2022年遼寧省大連市第七中學高三數(shù)學理期末試卷含解析

2022年遼寧省大連市第七中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定義在R上的函數(shù)，則的圖像與直線的交點為、、且，則下列說法錯誤的是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D2.設(shè)是實數(shù)（I為虛數(shù)單位），則等于

（

）

A．

B．1

C．

D．2參考答案：B3.設(shè)，為坐標原點，若A、B、C三點共線，則的最小值是(

) （A）2 （B）4 （C）6

（D）8參考答案：D略4.同時具有性質(zhì)“（1）最小正周期是；（2）圖像關(guān)于直線對稱；（3）在上是增函數(shù)”的一個函數(shù)是（）A

BC

D參考答案：C5.設(shè)全集是實數(shù)集，M={|＞4}，N＝{|}，則右圖中陰影部分表示的集合是(

)A．{x|－2≤x＜1

B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2

D．{x|x＜2}參考答案：C6.已知α∈(，)，tan（α﹣π）=，則sinα+cosα的值是（）A．B．C．D．參考答案：C【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡已知的等式，求出tanα的值小于0，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，根據(jù)α∈（，），得到α的具體范圍，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα的值，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵tan（α﹣π）=tanα=﹣＜0，且α∈（，），∴cosα=﹣=﹣，α∈（，π），∴sinα==，則sinα+cosα=﹣=﹣．故選：C．【點評】此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，同時注意角度的范圍，屬于基礎(chǔ)題．7.已知函數(shù)的零點依次為，則的大小順序正確的是（▲）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.設(shè)F1、F2是雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，A是其右支上一點，連接AF1交雙曲線的左支于點B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，則該雙曲線的離心率為(

) A． B． C．2﹣1 D．參考答案：D考點：雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：計算題；解三角形；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由題意可得△BAF2為等邊三角形，設(shè)AF2=t，則AB=BF2=t，再由雙曲線的定義，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的關(guān)系，結(jié)合離心率公式即可計算得到．解答： 解：若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，則△BAF2為等邊三角形，設(shè)AF2=t，則AB=BF2=t，由雙曲線的定義可得，AF1﹣AF2=2a，BF2﹣BF1=2a，AF1=AB+BF1，即有t+2a=2t﹣2a，解得，t=4a，AF1=6a，AF2=4a，F(xiàn)1F2=2c，由余弦定理可得，F(xiàn)1F22=AF12+AF22﹣2AF1?AF2cos60°，即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，即為4c2=28a2，則有e==．故選D．點評：本題考查雙曲線的離心率的求法，考查雙曲線的定義的運用，考查余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的A的值為（）A．7 B．31 C．29 D．15參考答案：D【考點】程序框圖．【專題】算法和程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的A，i的值，當i=5時滿足條件i≥5，退出循環(huán)，輸出A的值為15．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得A=0，i=1A=1，i=2不滿足條件i≥5，A=3，i=3，不滿足條件i≥5，A=7，i=4，不滿足條件i≥5，A=15，i=5，滿足條件i≥5，退出循環(huán)，輸出A的值為15．故選：D．【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確寫出每次循環(huán)得到的A，i的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10.如圖給出的是計算的值的一個程序框圖，則圖中判斷框內(nèi)（1）處和執(zhí)行框中的（2）處應(yīng)填的語句是（）。A．

B．C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用二分法求方程x2＝2的正實根的近似解(精確度0.001)時，如果我們選取初始區(qū)間是[1.4,1.5]，則要達到精確度要求至少需要計算的次數(shù)是__________次．參考答案：712.設(shè)定義在上的偶函數(shù)滿足，若，則=

．參考答案：13.曲線在點(0,1)處的切線方程為__________.參考答案：【分析】利用導(dǎo)數(shù)值確定切線斜率，再用點斜式寫出切線方程?！驹斀狻?，當時其值為，故所求的切線方程為，即?！军c睛】曲線切線方程的求法：(1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．

14.在平面直角坐標系xOy中，有一定點A（1，1），若OA的垂直平分線過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點，則拋物線C的方程為．參考答案：y2=4x【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先求出線段OA的垂直平分線方程，然后表示出拋物線的焦點坐標并代入到所求方程中，進而可求得p的值，即可得到拋物線方程．【解答】解：∵點A（1，1），依題意我們?nèi)菀浊蟮弥本€的方程為x+y﹣1=0，把焦點坐標（，0）代入可求得焦參數(shù)p=2，從而得到拋物線C的方程為：y2=4x．故答案為：y2=4x．15.在△ABC中，D為BC的中點，E為AD的中點，F(xiàn)為BE的中點，若，則__________．參考答案：.【分析】兩次利用中線向量公式可以得到，從而得到的值，故可計算．【詳解】因為為的中點，所以，而，所以，所以，故，填．【點睛】本題考查向量的線性運算和平面向量基本定理，注意運算過程中利用中線向量公式簡化計算．16.已知拋物線與雙曲線有相同的焦點F，點A是兩曲線的一個交點，且軸，則雙曲線的離心率為

。 參考答案：17.設(shè)函數(shù)對其定義域內(nèi)的任意實數(shù)，則稱函數(shù)為上凸函數(shù)．若函數(shù)為上凸函數(shù)，則對定義域內(nèi)任意、、，…，都有（當時等號成立），稱此不等式為琴生不等式?，F(xiàn)有下列命題：①是上凸函數(shù)；②二次函數(shù)是上凸函數(shù)的充要條件是a>0；③是上凸函數(shù)，若是圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且；④設(shè)A，B，C是一個三角形的三個內(nèi)角，則的最大值是。其中，正確命題的序號是

（寫出所有你認為正確命題的序號）．參考答案：①③④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實數(shù)，使得至少有一個，使成立，若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.參考答案：解：（1）函數(shù)的定義域為，1）當時，由得，或，由得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為2）當時，，的單調(diào)增區(qū)間為（2）先考慮“至少有一個，使成立”的否定“，恒成立”.即可轉(zhuǎn)化為恒成立.令，則只需在恒成立即可，當時，在時，，在時，的最小值為，由得，故當時，恒成立，當時，，在不能恒成立，當時，取，有，在不能恒成立，綜上所述，即時，至少有一個，使成立.19.已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b﹣c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于．（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；（2）設(shè)橢圓的短半軸長為1，圓F2與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A，B兩點，若OA⊥OB，求直線l被圓F2截得的弦長的最大值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；直線和圓的方程的應(yīng)用；橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；壓軸題．【分析】（1）可設(shè)且顯得的長，當且僅當|PF2|取得最小值時|PT|取得最小值，進而求得|PF2|的最小值，進而判斷出，求得e的范圍．（2）依題意求得Q點坐標，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），進而表示出x1+x2和x1x2，代入直線方程求得y1y2的表達式和x1?x2+y1?y2，進而根據(jù)OA⊥OB，判斷出=0求得k和a的關(guān)系，表示出圓心到直線度的距離，根據(jù)（1）中e的范圍確定c的范圍，進而確定S的范圍，則其最大值可求．【解答】解：（1）依題意設(shè)切線長，∴當且僅當|PF2|取得最小值時|PT|取得最小值，而|PF2|min=a﹣c，∴，∴，從而解得，故離心率e的取值范圍是；（2）依題意Q點的坐標為（1，0），則直線的方程為y=k（x﹣1），聯(lián)立方程組，得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有，，代入直線方程得y1y2=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=，，又OA⊥OB，∴，∴x1x2+y1y2=0，∴k2=a2，∴k=a，直線的方程為ax﹣y﹣a=0，圓心F2（c，0）到直線l的距離，由圖象可知，∴，∴，∴，所以．【點評】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了學生數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化和化歸思想的運用．20.已知A是拋物線上的一點，以點A和點為直徑兩端點的圓C交直線于M，N兩點，直線l與AB平行，且直線l交拋物線于P，Q兩點.（1）求線段MN的長；（2）若，且直線PQ與圓C相交所得弦長與相等，求直線l的方程.參考答案：（1）2；（2）直線的方程為或.試題分析：（1）寫出圓的方程，代入x=1，建立關(guān)于M,N點縱坐標的韋達定理，，可求解。（2）設(shè)，由，得，則，設(shè)直線消x，可解。試題解析：（1）設(shè)，圓方程為，令，得，∴，，．（2）設(shè)直線的方程為，，，則由消去，得，，，∵，∴，則，∴，解得或，當或時，當?shù)街本€的距離，∵圓心到直線的距離等于直線的距離，∴，又，消去得，求得，此時，，直線的方程為，綜上，直線的方程為或．21.某普通高中為了解本校高三年級學生數(shù)學學習情況，對一?？荚嚁?shù)學成績進行分析，從中抽取了n名學生的成績作為樣本進行統(tǒng)計（該校全體學生的成績均在[60,150]），按下列分組[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]作出頻率分布直方圖，如圖1；樣本中分數(shù)在[70,90)內(nèi)的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2：根據(jù)往年錄取數(shù)據(jù)劃出預(yù)錄分數(shù)線，分數(shù)區(qū)間與可能被錄取院校層次如表．份數(shù)[60,80)[80,120)[120,150]可能被錄取院校層次專科本科自招（1）求n的值及頻率分布直方圖中的x,y值；（2）根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為概率，若在該校高三年級學生中任取2人，求此2人都不能錄取為?？频母怕剩唬?）在選取的樣本中，從可能錄取為自招和?？苾蓚€層次的學生中隨機抽取3名學生進行調(diào)研，用表示所抽取的3名學生中為自招的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．參考答案：（1）0.014；（2）；（3）見解析【分析】（1）由圖2知分數(shù)在的學生有4名，由圖1知，頻率為，由此能求出的值及頻率分布直方圖中的值；（2）能被?？圃盒ｄ浫〉娜藬?shù)為6人，抽取的50人中，成績能被?？圃盒ｄ浫〉念l率是，從而從該校高三年級學生中任取1人能被?？圃盒ｄ浫〉母怕蕿椋浽撔８呷昙墝W生中任取2人，都不能被專科院校錄取的事件為，由此可求出此2人都不能錄取為專科的概率；（3）選取的樣本中能被?？圃盒ｄ浫〉娜藬?shù)為6人，成績能過自招線人數(shù)為12人，隨機變量的所有可能取值為，分別求出隨機變量的分布列和數(shù)學期望．【詳解】（1）由圖知分數(shù)在的學生有名，又由圖知，頻率為：，則：，（2）能被專科院校錄取的人數(shù)為：人抽取的50人中，成績能被專科院校錄取的頻率是：從該校高三年級學生中任取1人能被?？圃盒ｄ浫〉母怕蕿橛浽撔８呷昙墝W生中任取2人，都不能被專科院校錄取的事件為則此2人都不能錄取為?？频母怕剩海?）選取的樣本中能被專科院校錄取的人數(shù)為人成績能過自招線人數(shù)為：人，又隨機變量的所有可能取值為∴；；；隨機變量的分布列為：0123

【點睛】本題考查頻率、頻數(shù)、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，考查頻率分布直方圖、對立事件概率計算、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．

22.如圖,在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=．（1）求證：面PAB⊥平面PDC；（2）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．

參考答案：（1）證明：因為面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，又，所以△PAD是等腰直角三