2021高考數(shù)學模擬卷與訓練卷九（解析版）（新高考卷）

2021高考數(shù)學基礎訓練卷九(解析版)

第I卷(選擇題)

一、單選題

1.已知集合A=y=Jl+￡卜8={x|y=ln(x+l)},則下列選項正確的是()

A.AU8=[1,4W)B.AnB=(-l,4-oo)

C.(QB)cA=(-l,l)D.(QA)c5=(-1,1)

【答案】D

【分析】

先求出集合A、B,再進行集合運算，驗證四個選項.

【詳解】

13A=卜，'y=A/1+X2j=[1,+oo),8={尤,=ln(x+l)}=(-l,+oo),

=(-l,+oo),AcB=[l,+oo),

他3)nA=0,(\A)cB=(—l/).

故選：D.

【點睛】

集合的交、并、補運算：

⑴離散型的數(shù)集用韋恩圖；

(2)連續(xù)型的數(shù)集用數(shù)軸.

2.二次方程％?+fex+c=0的一個根是l-2i,且。、ceR,則b+c的值為

A.3B.5C.-2D.7

【答案】A

【分析】

由實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根互為共朝復數(shù)可知，二次方程》2+法+。=0的另一個根為l+2i,利用

韋達定理可求得實數(shù)人、c,進而可計算出〃+c的值.

【詳解】

由題意可知，二次方程/+區(qū)+。=0的兩個虛根分別為1-2入1+2/，

b=—2

由韋達定理得《1(1一2i).(l+2i)=c，可得［，因此，Z?+c=3.

c=5

故選：A.

【點睛】

本題考查利用實系數(shù)二次方程的虛根求參數(shù)，利用實系數(shù)二次方程的兩個虛根互為共軻復數(shù)結合韋達定理

【答案】D

【分析】

分析函數(shù)y=/(x)的定義域、奇偶性以及函數(shù)y=/(x)在(0,1)和(1,+8)上的函數(shù)值符號，可得出正確選

項.

【詳解】

w

>o

wo

自變量x滿足＜Inw解得XHO且xw±l,

則函數(shù))，=/(力的定義域為(F,—l)U(—l,())U(O,l)U(l,”).

(T)，

Q/(-X)=-/(x),則函數(shù)y=/(無)為奇函數(shù),

lnHlnkl

當0cx<1時，ln|x|<0,.,J(x)<0,當%>1時，111忖>0，，/(x)>0.

故選D.

【點睛】

本題考查函數(shù)圖象的識別，一般從函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點和函數(shù)值符號來進行判斷，考查

分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

4.圓Q：x2+y2=i與圓0：x2+(y—3產(chǎn)=1的內(nèi)公切線有且僅有()

A.1條B.2條

C.3條D.4條

【答案】B

【分析】

判斷出兩圓的位置關系后可得內(nèi)公切線條數(shù).

【詳解】

圓心距為3,半徑之和為2,故兩圓外離，內(nèi)公切線條數(shù)為2.

故選：B.

5.已知￡,坂是不共線的向量，OA=Aa+jub,OB=3a+2b,反=22+3萬若AB,C三點共線，則實

數(shù)乙〃滿足()

A.4=〃-1B.A.=/j+5

C.A—5—/JD.4=〃+1

【答案】c

【分析】

利用三點共線再利用向量相等可得答案.

【詳解】

由A,B,C點共線，得礪=/礪+(1T)近=Q+2)a+(3-t)b,

UUtl11一一一一

而OA=4a+,于是有Aa+pb=Q+2)a+(3-，

幾=r+2

即《4=5—//.

〃=3-z

故選：c.

6.斐波那契數(shù)列是意大利數(shù)學家斐波那契在撰寫《算盤全書》(UberAbaccj)一書中研究的一個著名數(shù)列1,

1,2,3,5,8,13,21,34,該數(shù)列是數(shù)學史中非常重要的一個數(shù)列,它與生活中許多現(xiàn)象息息相關,

如松果、鳳梨、樹葉的排列符合該數(shù)列的規(guī)律，與楊輝三角，黃金分割比等知識的關系也相當密切.已知該數(shù)

列滿足如下規(guī)律，即從第三項開始，每一項都等于前兩項的和，根據(jù)這個遞推關系，令該數(shù)列為｛%｝，其

前〃項和為Sn,q==1，=2,若S2021=t，則。2023=（）

A.tB./+]C.2tD.t+\

【答案】D

【分析】

利用遞推關系，結合累加法求解.

4+2=??+i+??

【詳解】

由遞推關系得：4=4+q,

a4=a3+a2,

a5=a4+a3,

=4+%，

an+2~an+\+an>

累加可得%+2=5〃+。2，

所以々023=52021+a2=t+l,

故選：D.

7.已知AABC中，AB=BC=4,ZABC=90°,平面ABC外一點P滿足PA=P8=PC=2"，則

三棱錐尸-ABC的外接球的表面積是（）

A.32萬B.36%C.25%D.16乃

【答案】B

【分析】

由已知可得棱錐頂點P在底面投影為AABC的外心，則△ACP的外接圓半徑等于三棱錐P-ABC外接球

半徑.

【詳解】

解：因為PA=PB=PC=2娓,

棱錐頂點P在底面投影為AABC的外心，

則△ACP的外接圓半徑等于三棱錐P-ABC外接球半徑，

?.?△ABC是等腰直角三角形，斜邊AC=4夜，

如圖在△ACP中，PA=PC=2娓,AC=4也

則PD=\/PC2-DC2=42扃-(26j=4，設ZVlCP外接圓的半徑為r,則

產(chǎn)=(4-r『+(2萬『解得r=3

則三棱錐尸一ABC外接球的半徑R=3,

故三棱錐P-ABC外接球的表面積S=44A)=36萬.

故選：B.

【點睛】

本題考查的知識點是球的表面積，根據(jù)已知求出球的半徑是解答的關鍵，屬于中檔題.

8.已知定義在R上的偶函數(shù)Ax)滿足/(2-x)=/(x),且.f(x)在(一1,0)上遞減.若叫/小)

c=則b,的大小關系為()

/?=/(-In2),/(log318),a,c

A.a<c<bB.c<b<a

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

【分析】

根據(jù)題設條件可得函數(shù)為周期函數(shù)且周期為2,結合函數(shù)的奇偶性可得b=/(ln2),c=/(log,2),再

根據(jù)函數(shù)在(0,1)上的單調(diào)性可得三者之間的大小關系.

【詳解】

因為定義在R上的偶函數(shù)，所以/(-X)=/(%)，

因為〃2-x)=/(x),所以“2-x-2)=/(x+2),即“-x)=/(2+x)=/(x),

所以/(x)是以2為周期的周期函數(shù)，

又/(x)在(一1,0)上遞減，所以在(0,1)遞增，

又。=小斗?0=〃Tn2)="ln2),

c=/(log318)=/(2+log32)=/(log32),

而<5=log30<log32<In2<1,/(x)在(0,1)遞增,

</(log32)</(ln2),即a<c<A,

故選：A.

【點睛】

方法點睛：函數(shù)值的大小比較，一般需要利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性把要比較的值轉化為同一個單調(diào)區(qū)間

上，轉化時注意利用指對數(shù)的運算性質.

二、多選題

9.以下說法，正確的是()

A.玉°eR,使e'°<Xo+1

B.V8eR,函數(shù)/(x)=sin(2x+6)都不是偶函數(shù)

c.a,beR,a>6是44>b網(wǎng)的充要條件

JT

D.△ABC中，"sinA+sinB=cosA+cosB”是"C=—”的充要條件

2

【答案】CD

【分析】

通過導數(shù)求出函數(shù)/(x)=/-x-l的最小值為0,可判斷A；舉出反例x可判斷B；通過充分條件和必

要條件的概念、不等式的性質以及三角函數(shù)式的化簡可判斷CD.

【詳解】

解：對于A：設=所以r(x)=e'-l,

當x=0時，函數(shù)/'(x)=0,

當尤<0時，/'(x)<0,當x>0時，/'(x)>0,

故在x=0時函數(shù)/(x)取得最小值，/(0)=0,

所以/(x)=e'-x—12/(》).="0)=0,即/GR,+故A錯誤；

對于B：當xg時/(無)=sin(2x+S=cos2x,故函數(shù)/(力為偶函數(shù)，故B錯誤；

對于C：當。>>>0時,等價于02—廿=(a+b)(a-6)>0,

當0>a>6時，等價于一/+/=一(4+3(4—3>(),

當a>0>Z?時，等價于/+。2>(),

反之同樣成立，故c正確；

nTT

對于D：△ABC中，當。=一時，A+3=—,

22

(71\(71\

所以sinA+sin8=sinB+sinA=cos8+cosA,

U)12)

由于sinA+sin8=cosA+cosB,故sinA-cosA=cosB-sin8,

兩邊平方得：sin2A-2sinAcosA+cos?A=cos2B-2sinBcosfi+sin2B，

故1一2sinAcosA=1—2sin8cosB，

即sin2A=sin28,

所以2A=25或2A=萬一25,

當2A=25時，即A=3,由于sinA+sin8=cosA+cos6,

所以sinA=cosA,BPtanA=LAe（0,4），

所以A=工，故8=工，C=~.

442

TTjr

當24=萬一25時，A+B=-,故。=一.

22

故D正確.

故選：CD.

10.已知9e（0,萬），sin￡+cos6=—則下列結論正確的是（

A.（石，］）B.cos^=--

25

37

C.tan?=——D.sin￡-cose=—

45

【答案】ACD

【分析】

利用角的范圍判斷sin6>0,進而得cos6<0,所以，e（三，幻，對sin8+cos6=—1平方，計算得

25

1?o7

sin（9cos6?=--,再代入計算（sin8—cos。）,結合角的象限，判斷出正負，開方得sin6>-cose=g,

343

將加減法聯(lián)立方程即可解得sin6=—,cos6=——,從而得tan6=——.

554

【詳解】

因為8e（0,乃），所以sin6>0,又sin6+cos6=—：<0,所以cos〃<0,所以可得。6（/，萬），故A

,、,1I?

正確；又（sinS+cosOy=l+2sin6cose=w，W^sin0cos^=--,則可得

,497

（sinO-cos。）-=1—2sin6cos6=一，所以sin。—cos6=—,故D正確；由加減法聯(lián)立解得，

343

sine=-,cos6=——，所以tan。=——,故C正確；

554

故選：ACD.

【點睛】

利用三角函數(shù)基本關系求值時，一般關于正余弦的加減法運算需要注意平方的應用，其次開方時一定要注

意判斷三角函數(shù)值的正負.

22

11.設橢圓的方程為三+2=1,斜率我為的直線不經(jīng)過原點。，而且與橢圓相交于A6兩點，M為線

24

段A3的中點.下列結論正確的是（）

A.直線AB與OM垂直;

B.若點"坐標為(1,1),則直線方程為2x+y-3=o；

C.若直線方程為y=x+l,則點/坐標為

D.若直線方程為y=x+2,貝！1,回=1血.

【答案】BD

【分析】

222

Arv

根據(jù)橢圓的中點弦的性質38山加=—-判斷ABC；將直線方程為y=x+2,與橢圓方程與+亍=1聯(lián)立,

求出交點，進而可求出弦長.

【詳解】

4

對于A項，因為在橢圓中，根據(jù)橢圓的中點弦的性質原屋心”=-3=一2彳一葭

所以A項不正確；

對于B項，根據(jù)原屋?時=一2,所以攵楮=一2,

所以直線方程為y—1=-2。-1),即2x+y-3=0,

所以B項正確；

]4

對于C項，若直線方程為y=x+l,點則砥8MoM=1.4=4/-2,

所以C項不正確；

對于D項，若直線方程為y=x+2,與橢圓方程5+[=1聯(lián)立，

得到2/+(%+2)2-4=0,整理得：3f+4x=0，

4

解得玉=0,%2=一§，

所以|A用=J1+Tg_o=半，

所以D正確;

故選：BD.

【點睛】

本題考查橢圓中點線問題，熟記關系式38MoM=-2可減少計算，是基礎題.

a~

12.如圖，在四面體ABC。中，點與，G，3分別在棱AB,AC,上，且平面5GR〃平面BCD,

AF)

4為ABCD內(nèi)一點，記三棱錐4-4G4的體積為V,設一L=x,對于函數(shù)V=/(x),則下列結論

AD

2

A.當兀=一時，函數(shù)/(x)取到最大值

3

2

B.函數(shù)在(§,1)上是減函數(shù)

C.函數(shù).f(x)的圖象關于直線》=,對稱

2

D.不存在%,使得/(x0)>；VA_BCD(其中VA_BCD為四面體ABCD的體積).

【答案】ABD

【分析】

由題意可知ABCQSABCD,設%.88=%，則以一“倒=/。)=犬(1一%)監(jiān)利用導數(shù)性質求出當

2

x=一時，函數(shù)〃幻取到最大值.

3

【詳解】

?.?在四面體ABCD中，點與，G，R分別在棱AB,AC,A￡>上，

且平面8CR//平面6C。，

由題意可知ABICRSABCD,

..CQi__2

?——人，??—人?

CDADS.CD

???棱錐A—4GR與棱錐A—BCD的高之比為1-X,設匕_8°=匕，

，K-AGA=/(x)=r(1一%)%,

2

f'(x)=2xV0-3xV0,

22

當r(x)>o時，0cx<—，當r(x)<。時，x>—，

33

2

當x=一時，函數(shù)f(x)取到最大值.故A正確；

3

2

函數(shù)在函數(shù)/(x)在(耳,1)上是減函數(shù)，故8正確；

函數(shù)/(幻的圖像不關于直線x=[對稱，故C錯誤；

2

/(■|)=彳)2(1-*I)匕一8CO='VA-BC0,

不存在X。，使得/(%)>J匕力。(其中VA-BCD為四面體A8CO的體積).故。正確.

故選：ABD.

【點睛】

本題考查相似三角形性質的應用，利用導數(shù)研究幾何體體積最值問題，屬于中檔題

第II卷(非選擇題)

三、填空題

13.工廠需要建造一個倉庫，根據(jù)市場調(diào)研分析，運費與工廠和倉庫之間的距離成正比，倉儲費與工廠和

倉庫之間的距離成反比，當工廠和倉庫之間的距離為4千米時，運費為20萬元，倉儲費為5萬元.則工廠

和倉庫之間的距離為千米時，運費與倉儲費之和最小.

【答案】2

【分析】

根據(jù)題意求出兩個比例系數(shù)，再求出運費與倉儲費之和，然后利用基本不等式可求出結果.

【詳解】

設工廠和倉庫之間的距離為X千米，運費為,萬元，倉儲費為為萬元，

設y=k[X,%=&；

X

當工廠和倉庫之間的距離為4千米時，運費為20萬元，倉儲費為5萬元，

所以20=優(yōu),5=冬,則勺=5&=20；

所以運費與倉儲費之和為5x+一,

x

因為5尤+型Z2、5xx型=20,當且僅當5x=小，即x=2時，運費與倉儲費之和最小為20萬元.

X\XX

故答案為：2

【點睛】

易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件:

(1)“一正二定三相等""一正"就是各項必須為正數(shù);

(2)"二定"就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成

積的因式的和轉化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

1On

14.滿足匕C：+M+…+&C：<100的正整數(shù)n的最大值為；

nnn

【答案】7

【分析】

（H-1）!

Il,lkkkn\B,對左邊化簡，再利用二項式定理可得結果.

n〃nR!?（〃一女）!（左一1）!?（〃一&）!

【詳解】

k?kn\5-1）!?-?A:-!

解：因為一?。,：=一?=Ji，

nnk\\n-k）\（左—1）!?（幾_后）!

17n

所以—c+—?+???+??&=*+*+…+圖=尸,

nnn

所以2"i<100,

因為26=64,27=128,所以〃一1V6,即〃W7,

1277

所以滿足一?C：+—?C；+…+—?G；<100的正整數(shù)n的最大值為7

nnn

故答案為：7

【點睛】

此題考查組合數(shù)公式和二項式定理，考查計算能力，屬于基礎題.

15.24個志愿者名額分給3個學校，則每個學校至少有1個名額且學校名額互不相同的分法有種.

【答案】222

【分析】

設分配給3個學校的名額數(shù)分別為xl,x2,X3,則每校至少有一個名額的分法數(shù)為不定方程xl+x2+x3=

24的正整數(shù)解的組數(shù)，用隔板原理知有C%尸C；3種方法，排除掉兩校人數(shù)相同和三校人數(shù)都相同的情況

即可得出結果.

【詳解】

設分配給3個學校的名額數(shù)分別為xl,x2,x3,

則每校至少有一個名額的分法數(shù)為不定方程xl+x2+x3=24的正整數(shù)解的組數(shù)，

用隔板原理知有C：L=C；3=253種.

又在“每校至少有一個名額的分法"中要排除"至少有兩個學校的名額數(shù)相同”的分配方法：

只有兩校人數(shù)相同，設為(i,i,24-2i),

由題意有i=l,2,3,4,5,6,7,9,10,11共3x10種情況；

三校人數(shù)都相同的只有(8,8,8)這1種.

綜上可知，滿足條件的分配方法共有253-31=222種.

故答案為：222

/jr-rr\

16.數(shù)列｛4｝是公差不為。的等差數(shù)列，且別2019,設函數(shù)/(x)=3sin7一5，若

/3)+/32)+/(%)+/(%)+…+/(%019)=。，則q+?2+fl3+--+?2019=.

【答案】4038

【分析】

TT

由題目得知/(?,)+f(a2)+/(%)+f(a4)+-+”%?9)=0,而/(x)=—3cos丁x是周期函數(shù)，關于

(2,0)中心對稱，所以猜q+%019=4.

【詳解】

設｛%｝的公差為dJ(q)+f｛a2)+f(a3)+f(a4)+-+/(a20I9)

一一2sin----

=-3(cos—4+cos—%+cos—%…+cos—。2019),----

「」」42sin—-—

42

匹&匹

-3(2sin?cos-a.+2sin-cos—a,H—+2sin—?—cosa1Mg)

42「424-424

、.兀d

2sm------

42

-3[—sin(q—)+sin(4H—)-sin(tz-)----)+sin(。)H—)一???_sin(tZ2()i9---)+sin(%o]9+

__________

c.兀d

2sin-----

42

d、,(冗2019d、/乃。]+。方)]9

—3[-sin(%——)+sin(6zQ|Q+-3?2sin(------------)?cos(------1

9_______4242

、.兀d

2sin------2sin------

4242

（因為5皿勾+2）=5皿4+|-§）,又因為diO所以cos（j4+；刈9）=0

而a,e[0,4],又因為dxO,所以4+40196(°，8)，&.q+A/「9萬)

42

所以7?一三⑼2=二~，即4+a,019=4.

422

根據(jù)等差數(shù)列求和公式％+生+。3+…+。2019=4038.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的積化和差公式，和處理三角函數(shù)和的一些技巧,還有等差數(shù)列的求和公式，考查了推

理能力與計算能力，屬于有難度題.

四、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，且q=1,其中卬,。2+1，％+1成等差數(shù)列?

（1）數(shù)列｛4｝的通項公式;

〃為奇數(shù)（＞

（2）記〃,=,［嚏也,〃為偶數(shù)'貝讖列也通前物項和小

【答案】⑴。"=2"，(2)—+n2-3-

33

【分析】

⑴設數(shù)列僅“｝是公比為q的等比數(shù)歹!I,運用等差數(shù)列的中項性質和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公比，進

而得到所求通項公式;

(2)求得力,運用數(shù)列的分組求和法，結合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和.

【詳解】

⑴設數(shù)列｛q｝的公比為夕，因為為，生+1，%+1成等差數(shù)列，

所以2(%+1)=4+/+1,

又因為6=1,所以2(q+l)=2+d，即才一24=0,

所以4=2或q=0(舍去)，所以a“=2"-1；

2"工〃為奇數(shù)

(2)由⑴知也=<

〃—1,〃為偶數(shù)'

所以&=(2°+l)+Q2+3)+…+(22"2+2〃_1)

=(2°+22+---+22"-2)+(1+3+---+2/1-1)

1-4"〃。+2〃-1)

-1-42-

【點睛】

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式和求和公式的運用,考查數(shù)列的分組求和，難度不大.

18.如圖所示，有一段河流，河的一側是一段筆直的河岸/,河岸/邊有一煙囪AB(不計B離河岸的距離),

河的另一側是以。為圓心，半徑為12米的扇形區(qū)域OCD,且OB的連線恰好與河岸/垂直，設OB與圓弧

的交點為E.經(jīng)測量，扇形區(qū)域和河岸處于同一水平面,在點G點。和點E處測得煙囪AB的仰角分別為45°,

30°,和60°.

(1)求煙囪AB的高度；

(2)如果要在CE間修一條直路，求CE的長.

【答案】(1)米；(2)46米.

【分析】

(1)設AB的高度為〃，利用直角三角形中的特殊角函數(shù)值及OE=12即可求〃的值.

(2)由(1)確定08,0C,C8的長度，結合余弦定理求cos/CQB,進而求CE的長.

【詳解】

(1)設AB的高度為〃.在△CAB中，44c3=45。，有CB=h.

在AOU?中，因為408=30。,/4EB=60。，可得OB=?i,EB=J.

3

由題意得OE=6〃一口〃=12,解得〃=66.

3

(2)由(1)知，在△08。中OB=18,OC=12,C8=6G，由余弦定理得COS/COB=7，

6

所以在△死￡中，。七2=0。2+0￡；2一2OC.OE.COS“O8,得CE=46.

答：AB的高為6百米，CE的長為4百米.

19.如圖，長方體ABCD-4B1GD1的底面ABCD是正方形，點E為棱A4的中點，AB=1,A4=2.

(1)求點B到平面BiGE的距離；

(2)求二面角Bi-ECi-C的正弦值.

【答案】(1)V2!(2)旦.

2

【分析】

(1)以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，用空間向量法求點到平面

的距離；

(2)求出二面角兩個面的法向量，用法向量夾角的余弦值得出二面角的余弦值(注意二面角是銳二面角還

是鈍二面角)，然后再得正弦值.

【詳解】

解：(1)如圖，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，

則B(l,0,0),61(1,0,2),Cl(l,1,2),E(0,0,1),

=(0,1,0),B^E=(-1,0,-1),而；=(0,0,2),

設平面B1C1E的法向量］=(u,v,w),

,n-B,C.=v=0，-

則〈一，取u=l,得〃=(1,0,-1),

n-BtE=-u-w=Q

回點B到平面B1C1E的距離為：

d=回幽

IniV2

(2)0C1(1,1,2),E(0,0,1),C(l,1,0),

0Cq=(0,0,2),CE=(-1,-1,1),

設平面CC1E的法向量加=(x,y,z),

in.CC\=2z=0-

則_,取x=l,得加=(1,-1,0),

m.CE=-x-y+z=0

設二面角Bl-ECI-C的平面角為0,

m-n11

則COS0

\m\-\n\~j2xy/2~2,

團sinS

回二面角Bl-ECI-C的正弦值為由.

2

【點睛】

方法點睛：本題考查證明線面平行，求二面角.求二面角的方法：

(1)幾何法(定義法)：根據(jù)定義作出二面角的平面角并證明，然后解三角形得出結論；

(2)空間向量法：建立空間直角坐標系，寫出各點為坐標，求出二面角兩個面的法向量，由兩個平面法向

量的夾角得二面角(它們相等或互補).

20.新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是5()歲以上人群.該病毒進入人

體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時間.潛伏期越長，感染到他人的可能

性越高.現(xiàn)對400個病例的潛伏期(單位：天)進行調(diào)查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為7.2,方差為2.252.如果

認為超過8天的潛伏期屬于"長潛伏期"，按照年齡統(tǒng)計樣本，得到下面的列聯(lián)表：

年齡/人數(shù)長期潛伏非長期潛伏

50歲以上60220

50歲及50歲以下4080

(1)是否有95%的把握認為"長期潛伏”與年齡有關；

(2)假設潛伏期X服從正態(tài)分布N(〃,cr2),其中〃近似為樣本平均數(shù)人近似為樣本方差52.

(i)現(xiàn)在很多省市對入境旅客一律要求隔離14天，請用概率的知識解釋其合理性；

(ii)以題目中的樣本頻率估計概率，設1000個病例中恰有M&eN*)個屬于"長期潛伏"的概率是〃(2),

當攵為何值時，〃小)取得最大值.

附：片=_______刎3___

(a+〃)(c+d)(Q+c)S+d)

P（K2*)0.10.050.010

k。2.7063.8416.635

若一~N（〃,b2）,則P（4-cr<《<〃+b）=0.6862,P（〃-2cr<J<4+2b）=0.9544,

P(4-3b＜《＜M+3b)=0.9974.

【答案】(1)有；⑵案答案見解析；(ii)250.

【分析】

(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用K2=——"嗎——求得長2,與臨界表值對比下結論;

7(Q+Z?)(c+d)(a+c)(/?+d)

(2)(勖根據(jù)X~N(7.2,2.252),利用小概率事件判斷；(團)易得一個患者屬于“長潛伏期"的概率是:,

/］\k/o\1000-Z:

進而得到“后)=。鼠］;|1方，然后判斷其單調(diào)性求解.

【詳解】

/?、什HR答右7400x(60x80-220x40)'

(1)依題意有K2=-----------------------------L-6.35，

280x120x100x300

由于6.35＞3.841,故有95%的把握認為"長期潛伏”與年齡有關;

(2)(阿若潛伏期X~N(7.2,2.25?),

I_09974

由P(X213.95)=^——-——=0.0013,

得知潛伏期超過14天的概率很低，因此隔離14天是合理的；

(團)由于400個病例中有100個屬于長潛伏期，

若以樣本頻率估計概率，一個患者屬于“長潛伏期”的概率是L,

4

/［、&\1000-Z:

于是,

,pYpY000-'

畫幽廠⑴

；=1(1。011]

3，3&!(1000-左)！3(Z)'

當o<%<苧時,“”

當他1<女41000時，7,)<1；

4p(k-l)

Ep(l)<p(2)<...<p(250),p(250)>p(251)>--->p(1000).

故當％=250時，〃(外取得最大值.

【點睛】

方法點睛：利用獨立重復試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式

P,,(%)=cy(1-PTk的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)P；(2)n次試驗不僅

是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的；(3)該公式表示n次試驗中事

件A恰好發(fā)生了k次的概率.

22

21.已知橢圓C：二+4=1(。>/,>0),直線/：X-4百y+6=0過橢圓的左焦點F,與橢圓C在第

Q_b~

一象限交于點三角形MEO的面積為立，A、B分別為橢圓的上下頂點，P、。是橢圓上的兩個不同的

4

動點

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)直線Q4的斜率為即A，直線QB的斜率為勺B，若2kpA+kQB=0,問直線PQ是否過定點，若過定

點，求出定點；否則說明理由.

2

2

【答案】(1)y+y=l；(2)直線PQ過定點(0,3).

【分析】

(1)根據(jù)直線x-4百y+百=0過左焦點/，得到c=6,再由三角形MR9的面積為立，求得點M

4

的坐標，代入橢圓方程求解.

(2)設直線24的方程為丁=丘+1,則QB的方程為y=-2履-1,分別與橢圓方程聯(lián)立求得點P,Q的

坐標，寫出PQ的直線方程求解.

【詳解】

(1)直線/：x-4Gy+G=0過左焦點F，所以尸卜8,0),c=#),

又由SMMF=gx6xy”=9可知加=；

從而橢圓經(jīng)過點

由橢圓定義知2。=,1+、12+工=4,即。=2,

24

2

故橢圓的方程為C：—+/=1；

4

(2)設直線PA的方程為丁=h+1,則的方程為y=—2版一1,

，「辰”得（4/+1）/+8"=0,

由，2V

%+4/=4'

'-8攵1-4/

從而點p坐標為、必2+1'4?+J'

y「―2fT得（］6/+］立+］6區(qū)=0,

由，

x+4y=4、'

'一16k16k2-r

從