2021高考數(shù)學(xué)空間立體幾何五年真題分類匯編（含答案解析）

2021屆高考數(shù)學(xué)-五年真題匯編：空間立體幾何

一、選擇題

1.2016年高考真題一一文科數(shù)學(xué)（天津卷）

將一個長方形沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖

所示，則該幾何體的側(cè)（左）視圖為（）

2.2016年高考真題一一文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷）

平面a過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A,a〃平面CB1D1,aD平面ABCD=m,an平

面ABB1Al=n,則m,n所成角的正弦值為

避立立二

A.2B.2c.3D.3

3.2016年高考真題一一文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷）

如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體

287r

的體積是亍，則它的表面積是

A.17JtB.18nC.20nD.28Jt

4.2016年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷）

平面a過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,a〃平面CB1D1,aD平面ABCD=m,aCl平

面ABB1Al=n,則m,n所成角的正弦值為

B縣立2

A.2B.2C.3D.3

5.2017年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（北京卷）

某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.3V2B.2V3C.2V2D.2

6.2017年高考真題——數(shù)學(xué)（浙江卷）

如圖，已知正四面體D-ABC（所有棱長均相等的三棱錐），P,Q,R分別為AB,BC,CA±

的點，AP=PB,整=￡=2,分別記二面角D-PR-Q,D-PQR,D-QR-P的平面角為

A.y<a<0B.a<y<p

C.a<P<yD.0<y<a

7.2017年高考真題一一數(shù)學(xué)（浙江卷）

某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm3）是

俯視圖

A."1Bf+3C.分1D.爭3

8.2017年高考真題一一數(shù)學(xué)（文）（北京卷）

某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

俯視圖

A.60B.30

C.20D.10

9.2018年高考真題一一數(shù)學(xué)理（全國卷III）

設(shè)A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,△ABC為等邊三角形且其面積為

9A/3,則三棱錐D-ABC體積的最大值為

A.12V3B.18V3C.24V3I).54V3

10.2018年高考真題一一數(shù)學(xué)理（全國卷HI）

中國古建筑借助柳卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫樺頭，凹進部分叫卯眼，圖中

木構(gòu)件右邊的小長方體是樺頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方

體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是

ABCD

11.2018年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（北京卷）

某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

12.2018年高考真題一一文科數(shù)學(xué)（全國卷HI）

設(shè)A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點，AABC為等邊三角形且其面積為

9A/3,則三棱錐D-ABC體積的最大值為

A.12V3B.18V3C.24V3D.5473

13.2019年高考真題——數(shù)學(xué)（浙江卷）

設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點（不含端點），記直

線PB與直線AC所成角為a,直線PB與平面ABC所成角為氏二面角P-AOB的平面角為

Y，貝IJ（）

A.p<y,a<yB.p<a,p<y

C.p<a,y<aD.a<p,y<p

14.2019年高考真題一一數(shù)學(xué)（浙江卷）

祖迪是我國南北朝時代的偉大科學(xué)家.他提出的“鼎勢既同，則積不容異”稱為祖眶原理,

利用該原理可以得到柱體的體積公式V法雄=Sh,其中S是柱體的底面積，h是柱體的高,

若某柱體的三視圖如圖所示，則該柱體的體積（cm3）是（）

C.182D.324

15.2019年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（全國卷H）

設(shè)a,B為兩個平面，則a〃B的充要條件是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與B平行B.a內(nèi)有兩條相交直線與P平行

C.a,B平行于同一條直線D.a,B垂直于同一平面

16.2019年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（全國卷IH）

如圖，點N為正方形ABCD的中心，4ECD為正三角形，平面ECDL平面ABCD,M是線段ED

的中點，則

A.BM=EN,且直線BM、EN是相交直線

B.BM/EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM、EN是異面直線

D.BMWEN,且直線BM,EN是異面直線

17.2020年高考真題（北京卷）數(shù)學(xué)試題

某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）.

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A6+\/3B6+2\/3

C.12+百D.12+2百

18.2020年高考真題（新高考全國卷I適用地區(qū)：山東）數(shù)學(xué)試題

日懸是中國古代用來測定時間的儀器，利用與唇面垂直的懸針投射到號面的影子來測定時

間.把地球看成一個球（球心記為0）,地球上一點A的緯度是指0A與地球赤道所在平面所

成角，點A處的水平面是指過點A且與0A垂直的平面.在點A處放置一個日皆，若辱面與

赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40。，則唇針與點A處的水平面所成角為

（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

19.2020年高考真題（天津卷）數(shù)學(xué)試題

若棱長為2省的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.12iB,24萬C.36萬D.印乃

20.2020年高考真題（浙江卷）數(shù)學(xué)試題

已知空間中不過同一點的三條直線m,n,1,則“m,n,1在同一平面”是“m,n,1兩兩

相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題

21.2020年高考真題（新高考全國卷I適用地區(qū)：山東）數(shù)學(xué)試題

已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2,ZBAD=60°.以D1為球心，通為半徑的球

面與側(cè)面BCC1B1的交線長為.

22.2019年高考真題——數(shù)學(xué)（江蘇卷）

如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點，則三棱錐E-BCD的體積是

23.2018年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（全國卷H）

已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值為］SA與圓錐底面所成角為45°,若

8

△SAB的面積為5底，則該圓錐的側(cè)面積為.

24.2017年高考真題一一數(shù)學(xué)理（全國1卷）

如圖，圓形紙片的圓心為0,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為。，。、E、

尸為圓。上的點，4DBC,AECA,△兄4B分別是以BC,CA,4B為底邊的等腰三角形，沿

虛線剪開后，分別以BC,CA,4B為折痕折起ADBC,AECA,△FAB,使得D,E,尸重

合，得到三棱錐.當(dāng)A/IBC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為

三、解答題

25.2016年高考真題一一文科數(shù)學(xué)（天津卷）

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED_L平面ABCD,EF〃AB,AB=2,BC=EF=1,

AE=V6,DE=3,ZBAD=60°,G為BC的中點.

（I）求證:FG〃平面BED；

(H)求證：平面BED_L平面AED；

(III)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.

(1)證明：平面PABJ_平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

27.2018年高考真題一一文科數(shù)學(xué)(全國卷I)

在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3,ZACM=90°,以AC為折痕將AACM折起，使點M到達點

D的位置，且ABJ_DA.

⑴證明:平面ACD_L平面ABC；

⑵Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP=DQ=DA,求三棱錐Q-ABP的體積.

28.2019年高考真題——數(shù)學(xué)(江蘇卷)

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別為BC,AC的中點,AB=BC.

求證：(1)A1B1〃平面DECI；

(2)BE1C1E.

29.2020年高考真題一一數(shù)學(xué)(全國卷I)數(shù)學(xué)(理)試題

.如圖，D為圓錐的頂點，0是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.aABC是底

PO=—DO

面的內(nèi)接正三角形，P為D0上一點，6.

(1)證明：尸4_1_平面尸8€1；

(2)求二面角3-PC-E的余弦值.

試卷答案

1.B

試題分析：由題意得截去的是長方體前右上方頂點，故選B

2.A

試題分析：如圖，設(shè)平面CB1D1C1平面ABCD=m',平面CB1D1n平面ABBlAl=n',因為a

〃平面CB1D1,所m〃m',n〃n',則m,n所成的角等于m',n'所成的角.過D1作

D1E#B1C,交AD的延長線于點E.連接CE,則CE為m',連接A1B,過B1作B1F1〃

A1B,交AA1的延長線于點Fl,則B1F1為n'.連接BD,則BD〃CE,BIFI^AIB,則

且

m',n'所成的角即為A1B,BD所成的角，為60°,故m,n所成角的正弦值為2.

試題分析：由三視圖知：該幾何體是8個球，設(shè)球的半徑為R,則

V=—X—^-R3—x4^x22+—x^-x22-VITC

833,解得R=2,所以它的表面積是84,故

選A.

4.A

試題分析：如圖，設(shè)平面CB1D1CI平面ABCD=m',平面CB1D1n平面ABB1A1二n',因為Q

〃平面CB1D1,所,n//nf,則m,n所成的角等于，n'所成的角.過D1作

D1E〃B1C,交AD的延長線于點E.連接CE,則CE為m',連接A1B,過B1作B1F1〃

A1B,交AA1的延長線于點Fl,則B1F1為n'.連接BD,則BD〃CE,B1F1//A1B,則

m',n'所成的角即為A1B,BD所成的角，為60°,故m,n所成角的正弦值為2.

幾何體是四棱錐，如圖

紅色線為三視圖還原后的幾何體，最長的棱長為正方體的對角線，，=V22+22+22=

2V3,故選B.

6.

B

試題分析：設(shè)0為三角形ABC中心，則0到PQ距離最小，0到PR距離最大，。到RQ距離

居中，而高相等，因此a〈Y<S,因此選B.

立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考重點考查的考點與熱點.這類問題的設(shè)置一

般有線面位置關(guān)系的證明與角度距離的計算等兩類問題.解答第一類問題時一般要借助線

面平行與垂直的判定定理進行；解答第二類問題時先建立空間直角坐標(biāo)系，運用空間向量

的坐標(biāo)形式及數(shù)量積公式進行求解.

7.A

試題分析：根據(jù)所給三視圖可還原幾何體為半個圓錐和半個棱錐拼接而成的組合體，所以

幾何體的體積為

|/=lx3x(—+-x2x1)=-+1,選A.

3122J2

思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，

寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長

是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖

畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;

2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三

視圖進行調(diào)整.

8.D

該幾何體是三棱錐，如圖：

V=1X-!-X5X3X4=10

圖中紅色線圍成的幾何體為所求幾何體，該幾何體的體積是32，故

選D.

9.

B

如圖所示，

D

點M為三角形ABC的重心，E為AC中點，

當(dāng)DZ1平面ABCE1寸，三棱錐D-ABC體積最大

此時，ODOBR4

???AB=6

???點M為三角形ABC的重心

2

.--BM；BE2有

ARtAABC中，有°Z=JOB?-BM?=2

--.DM=OD+OM-4+2=6

???（VD.ABC）n?]x96x6T83

故選B.

10.

A

由題意可知，如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，小的長方體，是柳

頭，從圖形看，輪廓是長方形，內(nèi)含一個長方形，并且一條邊重合，另外3條邊是虛線，

所以木構(gòu)件的俯視圖是A。

11.

C

分析：根據(jù)三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長，再利用勾股定理逆定理判斷直角

三角形的個數(shù).

詳解：由三視圖可得四棱錐P-ABCD,

在四棱錐PABCD中，PD2.AD2,CD-2..ABI,

由勾股定理可知：PA-2V5,PCR2\5.PB3J3C\\,

則在四棱錐中，直角三角形有：APAD.APCD.APAB共三個，

故選c.

點睛：此題考查三視圖相關(guān)知識，解題時可將簡單幾何體放在正方體或長方體中進行還

原，分析線面、線線垂直關(guān)系，利用勾股定理求出每條棱長，進而可進行棱長、表面積、

體積等相關(guān)問題的求解.

12.

B

解答：

如圖，兒48c為等邊三角形，點。為A,B,C,力外接球的球心，G為AABC的重

心，由SMBC=9石，得243=6,取3。的中點”，.?.4”=43與1160。=3百，...

AG=-AH-2百1_/Ti_s鬲2_

3，,球心0到面ABC的距離為4—A/4-(2<3)一2,...三棱錐

V=-x9^x(2+4)=18V3

Z)_ABC體積最大值-nc3kJ.

13.

B

【解析】

本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概

念，以及各種角的計算.解答的基本方法是通過明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識求解，而后

比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.

方法1：如圖G為AC中點，V在底面ABC的投影為。，則P在底面投影。在線段40上，過。作

DE垂直AE,易得PE〃VG,過P作PF〃AC交VG于F,過。作C”〃4C,交BG于H,則。=

乙BPF,p=Z.PBD,y—Z.PED,JJl!|cosa=^~=cosP,即a>0,tany—

黑>黑=m”，即y>/?,綜上所述，答案為B.

方法2：由最小角定理萬<樂記U-AB-C的平面角為y'（顯然y'=y）

由最大角定理夕<y'=Y，故選B.

法2：（特殊位置）取V-4BC為正四面體，P為IM中點，易得

cosa=—=>sina=—,sin/?=—,siny——,「故選B.

6633

常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯誤有，不能正確作圖得出各種角.未能想到利用“特殊位置法”，尋

求簡便解法.

14.

B

【解析】

本題首先根據(jù)三視圖，還原得到幾何體一棱柱，根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計算幾何體的體積.

常規(guī)題目.難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、視圖用圖能力、基本計算能力的考查.

由三視圖得該棱柱的高為6,底面可以看作是由兩個直角梯形組合而成的，其中一個上底

為4,下底為6,高為3,另一個的上底為2,下底為6,高為3,則該棱柱的體積為

（等X3+等X3）X6=162.

易錯點有二，一是不能正確還原幾何體；二是計算體積有誤.為避免出錯，應(yīng)注重多觀察、

細心算.

15.

B

根據(jù)面面平行的判定定理易得答案.選B.

16.

B

因為直線BM,EN都是平面BED內(nèi)的直線，且不平行，即直線BM,EN是相交直線，設(shè)正方

形ABCD的邊長為2a,則由題意可得：DE=2a,DM=a,DN=V2a,DB=2V2a,根據(jù)余弦定理

可得：BM2=DB2+DM2-2DB?DMcosZBDE=9a2-4V2a2cosZBDE,EN2=DE2+DN2-2DE?DNcos

ZBDE=6a2—4夜a2cosZBDE,

所以BMWEN,故選B.

17.D

【解析】

首先確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.

由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長為2的等邊三角形，側(cè)面為三個邊長為2的正方

形，

5=3x（2x2）+2x|lx2x2xsin60°|=12+273

則其表面積為：[2）

故選：D.

18.B

【解析】

畫出過球心和愚針?biāo)_定的平面截地球和懸面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線面

垂直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系，根據(jù)點4處的緯度，計算出號針與點4處的水平面所成角.

畫出截面圖如下圖所示，其中CD是赤道所在平面的截線；/是點4處的水平面的截線，依題

意可知。41I；4B是辱針?biāo)谥本€.m是劈面的截線，依題意依題意，辱面和赤道平面平

行，替針與巖面垂直，

根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知m〃CD、根據(jù)線面垂直的定義可得4B1m..

由于4aoe=40°,m//CD,所以/04G=NAOC=40°,

由于/。力G+ZGAE=ZBAE+ZGAE=90°,

所以4BAE=NOAG=40°,也即唇針與點4處的水平面所成角為N8AE=40°.

故選：B

本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計算，涉及平面平行，線面垂直的性

質(zhì)，屬于中檔題.

19.C

【解析】

求出正方體的體對角線的一半，即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.

這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半，

RJ(2扃+(2廚+(2百『§

即2,

所以，這個球的表面積為S=4萬A?=4萬、32=36萬.

故選：C.

20.B

【解析】

將兩個條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的結(jié)果判斷充分必要條件.

依題意血,九」是空間不過同一點的三條直線，

當(dāng)九，在同一平面時，可能m〃幾〃故不能得出犯九，兩兩相交.

當(dāng)兩兩相交時，設(shè)mOn=A,mnI=B,nA/=C,根據(jù)公理2可知確定一個平面

a,而B€mua,C€nua,根據(jù)公理1可知，直線BC即Zua,所以m,n,L在同一平面.

綜上所述，“血,九，在同一平面”是“m,弭/兩兩相交”的必要不充分條件.

故選：B

本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查公理1和公理2的運用，屬于中檔題.

-71.

21.2

【解析】

根據(jù)已知條件易得QE=V3,DjE，側(cè)面&GCB,可得側(cè)面BiGCB與球面的交線上的點到

E的距離為或，可得側(cè)面BiQCB與球面的交線是扇形EFG的弧再根據(jù)弧長公式可求得

結(jié)果.

如圖：

取8|G的中點為E,'4的中點為F,CG的中點為G,

因為ZBAO=60°,直四棱柱ABCD-4B1C1D1的棱長均為2,所以△Di/Q為等邊三角

形，所以D】E=遮，QElBiG，

又四棱柱4BCD-&B1C1C1為直四棱柱，所以BB1，平面為當(dāng)前。1，所以^4,4G,

因為BBinBiG=所以DiE_1_側(cè)面BiGCB,

設(shè)P為側(cè)面/C1CB與球面的交線上的點，則1EP,

因為球的半徑為花，DiE=?所以|EP|=一|CiE|2=571=在,

所以側(cè)面BiCiCB與球面的交線上的點到E的距離為我，

因為|EF|=\EG\=V2，所以側(cè)面BiGCB與球面的交線是扇形EFG的弧啟，

因為4&EF="EG=3，所以4EG=]

所以根據(jù)弧長公式可得怠=三x夜=當(dāng)兀.

故答案為：乎兀.

本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面垂直的判定，考查了立體幾何中的軌跡

問題，考查了扇形中的弧長公式，屬于中檔題.

22.

10

【解析】

由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積.

因為長方體力BCD-4遇傳1。1的體積為120,

所以48-BOCCi=120,

因為E為CG的中點，

所以CE=^CCi，

由長方體的性質(zhì)知CG_L底面力BCD,

所以CE是三棱錐E-BC。的底面8C。上的高，

所以三棱錐E—BCD的體積U=ZXL/1B-BC-CE==-x-AB-BC--CC1=—x120=10.

32322112

本題蘊含“整體和局部”的對立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計算問題中，往往需要注

意理清整體和局部的關(guān)系，靈活利用“割”與“補”的方法解題.

23.

40V2TT

詳解：因為母線SA.SB所成角的余弦值為:,所以母線SA.SB所成角的正弦值為孚,因為△SAB的

oO

面積為565.設(shè)母線長為I,所以:xl2x=5vl5AI2=80.

x^2

Icos-=—1,

因為SA與圓錐底面所成角為45°,所以底面半徑為42

xrl=^-?12=40"定

因此圓錐的側(cè)面積為2

24.

4715

由題，連接。。，交BC與點G,由題，OCJ.BC

OG=—6BC,即0G的長度與BC的長度或成正比

設(shè)。G=x,則=DG=5-x

三棱錐的高力=y/DG2—0G2=V25—10%4-%2—%=三5—10%

1

2

S^ABC=2^3?3%-—=3y/3x

則'=[SMBC.h=V3x2?V25-10%=V3-V25x4-10x5

令/(x)=25x4-10x5,xe(0,|),/‘(%)=100%3-50x4

令/(%)>0,即％4—2x3<0,x<2

則f(%)<f(2)=80

則Ybx恂=45

.??體積最大值為4“^cm3

B

”D

25.

(i)詳見解析(n)詳見解析(ni)

【解析】

試題分析：(I)證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行尋

找與論證，往往結(jié)合平幾知識，如本題構(gòu)造一個平行四邊形：取血)的中點為。，可證四邊形0G尸E是平

行四邊形，從而得出FG//OE(II)面面垂直的證明，一般轉(zhuǎn)化為證線面垂直，而線面垂直的證明，往往

需多次利用線面垂直判定與性質(zhì)定理，而線線垂直的證明有時需要利用平幾條件，如本題可由余弦定理解

出N4D5=90。，即即_L/D(III)求線面角，關(guān)鍵作出射影，即面的垂線，可利用面面垂直的性質(zhì)定

理得到線面垂直，即面的垂線：過點/作仙_LDE于點H,則4H，平面,從而直線AB與平面

BED所成角即為ZABH一再結(jié)合三角形可求得正弦值

試題解析：(I)證明:取刖的中點為0,連接。及。G，在A5CD中，因為G是5c的中點，所以。G//PC

且。G=-DC=1,又因為EFHAB.ABHDC,所以EFH0G且EF=0G

2

,即四邊形0GFE是平行四邊形，所以FGH現(xiàn)，又尸G仁平面刀ED,0Eu平面BED,所以FGH平

面3ED.

(II)證明：在44BD中，AD=1,AB=2/BAD=60°,由余弦定理可BD=V3,進而可

得乙4DB=90。，^BDLAD,又因為平面4ED_L平面4BCD,BDu平面4BCD；平面4EDn

平面力BCD=AD,所以BD，平面4ED.又因為BDu平面BED,所以平面BED_L平面力ED.

(Ill)解：因為EF〃AB,所以直線EF與平面BED所成角即為直線AB與平面BED所成角.

過點4作J_DE于點H,連接又因為平面BE。n平面ZE0=ED,由(II)知4Hl

平面BED,所以直線4B與平面BED所成角即為乙4BH.在z4DE中，AD=1,DE=3,AE=

V6,由余弦定理可得cosNADE=I，所以sinz_4DE=M因此4f/=4。?sin2Z)E=

―,在RtZL4HB中，sinz.ABH=—=所以直線4B與平面BED所成角的正弦值為些.

3AB66

26.

(1)證明：：ZBAP=NCDP=90°

：.PAS.AB,PD1CD

又：AB||CD,：.PDLAB

又?.?PDnPA=P,PD、P4u平面PAO

?MB1平面24。，乂ABu平面H4B

平面P4B_L平面PAC

(2)取ZD中點0,BC中點E,連接P0,0E

"：AB￡CD

四邊形4BC。為平行四邊形

：.0E^AB

由(1)知，AB_L平面PAD

，0E_L平面PAD,又PO、4。u平面PAD

：.OE1PO,OELAD

又,：PA=PD,：.P01AD

：.PO.OE、AD兩兩垂直

以。為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz

設(shè)PA=2,:.D(-立,0,0),B(V2,2,0)、P(0,0,V2)>C(-V2,2,

0)，

：.~PD=(-V2,0,-V2).麗=(魚，2,-V2),BC=(-2V2,0,0)

設(shè)i?=(x,y,z)為平面PBC的法向量

由伊.里=0得+2y-=0

I元.BC=0\—2\[2x=0

令y=l,則2=魚，x=0,可得平面PBC的一個法向量完=(0,1,V2)

'：^APD=90°,：.PD1PA

又知48,平面240,P。u平面240

：.PD1AB,又PAnAB=A

：.PD1平面P4B

即而是平面/MB的一個法向量，PD=(-V2,0,-V2)

*柄㈤=布=±等

由圖知二面角4-PB-C為鈍角，所以它的余弦值為一日

27.

解:

(1)由己知可得，乙BAC=90°,BA1AC.

又BAL'D,所以AB_L平面ACD.

又ABu平面ABC,

所以平面ACDJL平面ABC.

(2)由已知可得，DC=CM=AB=3,DA=3A/2.

又BP=DQ=|/M,所以BP=2V^.

作QE_LAC,垂足為E,則QE=

由已知及(1)可得DC_L平面可C,所以QE,平面ABC,QE=1.

因此，三棱錐Q-ABP的體積為

VQ-ABP*QExS4ABp=]XlXax3x2V2sin45=1.

28.

（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）由題意結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征和線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論;

（2）由題意首先證得線面垂直，然后結(jié)合線面垂直證明線線垂直即可.

（1）因為D,E分別為BC,AC的中點，

所以ED〃AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB/7A1B1,

所以A1B1//ED.

又因為EDU平面DECI,A1B1C平面DECL

所以A1B1〃平面DEC1.

(2)因為AB=BC,E為AC的中點，所以BELAC.

因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1，平面ABC.

又因為BEU平面ABC,所以CC1_LBE.

因為C1CU平