內(nèi)蒙古一機(jī)集團(tuán)第一中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

內(nèi)蒙古一機(jī)集團(tuán)第一中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)函數(shù)對的一切實(shí)數(shù)均有，則等于A.2016 B.-2016C.-2017 D.20172．下列函數(shù)，表示相同函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，3．設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)（）A.0 B.1C. D.24．已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域為（）A B.C. D.5．已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是（）A.若a>b，則ac2>bc2C.若a>b，ab<0，則1a>1b D.若a6．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.7．化簡=A.sin2+cos2 B.sin2-cos2C.cos2-sin2 D.±(cos2-sin2)8．已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示：x10.50.750.6250.56250.6321－0.10650.27760.0897－0.007那么函數(shù)的一個零點(diǎn)的近似值（精確度為0.01）為（）A.0.55 B.0.57C.0.65 D.0.79．已知扇形的周長為8，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為A B.C. D.10．已知點(diǎn)在第二象限，則角的終邊所在的象限為A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類產(chǎn)品共4800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進(jìn)行檢測.若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件.12．已知點(diǎn)角終邊上一點(diǎn)，且，則______13．若，則_____14．如果在實(shí)數(shù)運(yùn)算中定義新運(yùn)算“”：當(dāng)時，；當(dāng)時，．那么函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為______15．已知的圖象的對稱軸為_________________16．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)的圖象在定義域上連續(xù)不斷.若存在常數(shù)，使得對于任意的，恒成立，稱函數(shù)滿足性質(zhì).（1）若滿足性質(zhì)，且，求的值；（2）若，試說明至少存在兩個不等的正數(shù)，同時使得函數(shù)滿足性質(zhì)和.（參考數(shù)據(jù)：）（3）若函數(shù)滿足性質(zhì)，求證：函數(shù)存在零點(diǎn).18．已知函數(shù)，（1）指出的單調(diào)區(qū)間，并用定義證明當(dāng)時，的單調(diào)性；（2）設(shè)，關(guān)于的方程有兩個不等實(shí)根，，且，當(dāng)時，求的取值范圍19．已知函數(shù).（1）若，解不等式；（2）解關(guān)于x的不等式.20．已知.（1）若為銳角，求的值.（2）求的值.21．某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預(yù)計年利潤低于10%時，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來利潤y（百萬元）與年投資成本x（百萬元）變化的一組數(shù)據(jù)：年份2015201620172018投資成本35917…年利潤1234…給出以下3個函數(shù)模型：①；②（，且）；③（，且）.（1）選擇一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述x，y之間的關(guān)系，并求出其解析式；（2）試判斷該企業(yè)年利潤不低于6百萬元時，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】將換成再構(gòu)造一個等式，然后消去，得到的解析式，最后可求得【題目詳解】①②①②得，故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查求解析式的一種特殊方法：方程組法．如已知，求，則由已知得，把和作為未知數(shù)，列出方程組可解出．如已知也可以用這種方法求解析式2、B【解題分析】由兩個函數(shù)相同的定義，定義域相同且對應(yīng)法則相同，依次判斷即可【題目詳解】選項A，一個為指數(shù)運(yùn)算、一個為對數(shù)運(yùn)算，對應(yīng)法則不同，因此不為相同函數(shù)；選項B，，為相同函數(shù)；選項C，函數(shù)定義域為，函數(shù)定義域為，因此不為相同函數(shù)；選項D，與函數(shù)對應(yīng)法則不同，因此不為相同函數(shù)故選：B3、B【解題分析】可根據(jù)已知條件，先求解出的值，然后分別帶入集合A和集合B中去驗證是否滿足條件，即可完成求解.【題目詳解】集合，，所以，①當(dāng)時，集合，此時，成立；②當(dāng)時，集合，此時，不滿足題意，排除.故選：B.4、B【解題分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求解.【題目詳解】因為，在上都是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以函數(shù)的值域為，故選：B5、C【解題分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)或通過舉反例，對四個選項進(jìn)行分析【題目詳解】A．若a>b，當(dāng)c=0時，ac2=bB．若ac>bc，當(dāng)c<0時，則C．因為ab<0，將a>b兩邊同除以ab，則1a>1D．若a2>b2且ab>0，當(dāng)a<0b<0時，則a<b故選：C6、D【解題分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)對每個選項判斷得出結(jié)果【題目詳解】A選項：函數(shù)定義域為，且，，故函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A選項錯誤B選項：函數(shù)定義域為，且，，故函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)C選項：函數(shù)定義域為，，故函數(shù)為奇函數(shù)D選項：函數(shù)定義域為，，故函數(shù)是偶函數(shù)故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)奇偶性的定義，在證明函數(shù)奇偶性時需注意函數(shù)的定義域；還需掌握：奇函數(shù)加減奇函數(shù)為奇函數(shù)；偶函數(shù)加減偶函數(shù)為偶函數(shù)；奇函數(shù)加減偶函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；奇函數(shù)乘以奇函數(shù)為偶函數(shù)；奇函數(shù)乘以偶函數(shù)為奇函數(shù)；偶函數(shù)乘以偶函數(shù)為偶函數(shù)7、A【解題分析】利用誘導(dǎo)公式化簡根式內(nèi)的式子，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式及大小關(guān)系，即可化簡【題目詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式，化簡得又因為所以選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)式的化簡，關(guān)鍵注意符號，屬于中檔題8、B【解題分析】根據(jù)給定條件直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷作答.【題目詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由數(shù)表知：，由零點(diǎn)存在性定義知，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)的一個零點(diǎn)的近似值為.故選：B9、A【解題分析】利用弧長公式、扇形的面積計算公式即可得出【題目詳解】設(shè)此扇形半徑為r，扇形弧長為l=2r則2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面積為r=故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了弧長公式、扇形的面積計算公式，屬于基礎(chǔ)題10、D【解題分析】由題意利用角在各個象限符號，即可得出結(jié)論.【題目詳解】由題意，點(diǎn)在第二象限，則角的終邊所在的象限位于第四象限，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，以及三角函數(shù)在各個象限的符號，其中熟記三角函數(shù)在各個象限的符號是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1800【解題分析】由題共有產(chǎn)品4800名，抽取樣本為80，則抽取的概率為；，再由50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)有30件，則乙設(shè)備在總體中有；考點(diǎn)：抽樣方法的隨機(jī)性.12、【解題分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義，即可求得m值【題目詳解】點(diǎn)角終邊上一點(diǎn)，，則，故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題13、【解題分析】首先求函數(shù)，再求的值.【題目詳解】設(shè)，則所以，即，，.故答案為：14、【解題分析】化簡函數(shù)的解析式，解方程，即可得解.【題目詳解】當(dāng)時，即當(dāng)時，由，可得；當(dāng)時，即當(dāng)時，由，可得（舍）.綜上所述，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為.故答案為：.15、【解題分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，然后用二倍角公式化簡，進(jìn)而可求.【題目詳解】因為所以，故對稱軸為.故答案為:16、【解題分析】先求出拋物線的對稱軸方程，然后由題意可得，解不等式可求出的取值范圍【題目詳解】解：函數(shù)的對稱軸方程為，因為函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，解得，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解題分析】（1）由滿足性質(zhì)可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；（2）設(shè)滿足，利用零點(diǎn)存在定理證明關(guān)于的方程至少有兩個解，證明至少存在兩個不等的正數(shù)，同時使得函數(shù)滿足性質(zhì)和；（3）分別討論，，時函數(shù)的零點(diǎn)的存在性，由此完成證明.【小問1詳解】因為滿足性質(zhì)，所以對于任意的x，恒成立.又因為，所以，，，由可得，由可得，所以，.【小問2詳解】若正數(shù)滿足，等價于，記，顯然，，因為，所以，，即.因為的圖像連續(xù)不斷，所以存在，使得，因此，至少存在兩個不等的正數(shù)，使得函數(shù)同時滿足性質(zhì)和.【小問3詳解】若，則1即為零點(diǎn)；因為，若，則，矛盾，故，若，則，，，可得.取即可使得，又因為的圖像連續(xù)不斷，所以，當(dāng)時，函數(shù)上存在零點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)在上存在零點(diǎn)，若，則由，可得，由，可得，由，可得.取即可使得，又因為的圖像連續(xù)不斷，所以，當(dāng)時，函數(shù)在上存在零點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)在上存在零點(diǎn)，綜上，函數(shù)存在零點(diǎn).18、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；證明見解析（2）【解題分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式特點(diǎn)可寫出其單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證明其單調(diào)性；（2）寫出的表達(dá)式，將整理為即關(guān)于的方程有兩個不等實(shí)根，，且，，即，在上有兩個不等實(shí)根，然后數(shù)形結(jié)合解得答案.【小問1詳解】函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；任取，不妨令，則，因為，，故，所以，即，所以函數(shù)在時為單調(diào)減函數(shù)；【小問2詳解】，則即，也即，，因此關(guān)于的方程有兩個不等實(shí)根，，且，，即，在上有兩個不等實(shí)根，作出函數(shù)的圖象如圖示：故要滿足，在上有兩個不等實(shí)根，需有，即.19、（1）；（2）答案見解析【解題分析】（1）由拋物線開口向上，且其兩個零點(diǎn)為，，可得不等式的解集.（2）由對應(yīng)的二次方程的判別式，其兩根為，.討論時，時，時，其兩根的大小，由此可得不等式的解集.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時，不等式可化為，又由，得，.因為拋物線開口向上，且其兩個零點(diǎn)為，，所以不等式的解集為.（2）對于二次函數(shù)，其對應(yīng)的二次方程的判別式，其兩根為，.當(dāng)，即時，不等式的解集為；當(dāng)，即時，不等式的解集為；當(dāng)，即時，不等式的解集為；綜上，時，不等式的解集為；時，不等式無解；時，不等式的解集為.20、（1）（2）【解題分析】(1)根據(jù)題意和求得，結(jié)合兩角和的余弦公式計算即可；(2)根據(jù)題意和可得，利用二倍角的正切公式求出，結(jié)合兩角和的正切公式計算即可.【小問1詳解】由，為銳角，，得，∴；【小問2詳解】由得，則，∴21、（1）可用③來描述x，y之間的關(guān)系，（2）該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型.【解題分析】（1）由年