兩角和與差的正弦余弦正切公式（第1課時）（教學(xué)課件）高一數(shù)學(xué)

第6

章三角6.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（第1課時）我們在學(xué)習(xí)對數(shù)時知道，對于正實數(shù)a、b，一般ｌｇ（a＋b）≠ｌｇa＋ｌｇb，但可以用a、b的對數(shù)來表示ab或（b≠０）的對數(shù)，并可由此化簡很多涉及對數(shù)的表達式．類似地，一般ｓｉｎ（α＋β）≠ｓｉｎα＋ｓｉｎβ及ｃｏｓ（α－β）≠ｃｏｓα－ｃｏｓβ．本節(jié)中，我們要學(xué)習(xí)兩個角的和與差的三角公式，即學(xué)習(xí)如何用α、β的正弦、余弦及正切來表示α±β的正弦、余弦及正切，并在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)如何運用這組公式及其推論來化簡有關(guān)的三角表達式，為后面用三角知識解決各種具體問題做好準備我們先推導(dǎo)兩角差（α－β）的余弦公式．設(shè)α、β為任意給定的兩個角，把它們的頂點置于平面直角坐標系的原點O，始邊都與x軸的正半軸重合，而它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點（圖６-２-１）．點A、B的坐標分別為A（ｃｏｓα，ｓｉｎα）、B（ｃｏｓβ，ｓｉｎβ）下面考慮角（α－β）的余弦．為此把角α、β的終邊OA及OB都繞原點O旋轉(zhuǎn)－β角，它們分別交單位圓于點A′及B′（圖６-２-２）．由于都轉(zhuǎn)動了－β角，因此α－β也可以是一個以射線OB′為始邊、以射線OA′為終邊的角，而點A′的坐標是（ｃｏｓ（α－β），ｓｉｎ（α－β）），點B′的坐標是（１，０）．根據(jù)兩點間的距離公式，在圖６-２-１中，有而在圖６-２-２中，有因為將射線OA、OB同時繞原點O旋轉(zhuǎn)－β角，就分別得到射線

OA′、OB′，所以｜AB｜＝｜A′B′｜，從而得到２－２ｃｏｓαｃｏｓβ－２ｓｉｎαｓｉｎβ＝２－２ｃｏｓ（α－β），即ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ這個式子對任意給定的角α及β都成立，稱為兩角差的余弦公式．在兩角差的余弦公式中，用－β代換β，就可得到兩角和的余弦公式：ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓ（－β）＋ｓｉｎαｓｉｎ（－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ．這樣，我們就得到兩角和與差的余弦公式ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ，ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ簡記作例１利用兩角和與差的余弦公式，求ｃｏｓ７５°和ｃｏｓ１５°的值．解ｃｏｓ７５°＝ｃｏｓ（４５°＋３０°）＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°－ｓｉｎ４５°ｓｉｎ３０°＝ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ（４５°－３０°）＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ４５°ｓｉｎ３０°＝于是ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ例３若α、β為銳角，求角β課本練習(xí)練習(xí)６．２（１)

１．化簡：（１）ｃｏｓ（２２°－x）ｃｏｓ（２３°＋x）－ｓｉｎ（２２°－x）ｓｉｎ（２３°＋x）；３．證明：隨堂檢測1、cos56°cos26°＋sin56°cos64°的值為（

）【答案】C；【解析】原式＝cos56°cos26°＋sin56°sin26°＝cos(56°－26°)＝cos30°＝2、計算：

【答案】3、cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝_______【解析】原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos60°＝4、求值：（1）sin20°cos40°＋cos20°sin40°＝________；【解析】sin20°cos