2022-2023學(xué)年遼寧省縣級(jí)重點(diǎn)高中聯(lián)合體高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年遼寧省縣級(jí)重點(diǎn)高中聯(lián)合體高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的求，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因?yàn)?，可知其?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.2．如圖．在直角梯形ABCD中，，，，，以BC邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式計(jì)算即可得解.【詳解】由題意知，直角梯形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓臺(tái)，則圓臺(tái)高，上下底面面積，所以.故選：C3．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，即可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可得，則，所以.故選：A.4．設(shè)a，b表示空間中兩條不同的直線，，，表示三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，．則B．若，，則C．若，，則D．若，，，，則【答案】B【分析】根據(jù)線面平行概念判斷A，根據(jù)線面平行性質(zhì)及面面垂直判定定理判斷B，根據(jù)平面位置關(guān)系判斷C，由面面平行判定定理判斷D.【詳解】對(duì)A，若，．則或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若，則必有∥，又，所以，，所以，故正確；對(duì)C，若，，則或相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，若，，，，由于可能平行不相交，故得不到，故D錯(cuò)誤.故選：B5．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意利用兩角差的余弦公式可得，再切化弦運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，解得，所?故選：D.6．已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)投影向量的定義求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以在方向上的投影向量，故選：A7．如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為4，點(diǎn)M為母線AB的中點(diǎn)，從點(diǎn)M處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到B點(diǎn)，這條繩子的長(zhǎng)度最短值為，則此圓錐的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，且線段計(jì)算底面圓半徑即可求解.【詳解】設(shè)底面圓半徑為，由母線長(zhǎng)，可知側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，將圓錐側(cè)面展開成一個(gè)扇形，從點(diǎn)M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)B，最短距離為BM；如圖，在中，，所以,所以,故，解得，所以圓錐的表面積為,故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，其圓心角為，其次從點(diǎn)M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)B，繩子的最短距離即為展開圖中線段的長(zhǎng)，解三角即可求解底面圓半徑，利用圓錐表面積公式求解.8．在中，的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于D，若．則的面積與面積的比值為（

）A． B．3 C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)外角平分線定理求解即可.【詳解】如圖，

由外角平分線定理知，，所以的面積與面積的比值為，故選：D二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)z滿足，則B．為純虛數(shù)C．D．是方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念與運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)復(fù)數(shù)，則，若，則，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，不是純虛?shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)復(fù)數(shù)，則，則，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋允欠匠痰囊粋€(gè)復(fù)數(shù)根，故D正確；故選：ACD.10．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存兩點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義列方程可求出的值，從而可求出角的其它三角函數(shù)值.【詳解】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存兩點(diǎn)，且，所以，所以，由，可知，所以角為第二象限的角，所以，所以，所以A錯(cuò)誤，B正確，所以，，所以CD正確，故選：BCD11．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，且，，則（

）A． B．C． D．外接圓的半徑為【答案】AB【分析】根據(jù)余弦定理可求出判斷A，由余弦的半角公式求出判斷C，再由余弦定理求出判斷B，由正弦定理求外接圓半徑判斷D.【詳解】由余弦定理可知，，故A正確；由，解得，故C錯(cuò)誤；由，解得，故B正確；因?yàn)椋匀切瓮饨訄A直徑，即，故D錯(cuò)誤.故選：AB12．一個(gè)圓柱沿著軸截面截去一半，得到一個(gè)如圖所示的幾何體．已知四邊形MNPQ是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E為半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)P，Q不重合），則（

）

A．三棱錐體積的最大值為B．存在點(diǎn)E，使得C．當(dāng)點(diǎn)E為上的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角的正切值為D．當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐外接球的體積為【答案】ACD【分析】換頂點(diǎn)求體積可知，則取得最大值可求，故可判定選項(xiàng)A；從反推平面可得，故可判定選項(xiàng)B；利用二面角的平面角的作法，即可計(jì)算其正切值，故可判定選項(xiàng)C；利用補(bǔ)形法可將四棱錐補(bǔ)成三棱柱，即可求得外接球的體積，故可判定選項(xiàng)D.【詳解】，當(dāng)E到平面距離最大值1時(shí)取得最大值，故選項(xiàng)A正確；若存在點(diǎn)E，使得，又，可得平面，繼而可得，在直角三角形不可能，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)E為上的三等分點(diǎn)時(shí)，過作于，過作于,則為二面角的平面角，（如圖）

中，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，可取的中點(diǎn)將四棱錐補(bǔ)成三棱柱,則其外接球的半徑為,（如圖）

四棱錐外接球的體積為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題13．在正方體中，異面直線與所成角的大小是.【答案】【分析】連接，利用幾何法求出異面直線夾角作答.【詳解】在正方體中，連接，正方體的對(duì)角面是矩形，因此，則是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，在中，，于是，所以直線與所成角的大小是

故答案為：14．已知函數(shù)在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而求解即可.【詳解】函數(shù)在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，由，，得，所以，即，所以的取值范圍為.故答案為：.15．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為．【答案】/【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圓的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)椋瑒t點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，且表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，所以的最大值為.故答案為：.16．撫仙湖，位于澄江市、江川區(qū)、華寧縣之間，湖面積僅次于滇池和洱海，為云南省第三大湖，也是我國(guó)最大的深水型淡水湖泊．如圖所示，為了測(cè)量撫仙湖畔M，N兩點(diǎn)之間的距離，現(xiàn)取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，測(cè)得公里，，，，則M，N兩點(diǎn)之間的距離為公里．

【答案】【分析】在中由正弦定理可得，在中等邊對(duì)等角可得，則在中由余弦定理可得.【詳解】在中=由正弦定理可得：即在中所以，則,中由余弦定理可得：即故答案為：.四、解答題17．已知復(fù)數(shù)z滿足，且z的虛部為．(1)求z；(2)若，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的平方運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等列方程求出實(shí)部即可得解；（2）由復(fù)數(shù)的幾何意義求出點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出與即可得解.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，解得，故.（2）由（1）知，，所以，故，，所以，，且為銳角，即，所以.18．已知向量，，且．(1)求的值；(2)若是第二象限角，求和的值．【答案】(1)3(2)，.【分析】（1）由可得，然后利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)式子，再代入計(jì)算即可；（2）由結(jié)合及的范圍，可求出，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以，得?/p>

所以，（2）因?yàn)?，，所以，因?yàn)槭堑诙笙藿牵?，，所以?19．如圖，在幾何體ABCDE中，平面EBC，，，，M為EB上一點(diǎn)，P，F(xiàn)分別為AM，BD的中點(diǎn)．

(1)證明：//平面EBC．(2)若，證明：平面平而BED．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）證明是AC的中點(diǎn)，利用中位線可得∥，由線面平行判定定理求解即可；（2）先證明平面，再由面面垂直的判定定理求解.【詳解】（1）連接，如圖，

由，，可知四邊形為平行四邊形，又F為BD的中點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，且F為AC的中點(diǎn)，因?yàn)镻為AM的中點(diǎn)，所以∥，又平面EBC，平面EBC，所以//平面EBC.（2）因?yàn)槠矫鍱BC，平面EBC，所以，又，，平面，所以平面，又平面,所以，又，所以四邊形為正方形，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平而BED.20．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)若，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換求得角A；（2）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換把用表示，代入可得，進(jìn)而可得，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，且，則，則，整理得，且，則，所以，解得.（2）設(shè)的外接圓半徑為，因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)椋瑒t，可得，則，所以a的取值范圍.21．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象．

(1)求的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若對(duì)任意，，恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)“五點(diǎn)法”結(jié)合圖象求函數(shù)解析式；（2）由圖象的伸縮及平移變換得出函數(shù)解析式，利用余弦函數(shù)單調(diào)性求解；（3）由題意轉(zhuǎn)化為，分別求出函數(shù)的最值即可得解.【詳解】（1）由圖象可知，，所以，即，又，所以，因?yàn)椋?，故，由，可得，所?（2）由，圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，令，，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.（3）由可得，對(duì)任意，恒成立，所以只需，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，所以.22．如圖1，正方形ABCD和正方形EFGH的中心重合，，，I，J，K，L分別為AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)，將圖中的四塊陰影部分裁剪下來，然后將，，，分別沿著HE，EF，F(xiàn)G，GH翻折，使得點(diǎn)I，J，K，L與點(diǎn)P重合，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)求直線PE與底面EFGH所成角的余弦值；(2)若M為PF的中點(diǎn)，求M到平面PGH的距離．【答案】(1)(2)【分析】