6-sps并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的性能指標(biāo)

6-sps并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的性能指標(biāo)

1運(yùn)行性能和加速度隨著聯(lián)合機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，人們逐漸關(guān)注不到6的聯(lián)合機(jī)器人。這種機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,經(jīng)濟(jì),應(yīng)用前景較廣。但是,針對(duì)少自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)性能指標(biāo)的研究還不多,目前國(guó)際上發(fā)表的關(guān)于機(jī)器人性能指標(biāo)的論文,大部分都是針對(duì)串聯(lián)機(jī)器人討論的,對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的討論很少,且不論是串聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)和并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu),所給出的指標(biāo),也僅限于速度的性能指標(biāo)的研究,對(duì)含加速度的各項(xiàng)性能指標(biāo)以及非對(duì)稱機(jī)構(gòu)的性能指標(biāo)還沒(méi)有展開(kāi)討論,因此性能指標(biāo)問(wèn)題還需深入研究。近年來(lái)高峰、劉辛軍研究了球面、平面2、3自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的速度性能指標(biāo),高峰、金震林研究了6-SPS微操作機(jī)器人的加速度性能指標(biāo)。鑒于此,我們?cè)谖墨I(xiàn)中提出了對(duì)任何并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)都適用的,線加速度和角加速度的性能指標(biāo)。在本文中我們對(duì)中給出的指標(biāo)進(jìn)行了改進(jìn),使得這些指標(biāo)使用起來(lái),更加方便。同時(shí)利用所給出的指標(biāo)公式,對(duì)平面3RRR并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能進(jìn)行了研究。3RRR機(jī)構(gòu)如圖1所示。此外,由于該機(jī)構(gòu)屬于對(duì)稱機(jī)構(gòu),自由度為3。本文根據(jù)黃真教授提出的平面影響系數(shù)法,建立了機(jī)構(gòu)的一階、二階影響系數(shù)矩陣,導(dǎo)出其速度、加速度方程。最后,再根據(jù)少自由度機(jī)構(gòu)的一階、二階影響系數(shù)矩陣,給出該機(jī)構(gòu)的速度、加速度性能指標(biāo)。由于機(jī)構(gòu)性能主要決定于其自身的設(shè)計(jì)參數(shù),包括機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副類型,桿件的尺寸,輸入運(yùn)動(dòng)等因素,因此,這些因素的設(shè)計(jì)是否合適,直接決定機(jī)構(gòu)的性能好壞。為此,本文還通過(guò)改變機(jī)構(gòu)部分構(gòu)件的尺寸,研究其在不同尺寸下的速度、加速度性能指標(biāo),探討機(jī)構(gòu)的性能差異,從而在一組尺寸各不相同的機(jī)構(gòu)中,選擇性能較為優(yōu)良的機(jī)構(gòu)。2回轉(zhuǎn)副的生成和運(yùn)動(dòng)方程的建立如圖1所示:3RRR是一個(gè)3自由度的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)有三個(gè)支鏈:AGD為第一支鏈,BHE為第二支鏈,CIF為第三支鏈。A、B、C三點(diǎn)的空間位置構(gòu)成一個(gè)大等邊三角形,邊長(zhǎng)為22。作為機(jī)構(gòu)工作平臺(tái)的三角形構(gòu)件DEF也為等邊三角形,邊長(zhǎng)為15。各個(gè)支鏈的桿件AG、BH、CI、GD、HE、IF長(zhǎng)度皆為18。P點(diǎn)為■DEF的中心。A、B、C、D、E、F、G、H、I處運(yùn)動(dòng)副皆為轉(zhuǎn)動(dòng)副。曲柄AG、BH、CI以1弧度/秒的角速度分別繞A、B、C三點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)作為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的輸入,P點(diǎn)的平面移動(dòng)是運(yùn)動(dòng)輸出。O-xy坐標(biāo)系為基礎(chǔ)坐標(biāo)系。因?yàn)樵摍C(jī)構(gòu)為平面機(jī)構(gòu),所以輸入的速度矢量是三維的。對(duì)于本機(jī)構(gòu)來(lái)說(shuō),如果同時(shí)輸入三個(gè)速度,研究起來(lái)比較麻煩。為了簡(jiǎn)化難度,我們先固定θ2和θ3,只令θ1變化。這樣輸入速度就為:該機(jī)構(gòu)為3自由度機(jī)構(gòu),即當(dāng)A、B、C三點(diǎn)處的回轉(zhuǎn)副轉(zhuǎn)動(dòng)的角度θ1,θ2,θ3確定后,機(jī)構(gòu)的任一構(gòu)件的位形就可以確定。本文根據(jù)工作平臺(tái)DEF為等邊三角形的特征,聯(lián)立|DE|=|EF|=|DF|=15cm三個(gè)方程,解出機(jī)構(gòu)中的三個(gè)待定參數(shù)θ4,θ5,θ6。然后,根據(jù)解出的θ4,θ5,θ6,與已知的結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)參數(shù),計(jì)算出A、B、C、D、E、F、G、H、I、P十個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)Ldsj=|AB|=|BC|=|AC|;Lxsj=|DE|=|EF|=|DF|;Lzlc=|AG|=|BH|=|CI|=|GD|=|HE|=|FI|,則A、B、C、D、E、F、G、H、I、P十個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:31和2級(jí)綜合影響系數(shù)矩陣3.1單一階綜合影響系數(shù)矩陣3.1.1y軸分量的p點(diǎn)及ri在該機(jī)構(gòu)中,每個(gè)支鏈中的各運(yùn)動(dòng)副i(i=1,2,3)對(duì)P點(diǎn)(機(jī)構(gòu)平臺(tái)的研究點(diǎn))的矢徑為為該矢徑的x軸分量,為該矢徑的y軸分量。其中:為P點(diǎn)在O-xy坐標(biāo)系中的位置向量,Ri為運(yùn)動(dòng)副i在O-xy坐標(biāo)系中的位置向量。由此可以得出各鏈的一階影響系數(shù)矩陣(因?yàn)楸緳C(jī)構(gòu)有三個(gè)分支,所以可求出3個(gè)一階影響系數(shù)矩陣,分別為G(1)、G(2)、G(3))。第一支鏈:第二支鏈:第三支鏈:這里所得的每個(gè)單鏈一階影響系數(shù)矩陣G(1)(i=1,2,3)都是3×3陣,且矩陣中每一個(gè)元素都是1×1向量。3.1.2階綜合影響系數(shù)矩一階綜合影響系數(shù)矩陣GqH的逆矩陣:其中:—矩陣(G(i))-1的第1行元素對(duì)矩陣GqH-1求逆就得到一階綜合影響系數(shù)矩矩陣GqH。3.2綜合影響矩陣的二次矩陣3.2.1元素第一支鏈的二階影響系數(shù)矩陣因?yàn)樵摍C(jī)構(gòu)中所有的運(yùn)動(dòng)副都是轉(zhuǎn)動(dòng)副,所以根據(jù)中的方法,它的各支鏈二階影響系數(shù)矩陣為:—第r支鏈二屆影響系數(shù)矩陣[H]的第i行j列的元素第一支鏈:對(duì)于第二支鏈的二階影響系數(shù)矩陣Hi(2:j);就是把前面(8)~(16)式中的A、G、D對(duì)應(yīng)的替換為B、H、E;同樣,對(duì)于第三支鏈的二階影響系數(shù)矩陣Hi(3:j)則把(8)~(16)式中的A、G、D對(duì)應(yīng)的替換為C、I、F。這里所得的每個(gè)單鏈二階影響系數(shù)矩陣都是3×3陣,且矩陣中每一個(gè)元素都是3×1向量,換句話說(shuō),單鏈二階影響系數(shù)矩陣為3×3×3陣。3.2.2等邊三角形構(gòu)件根據(jù)中的公式:得到3個(gè)3×3矩陣:[L1](1),[L1](2),[L1](3)需要注意的是在計(jì)算式(18)時(shí),式中的符號(hào)*表示矩陣的一種廣義標(biāo)量積。在具體運(yùn)算時(shí),把前面的矩陣看成是一個(gè)常數(shù),乘以后面矩陣的每一個(gè)元素,例如若有矩陣[A]和[B],則它們的廣義標(biāo)量積定義為:HqH是一個(gè)3×3標(biāo)量矩陣,其元素為各分支中對(duì)應(yīng)L陣的相應(yīng)元素的組合機(jī)構(gòu)的二階綜合影響系數(shù)矩陣為我們給出在大等邊三角形邊長(zhǎng)為22。作為機(jī)構(gòu)工作平臺(tái)的三角形構(gòu)件DEF也為等邊三角形邊長(zhǎng)為15。各個(gè)支鏈的桿件AG、BH、CI、GD、HE、IF長(zhǎng)度皆為18。θ1為75度,θ2和θ3為60度時(shí),機(jī)構(gòu)的二階影響系數(shù)矩陣如下:其中[HqH]1為機(jī)構(gòu)的二階影響系數(shù)矩陣的第一層,[HqH]2為第二層,[HqH]3為第三層。如下圖所示:4該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征4.1全條件性能指標(biāo)的計(jì)算本文中少自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的合理度量指標(biāo)定義為影響系數(shù)矩陣條件數(shù)kGv,kGw,kHv,kHw:其中,‖Gv‖為Gv的Frobenius范數(shù),G+為Gv的廣義逆矩陣,其他類似。我們知道機(jī)器人的影響系數(shù)矩陣G不中一個(gè)常數(shù)矩陣,它依賴于機(jī)器人的位形,也就是說(shuō)在機(jī)器人的工作空間內(nèi)不同的位置,其影響系數(shù)矩陣的條件數(shù)kJ(J∈Gv,Gw,Hv,Hw,)是不同的,這樣我們就無(wú)法用一個(gè)量來(lái)度量某一機(jī)器人靈巧度、各向同性和控制精度的好壞,有鑒于此,Gosselin在工作空間的基礎(chǔ)上提出了全條件性能指標(biāo)(GlobalConditioningIndex)(如式27)總體評(píng)價(jià)機(jī)器人的性能。其中:ηJ即為機(jī)器人的全條件性能指標(biāo)W為機(jī)器人的可達(dá)工作空間舉例來(lái)說(shuō):對(duì)少自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的線速度全條件性能指標(biāo)定義為式(28):同樣,對(duì)于角速度全條件性能指標(biāo)定義了ηGw。在此基礎(chǔ)上我們?cè)谥嗅槍?duì)Hv,Hw矩陣定義了加速度的總體性能指標(biāo)為ηGv,ηGw,ηHv,ηHw。計(jì)算這幾個(gè)指標(biāo)時(shí),只需要把式(28)中的kGv換成kGv,kHv,kHw即可。事實(shí)上,式(28)的數(shù)學(xué)意義仍然是影響系數(shù)矩陣的條件數(shù)的倒數(shù)在可達(dá)工作空間上的平均值,由于1≤kJ<∞,故0<ηJ≤,因此ηJ的值越大,機(jī)器人性能越好。4.2ldsj、lxsj和135.23由于本機(jī)構(gòu)是平面機(jī)構(gòu),對(duì)于速度來(lái)說(shuō),該機(jī)構(gòu)的角度性能指標(biāo)按照上面的公式計(jì)算得到的皆為1,在性能圖譜中體現(xiàn)為一層各點(diǎn)值都相同的平面,所以在這里我們就不列出該平面機(jī)構(gòu)的角速度性能圖譜,而是只做出線速度的性能圖譜。根據(jù)式(25),我們可以求得尺寸不同的機(jī)構(gòu)的。現(xiàn)在,我們改變機(jī)構(gòu)的幾個(gè)參數(shù)的值,組成一組機(jī)構(gòu)Ldsj=22.1~23cm,Lxsj=14.6~15.5cm,Lzlc=18cm,,θ1=45°~60°,θ2=60°,θ3=60°其他尺寸保持不變。(Ldsj、Lxsj每次都以0.1cm為步長(zhǎng)變化)。這組共有100個(gè)機(jī)構(gòu),每個(gè)機(jī)構(gòu)均取100個(gè)位形采樣點(diǎn)(,θ1在可達(dá)空間內(nèi)平均取100個(gè)位置)。根據(jù)式(24)我們可以相應(yīng)地計(jì)算出100個(gè)ηJ值。畫出其線速度的等高線圖,如圖3所示。根據(jù)ηv的值越大,機(jī)器人的靈巧度和控制精度越高的原則,我們可以看出圖3中,Ldsj越小和Lxsj越大,機(jī)構(gòu)ηv值越大,而在這一部分大約對(duì)應(yīng)于Ldsj=22.1,Lxsj=15.4的機(jī)構(gòu)尺寸。4.3加速度和角加速度首先對(duì)文獻(xiàn)中給出的線加速度和角加速度指標(biāo)給以改進(jìn),我們?cè)诮o出如下公式:在式(29)和式(30)中,我們?cè)O(shè)和q為1,設(shè)和為a和b,且由于‖H1v‖‖H+1v‖和‖H1ω‖‖H+1ω‖分別為r1和r2個(gè)數(shù),r1+r2=r為機(jī)構(gòu)的自由度數(shù),故我們可以取此r1個(gè)數(shù)的平方和開(kāi)方,使得‖H1v‖‖H+1v‖變?yōu)橐粋€(gè)數(shù)。同時(shí)也取此r2個(gè)數(shù)的平方和開(kāi)方,使得‖H1ω‖‖H+1ω‖也變?yōu)橐粋€(gè)數(shù)。然后,我們可以取作為條件數(shù)。如果我們假設(shè)機(jī)構(gòu)的輸入誤差允許在百分之二以內(nèi),那么我們可以選取式(31)和式(32)中a,b=0.02,然后,線加速度和角加速度的全條件性能指標(biāo)為:J∈Gv+Hv,Gw+Hw機(jī)構(gòu)加速度指標(biāo)分析與速度指標(biāo)分析類似,機(jī)構(gòu)參數(shù)的選取與速度性能指標(biāo)相同。因此,我們同樣通過(guò)討論得出線加速度和角加速度的性能指標(biāo)。對(duì)于線加速度和角加速度我們根據(jù)式(31)進(jìn)行計(jì)算。作出角加速度和線加速度兩個(gè)加速度性能圖譜,如圖4,圖5所示。觀察圖4和圖5,我們可以看出當(dāng)機(jī)構(gòu)中兩個(gè)桿件的尺寸在Ldsj=22.1和Lxsj=14.7附近的區(qū)域內(nèi)的機(jī)構(gòu)的角加速度和線加速度的指標(biāo)值都是最大,所以我們不妨說(shuō),當(dāng)機(jī)構(gòu)中兩個(gè)桿件的尺寸分別為,22.1和14.7附近的時(shí)候,機(jī)構(gòu)的角加速度和線加速度的性能較好,機(jī)構(gòu)的靈敏性較高。由于線加速度和角加速度當(dāng)Ldsj=22.1,Lxsj=14.7時(shí),的值最大,并且對(duì)于線速度的在Ldsj=22.1,Lxsj=15.4附近的時(shí)候值最大,而當(dāng)Ldsj=22.1,Lxsj=14.7時(shí)機(jī)構(gòu)的值僅次于在Ldsj=22.1,Lxsj=15.4附近的時(shí)候值。所以我們可以這樣說(shuō),對(duì)這一組平面3RRR并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu),運(yùn)動(dòng)學(xué)性能最好的是位于Ldsj=22.1,Lxsj=14.7附近的機(jī)構(gòu)。5支鏈長(zhǎng)度對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的影響總體來(lái)說(shuō),通過(guò)上面的討論,我們可以初步得出在該區(qū)域Ldsj=22.1,Lxsj=14.7附近的機(jī)構(gòu),Ldsj減小同時(shí)Lxsj增大有助于線速度性能的提高。而Ldsj減小同時(shí)Lxsj減