高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)專題74 利用幾何關(guān)系求解圓錐曲線問題 (含解析)

PAGE微專題74利用幾何關(guān)系求解最值問題一、基礎(chǔ)知識：1、利用幾何關(guān)系求最值的一般思路:（1）抓住圖形中的定點(diǎn)與定長，通常與求最值相關(guān)（2）遇到線段和差的最值，經(jīng)常在動點(diǎn)與定點(diǎn)共線的時(shí)候取到。因?yàn)楫?dāng)動點(diǎn)與定點(diǎn)不共線時(shí)，便可圍成三角形，從而由三角形性質(zhì)可知兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，無法取得最值。所以只有共線時(shí)才有可能達(dá)到最值。要注意動點(diǎn)與定點(diǎn)相對位置關(guān)系。一般的，尋找線段和的最小值，則動點(diǎn)應(yīng)在定點(diǎn)連成的線段上；若尋找線段差的最小值，則動點(diǎn)應(yīng)在定點(diǎn)連成的線段延長線上。（3）若所求線段無法找到最值關(guān)系，則可考慮利用幾何關(guān)系進(jìn)行線段轉(zhuǎn)移，將其中某些線段用其它線段進(jìn)行表示，進(jìn)而找到最值位置（4）處理多個(gè)動點(diǎn)問題時(shí)，可考慮先只讓一個(gè)動點(diǎn)運(yùn)動，其他動點(diǎn)不動，觀察此動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)最值選取的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律讓其他點(diǎn)動起來，尋找最值位置。2、常見的線段轉(zhuǎn)移：（1）利用對稱軸轉(zhuǎn)移線段（詳見例1）（2）在圓中，可利用與半徑相關(guān)的直角三角形（例如半弦，圓心到弦的垂線，半徑；或是切線，半徑，點(diǎn)與圓心的連線）通過勾股定理進(jìn)行線段轉(zhuǎn)移。（3）在拋物線中，可利用“點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離”的特點(diǎn)進(jìn)行兩個(gè)距離的相互轉(zhuǎn)化。（4）在橢圓中，利用兩條焦半徑的和為常數(shù)，可將一條焦半徑轉(zhuǎn)移至另一條焦半徑（5）在雙曲線中，利用兩條焦半徑的差為常數(shù)，也可將一條焦半徑轉(zhuǎn)移至另一條焦半徑（注意點(diǎn)在雙曲線的哪一支上）3、與圓相關(guān)的最值問題：（1）已知圓SKIPIF1<0及圓外一定點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0則圓上點(diǎn)到SKIPIF1<0點(diǎn)距離的最小值為SKIPIF1<0，最大值為SKIPIF1<0（即連結(jié)SKIPIF1<0并延長，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與圓的交點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0延長線與圓的交點(diǎn)（2）已知圓SKIPIF1<0及圓內(nèi)一定點(diǎn)SKIPIF1<0，則過SKIPIF1<0點(diǎn)的所有弦中最長的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦SKIPIF1<0解：，弦長的最大值為直徑，而最小值考慮弦長公式為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0最小，則SKIPIF1<0要取最大，在圓中SKIPIF1<0為定值，在弦繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)的過程中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最?。?）已知圓SKIPIF1<0和圓外的一條直線SKIPIF1<0，則圓上點(diǎn)到直線距離的最小值為SKIPIF1<0，距離的最大值為SKIPIF1<0（過圓心SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，其反向延長線交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（4）已知圓SKIPIF1<0和圓外的一條直線SKIPIF1<0，則過直線SKIPIF1<0上的點(diǎn)作圓的切線，切線長的最小值為SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0，則若SKIPIF1<0最小，則只需SKIPIF1<0最小即可，所以SKIPIF1<0點(diǎn)為過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂線的垂足時(shí)，SKIPIF1<0最小SKIPIF1<0過SKIPIF1<0作圓的切線，則切線長SKIPIF1<0最短4、與圓錐曲線相關(guān)的最值關(guān)系：（1）橢圓：設(shè)橢圓方程為SKIPIF1<0①焦半徑：焦半徑的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0②焦點(diǎn)弦：焦點(diǎn)弦長的最小值稱為通徑，為SKIPIF1<0，此時(shí)焦點(diǎn)弦與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸垂直（2）雙曲線：設(shè)雙曲線方程為SKIPIF1<0①焦半徑：焦半徑的最小值為SKIPIF1<0，無最大值②焦點(diǎn)弦：焦點(diǎn)弦長的最小值稱為通徑，為SKIPIF1<0，此時(shí)焦點(diǎn)弦與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸垂直（3）拋物線：設(shè)拋物線方程為SKIPIF1<0①焦半徑：由拋物線的焦半徑公式可知：焦半徑的最小值為原點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，即SKIPIF1<0②焦點(diǎn)弦：當(dāng)焦點(diǎn)弦與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直時(shí)，弦長最小，為SKIPIF1<0二、典型例題：例1：已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸上一動點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為___________思路：從所求可聯(lián)想到三點(diǎn)不共線時(shí)，三角形兩邊之和大于第三邊（而三點(diǎn)共線時(shí)可能相等），由已知可得：SKIPIF1<0，但從圖像上發(fā)現(xiàn)無論SKIPIF1<0在何處，SKIPIF1<0，無法取到等號。（即使SKIPIF1<0共線時(shí)等號也不成立），為了取到最值?？紤]利用對稱轉(zhuǎn)移所求線段。作SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對稱點(diǎn)SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，可知當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小煉有話說：（1）三點(diǎn)共線取得最值的條件：動點(diǎn)位于兩定點(diǎn)之間時(shí)，則距離和取到最小值。同理；當(dāng)動點(diǎn)位于兩定點(diǎn)同一側(cè)時(shí)，距離差的絕對值取到最大值。（2）處理線段和（差）最值問題時(shí)，如果已知線段無法找到最值關(guān)系，則可考慮利用“線段轉(zhuǎn)移法”，將某一線段替換成另一長度相等線段，從而構(gòu)造出取得最值的條件例2：設(shè)拋物線SKIPIF1<0上一點(diǎn)SKIPIF1<0到此拋物線準(zhǔn)線的距離為SKIPIF1<0，到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：通過作圖可觀察到直接求SKIPIF1<0的最值比較困難，所以考慮轉(zhuǎn)移某個(gè)距離，由已知可得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0到準(zhǔn)線的距離，所以可根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)移為SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是拋物線的焦點(diǎn)，SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，觀察圖像可得：SKIPIF1<0答案：A例3：已知過拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)SKIPIF1<0的弦與拋物線交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，過SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0軸的垂線，垂足分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__________思路：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為SKIPIF1<0，由拋物線SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，觀察圖像可知SKIPIF1<0。而由拋物線定義可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即要求出SKIPIF1<0的最小值，只需求出SKIPIF1<0的最小值，即拋物線焦點(diǎn)弦的最小值，由拋物線性質(zhì)可知當(dāng)SKIPIF1<0軸時(shí)，SKIPIF1<0最小，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例4：已知點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)SKIPIF1<0作拋物線的切線，若切點(diǎn)SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最小值為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由圖像可知，固定SKIPIF1<0點(diǎn)，則圓SKIPIF1<0上到SKIPIF1<0距離的最小值SKIPIF1<0，所以只需在直線上找到與圓心SKIPIF1<0距離最小的點(diǎn)，即SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離。需要確定拋物線方程和SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)，由SKIPIF1<0可得準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，拋物線方程為SKIPIF1<0，焦點(diǎn)SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，切線斜率SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0方程：SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0答案：A例5：拋物線SKIPIF1<0上的點(diǎn)到直線SKIPIF1<0距離的最小值是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路一：直接利用點(diǎn)到直線距離公式得到距離關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)，設(shè)拋物線上的點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以最小值為SKIPIF1<0思路二：本題也可將直線進(jìn)行平移，平移至與拋物線相切，則兩直線之間的距離即為所求最小值。所以只需求與已知直線平行且與拋物線相切的直線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0，因?yàn)榍芯€與SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，進(jìn)而SKIPIF1<0，故切線方程為：SKIPIF1<0，整理后可得：SKIPIF1<0，所以兩直線距離SKIPIF1<0，即拋物線上的點(diǎn)到距離的最小值答案：B例6：已知點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0的一點(diǎn)，SKIPIF1<0為拋物線的焦點(diǎn)，SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最小值為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：本題含兩個(gè)動點(diǎn)SKIPIF1<0，先固定一個(gè)點(diǎn)不動，尋找最小值的規(guī)律?？紤]固定SKIPIF1<0，則圓上距離SKIPIF1<0最近的點(diǎn)為SKIPIF1<0與圓的交點(diǎn)，即SKIPIF1<0，所以只需考慮SKIPIF1<0的最小值即可，通過移動SKIPIF1<0可知，無論SKIPIF1<0位于何處，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是最小值。考慮轉(zhuǎn)移線段，拋物線的準(zhǔn)線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（即SKIPIF1<0到準(zhǔn)線的距離，所以SKIPIF1<0答案：C例7：已知動點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，若點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由橢圓方程可知SKIPIF1<0即為橢圓的焦點(diǎn)，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為圓心，半徑為1的圓上的點(diǎn)，SKIPIF1<0在圓外，且由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為圓上的切線，SKIPIF1<0的最小值即切線長的最小值，由圓的性質(zhì)可得：SKIPIF1<0，所以只需找到SKIPIF1<0的最小值即可，由橢圓性質(zhì)可知：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0答案：B例8：設(shè)SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)，SKIPIF1<0是橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為___________思路：先作出橢圓圖像，標(biāo)出定點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，若從SKIPIF1<0入手，則由圖發(fā)現(xiàn)無論SKIPIF1<0在何處，SKIPIF1<0。與所求最大值不符。考慮進(jìn)行線段轉(zhuǎn)移，發(fā)現(xiàn)SKIPIF1<0為左焦半徑，所以考慮作出右焦點(diǎn)SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0進(jìn)行線段轉(zhuǎn)移。即SKIPIF1<0，只需求出SKIPIF1<0，結(jié)合圖像可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，從而可得：SKIPIF1<0答案：15例9：設(shè)SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0分別是兩圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0上的點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值和最大值分別為（）A.4,8B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：本題有三個(gè)動點(diǎn)SKIPIF1<0，但觀察可得SKIPIF1<0之間沒有聯(lián)系，所以若SKIPIF1<0達(dá)到最小，則只需SKIPIF1<0分別達(dá)到最小即可。固定SKIPIF1<0點(diǎn)，可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0恰好為橢圓兩個(gè)定點(diǎn)，所以由橢圓定義可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：A例10：設(shè)SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和橢圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)，則SKIPIF1<0兩點(diǎn)間的最大距離是___________思路：本題中SKIPIF1<0均為動點(diǎn)，所以考慮先固定一點(diǎn)不動，比如SKIPIF1<0點(diǎn)，尋找此時(shí)達(dá)到最值時(shí)SKIPIF1<0位置的規(guī)律，進(jìn)而再讓SKIPIF1<0運(yùn)動起來，找到最值。觀察圖像可得SKIPIF1<0點(diǎn)固定時(shí)，SKIPIF1<0達(dá)到的最大值時(shí)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0延長線與SKIPIF1<0的交點(diǎn)處，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以只需找到SKIPIF1<0的最大值即可，設(shè)SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，代入消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0三、歷年好題精選1、（2014，安徽）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知向量SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0，區(qū)域SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為兩段分離的曲線，則（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<02、已知直線SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0，則拋物線SKIPIF1<0上一動點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離之和的最小值是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<03、已知點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上一動點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為_________4、已知點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)SKIPIF1<0作拋物線的切線，若切點(diǎn)SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最小值為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<05、已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別是圓SKIPIF1<0上的動點(diǎn),SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸上的動點(diǎn),則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06、（2016，綿陽二模）已知點(diǎn)P在單位圓SKIPIF1<0上運(yùn)動，點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的距離分別記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最小值為_________．7、已知點(diǎn)SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的右支上一點(diǎn)，SKIPIF1<0分別是圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為_________習(xí)題答案：1、答案：A解析：由SKIPIF1<0的特點(diǎn)可以以SKIPIF1<0所在直線為坐標(biāo)軸建系，則有SKIPIF1<0，所以曲線SKIPIF1<0上點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，即圓心是原點(diǎn)的單位圓；另一方面SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0區(qū)域?yàn)橐許KIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓環(huán)。通過數(shù)形結(jié)合可得若SKIPIF1<0為兩段分離的曲線，意味著以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓均與單位圓相交。所以SKIPIF1<02、答案：A解析：觀察直線SKIPIF1<0的方程恰好是拋物線的準(zhǔn)線，所以想到SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離與SKIPIF1<0相等（SKIPIF1<0是拋物線的焦點(diǎn)）。以此為突破口進(jìn)行線段轉(zhuǎn)移，所以SKIPIF1<0，通過作圖觀察可得SKIPIF1<0（等號成立條件：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0