2022-2023學(xué)年湖北省咸寧市臺山中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

2022-2023學(xué)年湖北省咸寧市臺山中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)為曲線：上的點，且曲線在點處切線傾斜角的取值范圍為，則點橫坐標(biāo)的取值范圍為A． B． C． D．參考答案：2.某賽季，甲、乙兩名籃球運動員都參加了7場比賽，他們所有比賽得分的情況用如圖1所示的莖葉圖表示，則甲、乙兩名運動員得分的平均數(shù)分別為（

）

A．14、12

B．13、12C．14、13

D．12、14參考答案：A3.已知定義域為R的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，若，則不等式的解集為A．

B．

C．

D．參考答案：A4.某校在模塊考試中約有1000人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績ξ～N（90，a2），（a＞0試卷滿分150分），統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為（）A．200 B．300 C．400 D．600參考答案：A【考點】CP：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】先根據(jù)正態(tài)分布曲線的圖象特征，關(guān)注其對稱性畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象在70分到110分之間的人數(shù)概率，即可得成績不低于110分的學(xué)生人數(shù)概率，最后即可求得成績不低于110分的學(xué)生數(shù)．【解答】解：∵成績ξ～N（90，a2），∴其正態(tài)曲線關(guān)于直線x=90對稱，又∵成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，由對稱性知：成績在110分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的（1﹣）=，∴此次數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生約有：．故選A．5.一個三棱錐的正視圖和側(cè)視圖如圖所示(均為真角三角形),則該三棱錐的體積為（

）A.4 B.8 C.16 D.24參考答案：B【分析】根據(jù)三視圖知，三棱錐的一條長為6的側(cè)棱與底面垂直，底面是直角邊為2、4的直角三角形，利用棱錐的體積公式計算即可.【詳解】由三視圖知三棱錐的側(cè)棱與底垂直，其直觀圖如圖，可得其俯視圖是直角三角形，直角邊長為2，4，，棱錐的體積，故選B.【點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于中檔題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.6.過雙曲線的右焦點F作實軸所在直線的垂線，交雙曲線于A，B兩點，設(shè)雙曲線的左頂點M，若點M在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，則此雙曲線的離心率e的取值范圍為（）A． B． C．（2，+∞） D．（1，2）參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)雙曲線方程為﹣=1，作出圖形如圖，由左頂點M在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，得|MF|＜|AF|，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b、c的式子，再結(jié)合平方關(guān)系和離心率的公式，化簡整理得e2﹣e﹣2＞0，解之即可得到此雙曲線的離心率e的取值范圍．【解答】解：設(shè)雙曲線方程為﹣=1，a＞b＞0則直線AB方程為：x=c，其中c=因此，設(shè)A（c，y0），B（c，﹣y0），∴﹣=1，解之得y0=，得|AF|=，∵雙曲線的左焦點M（﹣a，0）在以AB為直徑的圓內(nèi)部∴|MF|＜|AF|，即a+c＜，將b2=c2﹣a2，并化簡整理，得2a2+ac﹣c2＜0兩邊都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＞0，解之得e＞2（舍負(fù)）故選：C【點評】本題給出以雙曲線通徑為直徑的圓，當(dāng)左焦點在此圓內(nèi)時求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．7.若x＞0，y＞0，x+y=1，則的最小值是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】基本不等式．【分析】利用基本不等式，求出xy的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的最小值．【解答】解：設(shè)t=xy，則∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴1，∴0＜t≤．=t+在（0，]上的單調(diào)遞減，∴t=，的最小值是．故選D．8.若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，且，則

A．

B．

C．

D．2參考答案：解析:函數(shù)的反函數(shù)是,又,即,所以,,故,選A.9.已知方程，它們所表示的曲線可能是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B10.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4）為三角形的三個頂點，則是

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.銳角三角形

D.等腰三角形參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知不等式，對滿足的一切實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍為_________.參考答案：略12.已知P為橢圓+=1上的一個點，M，N分別為圓（x+3）2+y2=1和圓（x﹣3）2+y2=4上的點，則|PM|+|PN|的最小值為．參考答案：7【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由橢圓的定義：|PF1|+|PF2|=2a=10．圓（x+3）2+y2=1和圓（x﹣3）2+y2=4上的圓心和半徑分別為F1（﹣3，0），r1=1；F2（3，0），r2=2．由|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．|PM|+|PN|≥|PF1|+|PF2|﹣1﹣2=7．【解答】解：由橢圓+=1焦點在x軸上，a=5，b=4，c=3，∴焦點分別為：F1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0）．|PF1|+|PF2|=2a=10．圓（x+3）2+y2=1的圓心與半徑分別為：F1（﹣3，0），r1=1；圓（x﹣3）2+y2=4的圓心與半徑分別為：F2（3，0），r2=2．∵|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．∴|PM|+|PN|≥|PF1|+|PF2|﹣1﹣2=7．故答案為：7．13.馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的概率分布律如下表請小牛同學(xué)計算的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個“？”處的數(shù)值相同。據(jù)此，小牛給出了正確答案

參考答案：214.已知向量，且，則的坐標(biāo)是

．參考答案：15.若圓C1：x2+y2+2ax+a2–4=0（a∈R）與圓C2：x2+y2–2by–1+b2=0（b∈R）恰有三條公切線，則a+b的最大值為__________．參考答案：316.已知A、B、C三點在球心為O，半徑為3的球面上，且?guī)缀误wO—ABC為正三棱錐，若A、B兩點的球面距離為，則正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的余弦值為_____________參考答案：略17.若實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，點P(－1,0)在動直線ax＋by＋c＝0上的射影為M，點N坐標(biāo)為(3,3)，則線段MN長度的最小值是

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．參考答案：5- 三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知關(guān)于的不等式的解集為M，（1）

當(dāng)時，求集合M；（2）

若，且，求實數(shù)的取值范圍。參考答案：解

（1）當(dāng)時，不等式化為即.........3分所以或，即原不等式的解集為.............6分

（2）因得

①

...........8分因得或

②

（補集思想的運用）...........10分

由①、②得，或或。

所以的取值范圍為：。

...........12分略19.在曲線y=x2（x≥0）上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為，試求：（1）切點A的坐標(biāo)；（2）過切點A的切線方程．參考答案：【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求切點A的坐標(biāo)及過切點A的切線方程，先求切點A的坐標(biāo)，設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，a2），只須在切點處的切線方程，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而得到切線的方程進而求得面積的表達式．最后建立關(guān)于a的方程解之即得．（2）結(jié)合（1）求出其斜率k的值即可，即導(dǎo)數(shù)值即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：（1）如圖示：，設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，a2），過點A的切線的斜率為k=y'|x=a=2a，故過點A的切線l的方程為y﹣a2=2a（x﹣a），即y=2ax﹣a2，令y=0，得x=，則S=S△ABO﹣S△ABC=﹣（??a2﹣x2dx）=﹣==，∴a=1∴切點A的坐標(biāo)為（1，1），（2）由（1）得：A的坐標(biāo)為（1，1），∴k=2x=2，∴過切點A的切線方程是y=2x﹣1．20.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+2n（n∈N+），數(shù)列{bn}的前n項和Tn=2n﹣1（n∈N+）．（1）求數(shù)列{}的前n項和；（2）求數(shù)列{an?bn}的前n項和．參考答案：【考點】數(shù)列的求和．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）由已知得an=2n+1．從而==，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{}的前n項和．（2）由已知得，從而an?bn=（2n+1）?2n﹣1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{an?bn}的前n項和．【解答】解：（1）∵數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+2n（n∈N+），∴a1=S1=1+2=3，n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1，n=1時，2n+1=3=a1，∴an=2n+1．∴==，∴數(shù)列{}的前n項和：An=（+…+）==．（2）∵數(shù)列{bn}的前n項和Tn=2n﹣1（n∈N+），∴b1=T1=2﹣1=1，n≥2時，bn=Tn﹣Tn﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，n=1時，2n﹣1=1=a1，∴，∴an?bn=（2n+1）?2n﹣1，∴數(shù)列{an?bn}的前n項和：Bn=3?1+5?2+7?22+…+（2n+1）?2n﹣1，①2Bn=3?2+5?22+7?23+…+（2n+1）?2n，②①﹣②，得﹣Bn=3+22+23+…+2n﹣（2n+1）?2n=﹣（2n+1）?2n=2n+1﹣1﹣（2n+1）?2n，∴Bn=（2n﹣1）?2n+1．【點評】本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意列項求和法和錯位相減法的合理運用．21.某公司今年年初用25萬元引進一種新的設(shè)備，投入設(shè)備后每年收益為21萬元．該公司第n年需要付出設(shè)備的維修和工人工資等費用an的信息如圖．（1）求an；（2）引進這種設(shè)備后，第幾年后該公司開始獲利；（3）這種設(shè)備使用多少年，該公司的年平均獲利最大？參考答案：【考點】數(shù)列的求和；基本不等式；數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】（1）由題意知，每年的費用是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，求得：an=a1+2（n﹣1）=2n．（2）設(shè)純收入與年數(shù)n的關(guān)系為f（n），則f（n）=20n﹣n2﹣25，由此能求出引進這種設(shè)備后第2年該公司開始獲利．（3）年平均收入為=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，由此能求出這種設(shè)備使用5年，該公司的年平均獲利最大．【解答】解：（1）如圖，a1=2，a2=4，∴每年的費用是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴an=a1+2（n﹣1）=2n．（2）設(shè)純收入與年數(shù)n的關(guān)系為f（n），則f（n）=21n﹣[2n+×2]﹣25=20n﹣n2﹣25，由f（n）＞0得n2﹣20n+25＜0，解得10﹣5＜n＜10+5，因為n∈N，所以n=2，3，4，…18．即從第2年該公司開始獲利．（3）年平均收入為=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，當(dāng)且僅當(dāng)n=5時，年平均收益最大．所以這種設(shè)備使用5年，該公司的年平均獲利最大．22.已知p：關(guān)于的不等式對一切恒成立；q