2021高考：【數(shù)學(xué)05】高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)典型例題

三角函數(shù)典型例題

1.設(shè)銳角AA3c的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=2Z?sinA.

(I)求5的大小；

(II)求cosA+sinC的取值范疇.

【試題解答】：(I)由a=2Z;sinA,根據(jù)正弦定理得sinA=2sin6sinA,所以sin8=',

2

IT

由A4BC為銳角三角形得B=—.

6

(II)cosA+sinC=cosA+sin(兀一聿一/1)

=cosA+sin—+A\

(6J

.1人6.人

=cosA+—cosA+——sinA

22

=V3sinful+y\

2.在A48C中，角A.B.C的對邊分別為a、b、c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC.

(I)求角B的大小；

(II)設(shè)m=(si〃A,cos2A),〃=(4左,1)(%>1),且機(jī)?〃的最大值是5,求人的值.

【試題解答】：⑴?.,(24-c)cos8=bcosC,

(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.

即2siri/4cosB=sinBcosC+sinCcosB

=sin(B+Q

VA+B+C=7C,/.2sinAcosB=sinA.

V0<A<7i,AsirkA^O.

1

/.cosB=—.

2

兀

3

(II)m?n=4feinA+cos2A.

)27

=?2sin2A+4fc;inA+1,A￡(0,)

設(shè)sinA=Z,則f￡(0,1].

則m-n=-2/2+4Z：r+l=-2(/-A:)2+l+2Ar,g(0,1].

??,—Ul時(shí),―取最大值.

3

依題意得，-2+4左+1=5,.?.七一.

2

3.在A43C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,sin22+sinC=拒.

22

I.試判斷△ABC的形狀;

II.若仆ABC的周長為16,求面積的最大值.

【試題解答】：Lsin—~—+sin—=cos—+sin—=V2sin(—+—)

222224

C7T7TTC

，上+二=工即c=工，所以此三角形為直角三角形.

2422

II.16=a+b+飛a2+〃>2^[cih+yjiah,W64(2-行產(chǎn)當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)取等號,

此時(shí)面積的最大值為32(6-4V2).

3

4.在AABC中，b、c分別為角A.B.C的對邊，C=2A,cosA=-,

4

(1)求cosC,cosB的值;

―?―?27

(2)若"4?3C=—,求邊AC的長。

2

91

【試題解答】：(1)cosC—cos2A—2cos*^7A—1=2x-----1——

168

由cosC=-,WsinC=由cosA=—,WsinA=-

8844

V73V7319

cos8=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC-----x--------------x一

484816

⑵BA-BC=——accosB=—ac=24①

22

ac3

又-----=-----,C=2A,/.c=2acosA=—a②

sinAsinC2

由①②解得a=4,c=6

,■1/,2=a2+c2-2?ccosB=16+36-48x—=25

16

：.b=5,即AC邊的長為5.

5.已知在AABC中，A>B,且tanA與tan8是方程/一5x+6=0的兩個(gè)根.

(I)求tan(A+8)的值;

(II)若AB=5,求BC的長.

【試題解答】：（1）由所給前提，方程/-5尤+6=0的兩根tanA=3,tanB=2.

/4c、tanA+tan82+3」

/.tan(A+8)=-----------------=----------=-1

1-tanAtanB1-2x3

(II)VA+5+C=180°,AC=180°-(A+5).

由(I)知，tanC=-tan(A+8)=l,

???C為三角形的內(nèi)角，???sinC=^

2

3

,/tanA=3,A為三角形的內(nèi)角，sinA=-，=,

,,ABBC

由正弦定理得：-----=-----

sinCsinA

BC=3^x3==3舊.

V2V10

T

6.在AA3C中，已知內(nèi)角A.B.C所對的邊分別為a、c,向量沅=(2sin3,-百卜

力=(cos2B,2cos2弓一11,且行//”。

(I)求銳角B的大?。?/p>

(II)參加b=2,求△ABC的面積見48c的最大值。

【試題解答】：⑴mlliin2sinB(2cos2^-1)=-小cos2B

=>2sinBcosB=-小cos2B=>tan2B=-審

V0<2B<K,；.2B鳥,銳角B4

(2)由tan2B=-小=>B言或,

①當(dāng)B言時(shí)，已知b=2,由余弦定理，得：

4二片+二〃。》〃。-〃。二a。(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號成立)

,?.△ABC的面積S^ABCKacsinB=^-ac<^[3

??.△ABC的面積最大值為小

②當(dāng)B年時(shí)，已知b=2,由余弦定理，得：

4=a2+c2-^\[3ac>2ac+y/3ac=(2-^\f3)ac(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=&-y[2時(shí)等號成立)

Aac<4(2-V3)

:△ABC的面積S4A8C=}acsinB=^ac<2-y[3

.'.△ABC的面積最大值為2-小

7.在AA8C中，角A.B.C所對的邊分別為a,b,c,且/+c2—b2=^-ac.

2

AA-C

(1)求sin?-----+cos28的值；

2

(2)若b=2,求△ABC面積的最大值.

【試題解答】：(1)由余弦定理:陰8=十

.A+C加1

sin2"-----+cos2B=----

24

(2)由cosB——,得sin8=---.***/?=2,

44

/+ac+4>2ac,得,5AABC=^acsEBSaS(a=c時(shí)取等號)

故A8C的最大值為

TT

sin(一+。)

8.已知tana=。,(。>1),求----------tan2。的值。

sin((一。)

【試題解答】;

\-a

sin(5^-tz)-?cos(萬+a)

9.已知，(。)=

?tan(a-37)

(I)化簡/(a)

=1,求/(a)的值。

(II)若a是第三象限角，且cos

【試題解答】

M：(I)〃a)=sinasin”c°s絲=cosa,

cosa(-sina)tana

(II)cos(y-a)=-sina=g,

2/7

乂a為第三象限角，，cosa——--?

“所-半

10.已知函數(shù)f(x)=sin2x+V3sinxcosx+2cos2x,x￡R.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

(2)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(x￡R)的圖象經(jīng)由如何的變換得至U?

【試題解答】：(1)/(X)=1-c；s2x+*sin2x+(1+cos2龍)

二—sin2x4—cos2xH—

222

=sin(2x+-)+5.

???/(x)的最小正周期7=彳=況

TTTCJTTCTT

由題意得2k7i—±￡2x+七￡2k7i+±,kGZ,即k7v--<x<k7v+-,kGZ.

26236

7T4

.?./(X)的單調(diào)增區(qū)間為k7T--,k7r+-,keZ.

(2)先把y=sin2x圖象上所有點(diǎn)向左平移三7T個(gè)單位長度,

JI3

得到丁=5皿(2%+。)的圖象，再把所得圖象上所有的點(diǎn)向上平移巳個(gè)單位長度,

62

JI3

就得到丁=5泊(2%+上)+3的圖象.

62

系,一||,否=(simncos7?Vi),f(x)=a-ho

11.已知a

44

(I)求/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。

(2)若函數(shù)y=g(x)與y=/(x)關(guān)于直線x=l對稱，求當(dāng)xe[0,-|時(shí)，y=g(幻的最大值。

.、」、ax4.z*、V3.71X37cxrr..7VX7T

【試題解72A答】：(1)f(zx)=—sin--------cos—i=J3sin(---------)

242443

.?.當(dāng)》—(e［胃+2^,y+2k7T］時(shí)，f(x)單調(diào)遞減

解得:XGq10+8左2號2+8月時(shí),/(X)單調(diào)遞減。

(2)?.?函數(shù)y=g(x)與y=/(x)關(guān)于直線x=l對稱

?，?g(%)=/(2-x)=V3sin——

rr.7171X71

73sin----------

(m7t

/?cos---1—

I43

Jo

???x=0時(shí)，^max(x)=—

12.已知cosa=-2sina,求下列各式的值;

2sina-cosa

(1)

sin.+3cos.

(2)sin2a+2sinacosa

【試題解答】：Qcosa=-2sina,「.tana=

2

2sina-cosa2tana-14

0)-sina3cos.

+tan?4-35

.3.sin2a+2sinacosa

(2)sin2a+2smacosa=------------；----

sin-6Z4-cos-a

3

5

13.設(shè)向量a=(sinx,cosx),8=(cosx,cosx),xeR,函數(shù)/(x)=a-(a+b)

⑴求函數(shù)F(x)的最大值與最小正周期;

3

(II)求使不等式/(x)N5成立的x的取值集合。

【試題解答】

T—?—?T..—*—

解：⑴/(x)=a-(a+A)=^-(7+o-6=8inzx+cos2x+sinxcosx+co52x

=I+^sin2x+^(cos2r+D=-^~sin(2x+-)

22224

.../(x)的最大值為|+孝，最小正周期是李二方.

〃x)”osm(2x+。Josin(2x+-)^0

(2〉由(1)如222424

。2lc^<2x+七￡2k冗+北O(jiān)k*—巴￡x4k兀+-.keZ

488

即/a層成立的x的取值集合是卜|丘-黃*9+竺丘z]

2188J

-J2一一一jr

14.已知向量加=(cosa----,-l),〃=(sina,l),團(tuán)與〃為共線向量，且“￡[一不,0]

32

(I)求sina+cosa的值;

r、_u.sin2a,,/士

(II)求------------的值.。

sina-cosa

-*—7/

【試題解答】：(1),加與〃為共線向量，(cosa———)x1-(-l)xsinor=0,

V2

即sina+cosaV

27

(II)1+sin2a=(sina+cosa)2=一,/.sin2cr=——

v(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2,

(sina—cos=2一百尸=與

又?.?&€[——,0],sina—cosa<0,sina-cosa=——

23

sin2a_7

是以,

sine—cosa12

15.如圖，A,B,CD都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B,D為兩島上

的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別

為75°,30°,于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°,AC=0.

1km。試探討圖中B,D間間隔與另外哪兩點(diǎn)間隔相等，然后求B,D的

間隔(計(jì)算成果精確到0.01km,、歷al.414,V6?2.449)

【試題解答】：在A4CD中，ND4c=30。，ZADC=60°-ZDAC=30°,

所以CD=AC=0.1

又ZBCD=180o-60o-60o=60°,

故CB是八。1。底邊AD的中垂線，所以BD=BA

ABAC

在AABC中,

sinZBCAsinZABC

ACsin60。3V2+V6

即AB=

sinl5°20

是以‘皿=為崇L°.33H

故B.D的間隔約為0.33km。

TT

16.已知函數(shù)/(x)=Asin(3x+0),xeR(其中A>O,0>O,O<*<5)的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰

n27r

兩個(gè)交點(diǎn)之間的間隔為且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為A/(—,-2).

23

(I)求/⑶的解析式;(H)當(dāng)xe或，自，求/(X)的值域.

977

【試題解答】：⑴由最低點(diǎn)為“(7,—2)得A=2.

77TTT242yr

由X軸上相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的間隔為巴得一=工，即7=?，?=—=—=2

222Tn

27r27r47r

由點(diǎn)M(g,—2)在圖像上的2sin(2xg+9)=—2,即sin(學(xué)+夕)=—1

山4萬“71】)?11萬

故----(p=2k兀------,Z￡Z:.(p=2k7i--------

32+6

又9e(0,9,:.(p=%故f(x)=2sin(2x+令

r乃乃rA717C

(2)?：xG2x+--er

122636

TTTT77JI/TT

當(dāng)2x+J=X，即x=J時(shí)，/(x)取得最大值2;當(dāng)2x+J=?

62666

TT

即X=,時(shí)，/(X)取得最小值一1,故/(X)的值域?yàn)閇-1,2]

17.如圖，為領(lǐng)會某海域海底組織，在海平面內(nèi)一條直線上的A,B,C三點(diǎn)進(jìn)行測量，已知AB=50加,

BC=120tn,于A處測得水深A(yù)￡>=80加，于B處測得水深BE=200m,于C處測得水深

CF=110m,求ZDEF的余弦值。

【試題解答】：作。A/〃AC交BE于N,交CF于M.

DF=y^MF'+DM2=A/302+1702=107198,

DE=yjDN2+EN2=V502+1202=130,

EF=yl(BE-FC)2+BC2=7902+1202=150

在ADEE中，由余弦定理,

2EF=DE?EF二DF?=—+15。？-*298=竺

2DExEF2x130x15065

18.已知sin8+cos。=」，0G(—,^),

52

求(1)sinC-cos。(2)sin3cos30(3)sin4+cos4

7QI337

【試題解答】：(1)sin0-cos0=-(2)sin30-cos30---(3)sin4。+cos'6=---

5125625

19.已知函數(shù)y=Asin（G%+0）（A>0,69>0,\（p\<7T）的一段圖

象如圖所示，

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求這個(gè)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。

,4一2士2)

3萬=。上=2；

【試題解答】：（1）由圖象可知:T=2一冗一——乙

8T2

，y=2sin(2x+0),又?:-工,2為“五點(diǎn)畫法”中的第二點(diǎn)

8）

TT37r/

，2x+:所求函數(shù)解析式為：-sin2x+37r

(2)??,當(dāng)2K祚(g+2加畀2T(丘Z)時(shí)，/(%)單調(diào)遞增

1+左乃,一/+人江)(kGZ)

2XG|--+--+2kyr=>XG

I44

A-B

20.已知A43C的內(nèi)角A.B.C所對邊分別為。、b、c,設(shè)向量相=(1-cos(A+8),cos),

2

5A59

一

一

-一

Z

\且

加

〃-cos!-

^7-

82rt8

(I)求tanATan3的值;

qabsinC,,日,/士

(zHTT)求二--------的取大值?

a2^b2-c2

-----95oA-B9

【試題解答】(I)由加?〃=—,得一[1-COS(A+8)]+COS2

8828

l+cos(A-B)9

即-[l-cos(A+B)]+

828

也即4cos(A-8)=5cos(A+8)

/.4cosAcos6+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB

/.9sinAsinB=cosAcosB/.tanAtanB=—

9

21.已知函數(shù)/(x)=(l—tanx)[l+J，sin(2x+C)],求:

4

(1)函數(shù)/(x)的定義域和值域；(2)寫出函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。

(cinr

【試題解答】"(x)=1--------1+V2sin2JCCOS—+V2cos2xsin一

ICOSX44

1-^^-(2sinxcosx+2cos2x)=2(cosx-sinx)(cosx+sinx)

cosx)

=2(cos2x-sin2x)=2cos2x

(I)函數(shù)的定義域X.V|xGR、x豐k7i+eZ

2xw2k7T+乃,A￡Z/.2cos2xw-2,

函數(shù)/(x)的值域?yàn)?-2,2]

jr

(II)令2br-萬<2x〈2br,(左eZ)得krc—-<x<k7t(keZ)

2

...函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k7r~~,k7r(keZ)

2

22.如圖為一個(gè)觀覽車示意圖.該觀覽車圓半徑為4.8m,圓上最低點(diǎn)與地

面間隔為0.8m,60秒轉(zhuǎn)動--圈.途中Q4與地面垂直.覺得04始邊,

逆時(shí)針轉(zhuǎn)動。角到。3.設(shè)3點(diǎn)與地面間隔為/?.

(1)求與6的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)從。4最先轉(zhuǎn)動，經(jīng)由80秒到達(dá)。3,求力.

【試題解答】：(1)Vh=0.8+OA+BC=0.8+4.8+OBsina=5.6+4.8sin(0-90°),

=5.6—4.8cos6(，N0)

2JI_71八冗

(2)???0=—t.?.6=2x80=3,.?.〃=5.6—4.8cosm=8(m)

60-30303033

23.設(shè)函數(shù)/(x)=a-b,其中向量a=(2cosx,l),b=(cosx,73sin2x+zn).

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期和在[0,加上的單調(diào)遞增區(qū)間;

JT

(2)當(dāng)xe[0,—]時(shí),-4</(*)<4恒成立，求實(shí)數(shù)形的取值范疇。

6

【試題解答】：(1)v/(x)=2cos2x+V3sin2x+m=2sin(2x+—)+m+l,

.,?函數(shù)f(x)的最小正周期T=—=...............4分

在[0,捫上單調(diào)遞增區(qū)間為0,芻,[=7]................6分

rrrr

(2)當(dāng)Xe[0,-Mv/(x)遞增,當(dāng)X="時(shí),/(X)max=m+3,

66

當(dāng)X=0時(shí),/(可山=旭+2,................8分

,口工5乙(m+3<4,八

由題設(shè)知4................10分

m+2>-4,

解之，得—6〈加<1.................12分

71-5/3COS2x,XG71兀

24.已知函數(shù)f(x)=2sin2—+X一,一

42

(1)求/(幻的最大值和最小值;

7T7T

(2)|/(x)-對＜2在xe上恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范疇.

【試題解答】(I)???/(x)=1-cos[/+2xj-V3cos2x=1+sin2x-V3cos2x

-l+2sin(2x-g].

又???尤￡「2E,2E~|—

142」633

即2Wl+2sin(2x—微了3,

???/(0皿=3,〃X)mm=2.

(II)V|/(x)-m|<2<^>/(x)-2<m</(x)+2,xe,

m

?*->/(X)m,x-2且加<f(x)min+2,

/.l<m<4,即加的取值范疇是(1,4).

25.在銳角△ABC中，角A.B.C的對邊分別為a、b、c,已知(/+c?-/)tanA=限

(I)求角A;

(II)若a=2,求&ABC面積S的最大值。

【試題解答】：(1)由已知得匕*W?"A=3=sinA走

2bccosA22

又在銳角△ABC中，所以A=60。,［不說明是銳角△ABC中，扣1分］

,,1

(II)因?yàn)閍=2,A=60°所以/r+c?=bc+4,S=—OcsinA

244

而人？+c2>2bc=>be+4>2bc=>be<4

▽cL-AV3,V3.仄

又S=—Z?csinA=——be<——x4=43

244

所以△ABC面積S的最大值等于6

26.甲船由A島出發(fā)向北偏東45。的方向作勻速直線航行，速度為

15亞浬/小時(shí)，在甲船從A島出發(fā)的同時(shí)，乙船從A島正南

40浬處的B島出發(fā)，朝北偏東。(6=〃cfgg)的方向作勻速直

線航行，速度為106浬/小時(shí).(如圖所示)東

(I)求出發(fā)后3小時(shí)兩船相距幾浬？

(II)求兩船出發(fā)后多長時(shí)間相距近來？近來間隔為兒浬？

【試題解答】：以A為原點(diǎn),BA所在直線為y軸創(chuàng)立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)在t時(shí)候甲、乙兩船分別在P(xi,y,)Q(x2,y2).

x,=15V2rcos450=15?

則2分

必—Xj—1

由。=arctgg可得,cos。=~~,sin，=g,

匕=10V5/sin6>=10/

力=10^cos6-40=20f-40......5分

(I)令r=3,P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(45,45),(30,20)

IPQ\=1(45-30)2+(45-20)2=7850=5734.

即兩船出發(fā)后3小不時(shí)，相距5后鋰

(II)由⑴的解法過程易知：

IPQ\=近2-王尸+(為=>/(10f-15r)2+(20r-40-15z)2……1詡

=A/50?2-400/+1600=j50Q-4)2+800>2072

:.當(dāng)且僅當(dāng)t=4時(shí),|PQ|的最小值為20V2

即兩船出發(fā)4小不時(shí)，相距20痣海里為兩船近來間隔.

27.在銳角AA3C中，已知內(nèi)角A.B.C所對的邊分別為a、b、c,且招"(tanA-tanB)=l+tanA-tan

B.

(1)若/—求A.B.C的大小；

(2)已知向量i?i=(sinA,cosA),n=(cosB,sinB),求I3m—2iiI的取值范疇.

【試題解答】

解：???-tanB)=1+tan4?tanB,又為銳角三角形，

,-1+tan/1-tanB-3-H)-3-

V°<A<^,0<B<-^<A-B<^.

A-B"會.

(1)Va2—ab=c2—b2,

a'+6?-J1.rn

?C08C=-2^b=爹，??C;丁?

4+B+C=7T

由A-8=看，解得4二答,8二彳.

1C"

J?4=普'5u茅c=-y.

(2)I3m-2nI2=13-l2(sin4cosB+cosXsin^)

=13-12sin(A+B)

=13-12sin(2B+y).

???△ABC為銳角三角形"-B=看，

..不<28+不<木,

J.sin(26+卷)e-y?1].

I3m-2“「C[1,7).

I3m-2nI的取值范圍是[1JY).

28.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形4。C.小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在

點(diǎn)A及點(diǎn)C處,小區(qū)里有兩條筆直的小路A￡）,DC,且拐彎處的轉(zhuǎn)

角為120".已知某人從。沿C。走到。用了10分鐘，從。沿QA走

到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半

徑。4的長（精確到1米）.

【試題解答】解法一：設(shè)該扇形的半徑為r米.由題意，得

8=500(米)，D4=300(米)，ZCDO=60°

在ACDO中，82+。。2一2.。。.0。40$60°=0。2,

71

BP5002+(r-300)--2x500x(r-300)x-=r2

4900

解得「=-----?445（米）

11

解法二：毗鄰