向量x的主成分設(shè)在n個測點測得的振動信號為:X=(x1,x2,?,xn)Τ,n≥2,E(X)=μ,D(X)=V≥0X=(x1,x2,?,xn)T,n≥2,E(X)=μ,D(X)=V≥0現(xiàn)在尋求一組新的變量,基本思路是:找出X各分量的一個線性組合y1,為使y1盡可能多地反映X的變化信息,就要使y1具有最大的方差。繼而找出X各分量的第二線性組合y2,為使y2在與y1不相關(guān)的條件下具有最大的方差,如此繼續(xù)下去,直至X的信息基本提取完畢為止。這些新的變量y1,y2等就稱為X的主成分。設(shè)a=(a1,a2,…,an)T是n維常向量,則可得第一主成分y1y1=aΤ=a1x1+a2x2+?+anxn(1)D(y1)=D(aTX)=aTD(X)a=aTVa,可以看出增加a可以使得D(y1)變大,因此,需要對a加以限制。可令a滿足aTa=1,于是問題轉(zhuǎn)化為求解下式{max:aΤVa約束條件:aΤa=1(2)對于這一條件極值問題,利用拉格朗日定理,令φ=aΤVa-λ(aΤa-1)則有{?φ?a=2Va-2λa?φ?a=-aaΤ+1(3)令?φ?a=0,?φ?λ=0,可得{Va=λaaΤa=1(4)可得:(V-λI)a=0,這一方程有非零解的充要條件是|V-λΙ|=0因此,可以看出要使aTVa最大即要λ最大。由于λ為V的特征根,故λ應(yīng)取V的最大特征根λ1,再由式(4)可知a應(yīng)取為相應(yīng)于λ1的單位化特征向量ζ1,因此ζ1即是式(2)的解,從而得y1=ζΤ1X把y1稱為X的第一主成分。若y1還不能充分反映X,重復(fù)上述過程可以求得X的其他組主成分變量y1,y2,…,yp(其中λ相應(yīng)取V的特征根λ1,λ2,…,λp,且λ1>λ2>λp)。一般來說,由于隨機向量X的主成分是由x的分量的特殊線性組合得到的,所以,當(dāng)各個變量的量綱不同時,則這種線性組合的物理意義就很難給出解釋。因此,如果存在各個變量間的量綱或數(shù)量級不一致的情況,首先需要對隨機變量X作標準化處理,即作如下變換X*=(x*1?x*2??,x*n)Τ=(x1-μ1√σ11,x2-μ2√σ22,?,xn-μn√σnn)Τ式中,μ=E(X)=(μ1,μ2,…,μn)T,V=D(X)=(σij)p×p。對變換后的隨機變量X*按上述求法計算即可。1.2p-i設(shè)計的總方差主成分分析的目的是用盡可能少的不相關(guān)的主成分y1,y2,…,yp(其中p≤n)來代替n個相關(guān)變量x1,x2,…,xn,且能描述X=(x1,x2,…,xn)T的統(tǒng)計特性,并對y1,y2,…,yp的實際意義能作出解釋。那么要取多少個主成分才合理是一個急需討論的問題。以下以V表示X的協(xié)方差矩陣,記V=(σij)p×p,那么V中主對角線上的元素σ11,σ22,…,σpp分別表示X的各分量x1,x2,…,xn的方差,因此,X的總方差為D(x1)+D(x2)+?+D(xp)=σ11+σ22+?+σpp=tr(V)由于V是非負定矩陣,存在正交陣U,使得UVUT=Λ,于是由矩陣跡的性質(zhì)得tr(V)=tr(UΤUV)=tr(UVUΤ)=tr(Λ)=p∑i=1λi而y=(y1,y2,…,yp)T的總方差為D(y1)+D(y2)+?+D(yp)=p∑i=1λi從而有X的總方差等于y的總方差,其中y1具有最大的方差,y2次之等。λi/p∑i=1λi=λi/tr(V)表明了主成分yi的方差在全部方差中的比值,稱為第i個主成分的貢獻率,其值越大表明yi反映X的能力越強,反之則弱。一般來說,考慮前若干個λi使其占的比例較大,而略取較小的λp-i,對問題分析影響不大。一般來說,若前m個主成分的累計貢獻率超過85%就夠了,即這m個主成分的方差占“總方差”的85%以上,則只需取這m個主成分就足夠了。當(dāng)然這并不是一個絕對不變的標準,可以根據(jù)實際效果作取舍。關(guān)于主成分的實際意義,需要結(jié)合實際應(yīng)用中的具體問題作具體分析。2水泵基本性能被測泵為100CLG-30船用立式單級離心泵,由廣東省廣寧船用水泵廠生產(chǎn),該型號的泵在艦艇上由直流電動機驅(qū)動。目前在管道噪聲實驗室它由普通交流電動機驅(qū)動,通過變頻器控制交流電動機的轉(zhuǎn)速,該泵在流噪聲管路中呈臥式安