2022年福建省莆田市涵江區(qū)第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022年福建省莆田市涵江區(qū)第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.如圖:直三棱柱的體積為V，點(diǎn)P、Q分別在側(cè)棱和上，AP=，則四棱錐B—APQC的體積為A、

B、

C、

D、參考答案：C略2.在等差數(shù)列{an}中，，則（

）A.45 B.75 C.180 D.360參考答案：C【分析】由，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】由，得到，則．故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解與等差數(shù)列有關(guān)的問題時，要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則.3.下面幾種推理過程是演繹推理的是

(

)A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果和是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則．B．由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體性質(zhì)．C．某校高二共有10個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班都超過50人．D．在數(shù)列中，由此歸納出的通項(xiàng)公式．參考答案：A略4.橢圓＋＝1(a＞b＞0)上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為d1，d2，焦距為2c，若d1,2c，d2成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為()A.

B.

C.

D.

參考答案：A略5.如下圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象,則下面判斷正確的是（

）

A.在區(qū)間(－2,1)內(nèi)f(x)是增函數(shù)

B.在(1,3)內(nèi)f(x)是減函數(shù)C.在(4,5)內(nèi)f(x)是增函數(shù)

D.在x=2時,f(x)取到極小值參考答案：C略6.用0、1、2、3、4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)的個數(shù)是（） A．48 B． 36 C． 28 D． 12參考答案：C略7.如圖，四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)在半徑為2的圓O上，若∠BAD=，CD=2，則BC=（）A．2 B．4 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】圓周角定理．【分析】利用正弦定理求出BD，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：由題意，，∴BD=2，∵∠BAD=，∴∠BCD=，∵CD=2，∴12=BC2+4﹣2BC，∴BC2+2BC﹣8=0，∴BC=2．故選：A．8.給出下列四個命題：①若，則；②已知，則是且的必要不充分條件③若，則；④若，則的最小值為8；真命題的個數(shù)為（

）A.

1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：B9.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為()A．4

B．

C．

D．8參考答案：B10.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：經(jīng)過伸縮變換后，所得曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）．A.

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，則點(diǎn)到另一個焦點(diǎn)的距離為________________.

參考答案：14

略12.已知，且，則______．參考答案：試題分析：：∵∴∵∴∵，∴，故答案為．考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)．13.在等差數(shù)列{an}中,若a1+a2=3,a3+a4=5,則a7+a8等于.參考答案：914.“”是“”的

▲

條件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）參考答案：充分不必要略15.設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若對任意自然數(shù)n都有，則的值為________．參考答案：16.已知集合，,則

．參考答案：17.三對夫妻排成一排照相，僅有一對夫妻相鄰的排法種數(shù)為

．參考答案：288三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面ABC是邊長為2的正三角形，D'是棱A'C'的中點(diǎn)，且AA'=2．（1）試在棱CC'上確定一點(diǎn)M，使A'M⊥平面AB'D'；（2）當(dāng)點(diǎn)M在棱CC'中點(diǎn)時，求直線AB'與平面A'BM所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MI：直線與平面所成的角；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（1）取AC邊中點(diǎn)為O，則OB⊥AC，連接OD'，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OD'為z軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)CM=時，A'M⊥平面AB'D'．（2）當(dāng)點(diǎn)M在棱CC'中點(diǎn)時，M（0，1，），求出平面A′BM的一個法向量，利用向量法能求出直線AB'與平面A'BM所成角的正弦值．【解答】解：（1）取AC邊中點(diǎn)為O，∵底面ABC是邊長為2的正三角形，∴OB⊥AC，連接OD'，∵D'是邊A'C'的中點(diǎn)，∴OD'⊥AC，OD'⊥OB，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OD'為z軸如圖所示的空間直角坐標(biāo)系…則有O（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），B'（，0，2），A'（0，﹣1，2），D'（0，0，2），C'（0，1，2），設(shè)M（0，1，t），則=（0，2，t﹣2），=（0，1，2），=（，1，2）…若A'M⊥平面AB'D'，則有A'M⊥AD'，A'M⊥AB'，∴，解得t=，即當(dāng)CM=時，A'M⊥平面AB'D'．…（2）當(dāng)點(diǎn)M在棱CC'中點(diǎn)時，M（0，1，），∴=（﹣），=（0，2，﹣），設(shè)平面A′BM的一個法向量=（x，y，z），∴，令z=，得=（），…設(shè)直線AB'與平面A'BM所成角為θ，則sinθ==．∴直線AB'與平面A'BM所成角的正弦值為．…19.已知一圓經(jīng)過點(diǎn)A（2，－3）和B（－2，－5），且圓心C在直線l：，此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.參考答案：解：因?yàn)锳（2，－3），B（－2，－5），所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，－4），……………1分

又，所以線段AB的垂直平分線的方程是．

……5分

聯(lián)立方程組，解得．……7分

所以，圓心坐標(biāo)為C（－1，－2），半徑，

所以，此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．……………10分20.(本小題滿分14分)

如圖8所示，四棱錐S－ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，點(diǎn)P在側(cè)棱SD上，且．（Ⅰ）求證：AC⊥SD；（Ⅱ）求二面角P－AC－D的大小；（Ⅲ）側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．參考答案：（Ⅰ）連結(jié)BD，設(shè)AC交BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標(biāo)系如圖．設(shè)底面邊長為，則高，于是，，，，，∵，故OC⊥SD，從而AC⊥SD．················4分（Ⅱ），則，，設(shè)平面PAC的一個法向量，則取，可得面PAC的一個法向量，平面DAC的一個法向量，設(shè)所求二面角為，則，即所求二面角的大小為．

9分（Ⅲ）在棱BC上存在一點(diǎn)E，使BE∥平面PAC．由（Ⅱ）知，平面PAC的一個法向量，又．設(shè)，則，而，解得．即當(dāng)時，，而BE?面PAC，故BE∥平面PAC．·········14分

21.（本題滿分10分）袋中裝著標(biāo)有數(shù)學(xué)1，2，3，4，5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3