中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國(guó)通用）：專題23 平行四邊形（解析版）

專題23平行四邊形【考查題型】【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)一平行四邊形平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形的表示：用符號(hào)“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。平行四邊形的性質(zhì)：1)對(duì)邊平行且相等；2)對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；3)對(duì)角線互相平分；

4)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)稱中心。平行四邊形的判定定理：1)邊：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．2)角：④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；⑤任意兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形．3)邊與角：⑥一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；4)對(duì)角線：⑦對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的面積公式：面積=底×高平行線的性質(zhì)：1）平行線間的距離都相等；2）兩條平行線間的任何平行線段都相等；3）等底等高的平行四邊形面積相等?？疾轭}型一添加一個(gè)條件成為平行四邊形典例1．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是，邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上．添加一個(gè)條件，使得四邊形為平行四邊形，則這個(gè)條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形中位線定理得到DE∥AC且DE=AC，結(jié)合平行四邊形的判定定理進(jìn)行選擇．【詳解】解：∵在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC且DE=AC，A、根據(jù)∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．B、根據(jù)DE=EF可以判定DF=AC，由“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)正確．C、根據(jù)AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．D、根據(jù)AD=CF，F(xiàn)D∥AC不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．變式1-1．（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD成為平行四邊形，你所添加的條件為_(kāi)__________（寫一個(gè)即可）．【答案】ABDC(答案不唯一)【分析】根據(jù)平行四邊形的判定條件解答即可．【詳解】解：∵AB=DC，再加ABDC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故答案為：ABDC(答案不唯一)【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．變式1-2．（2020·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件____，使四邊形ABCD是平行四邊形（填一個(gè)即可）．【答案】AD=BC（答案不唯一）【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法添加一個(gè)條件即可．【詳解】解：根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可以添加條件AD=BC，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以添加條件AB∥DC，本題只需添加一個(gè)即可，故答案為：AD=BC（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．變式1-3．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在四邊形中，連接，．請(qǐng)你添加一個(gè)條件______________，使．（填一種情況即可）【答案】AD=BC（答案不唯一）【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)添加條件證明AB=CD.【詳解】解：添加的條件：AD=BC，理由是：∵∠ACB=∠CAD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握定理內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.變式1-4．（2021·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，垂足分別為點(diǎn)，．（1）請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不另加輔助線），使得四邊形為平行四邊形，你添加的條件是________；（2）添加了條件后，證明四邊形為平行四邊形．【答案】（1）（答案不唯一，符合題意即可）；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可知，要使得四邊形為平行四邊形，則使得即可，從而添加適當(dāng)條件即可；（2）根據(jù)（1）的思路，利用平行四邊形的定義證明即可．【詳解】（1）顯然，直接添加，可根據(jù)定義得到結(jié)果，故答案為：（答案不唯一，符合題意即可）；（2）證明：∵，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．考查題型二平行四邊形的證明典例2．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，與交于點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)，，且，．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見(jiàn)解析【分析】結(jié)合已知條件推知；然后由全等三角形的判定定理證得，則其對(duì)應(yīng)邊相等：；最后根據(jù)“對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論．【詳解】證明：，．．在與中，．．．四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．變式2-1．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．(1)求證：∠ACB＝∠DFE；(2)連接BF，CE，直接判斷四邊形BFEC的形狀．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)四邊形BFEC是平行四邊形【分析】（1）證△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，則BC∥EF，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．（1）證明：∵AF=CD，∴AF＋CF=CD＋CF，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，△ABC≌△DEF（SSS）（2）如圖，四邊形BFEC是平行四邊形，理由如下：由（1）可知，∠ACB=∠DFE，∴BCEF，又∶BC=EF，四邊形BFEC是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行網(wǎng)邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．變式2-2．（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，得出，，再根據(jù)，得出，即可證明結(jié)論；（2）先證明，得出，證明四邊形ABCD為菱形，得出，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∴，∵∴，∴，∴四邊形ABCD為菱形，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形和平行四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．變式2-3．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)若AC平分，，求四邊形AFCE的面積．【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)24．【分析】（1）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；（2）由平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)解得，繼而證明，由此證明平行四邊形AFCE是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，結(jié)合正切函數(shù)的定義解得，最后根據(jù)三角形面積公式解答．【詳解】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，即．四邊形AFCE是平行四邊形．（2）解：，．平分，．．，由（1）知四邊形AFCE是平行四邊形，平行四邊形AFCE是菱形．，在中，，．．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正切函數(shù)的定義等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．變式2-4．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）圖1是某長(zhǎng)征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點(diǎn)在同一直線上，測(cè)得．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求雕塑的高（即點(diǎn)G到的距離）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)雕塑的高為7.5m，詳見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)G作GP⊥AB于P，計(jì)算AG的長(zhǎng)，利用∠A的正弦可得結(jié)論．（1）證明：∵，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四邊形DEFG為平行四邊形；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GP⊥AB于P，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，在Rt△APG中，sinA=，∴=0.96，∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高為7.5m.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作輔助線構(gòu)建直角三角形解決問(wèn)題．變式2-5．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，且．（1）探究四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（2）連接，分別交、于點(diǎn)、，連接交于點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）平行四邊形，見(jiàn)解析；（2）16【分析】（1）利用平行四邊形的判定定理，兩組對(duì)邊分別平行是平行四邊形即可證明；（2）根據(jù)，找到邊與邊的等量關(guān)系，再利用三角形相似，建立等式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）四邊形為平行四邊形．理由如下：∵四邊形為平行四邊形∴∵∴∵四邊形為平行四邊形∴∴∴∵∴四邊形為平行四邊形（2）設(shè)，∵∴，∵四邊形為平行四邊形∴，，∵，∴∴∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定定理、相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)定理，能進(jìn)行相關(guān)的證明．變式2-6．（2021·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AO＝CO，點(diǎn)E在BD上，滿足∠EAO＝∠DCO．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四邊形AECD的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）24【分析】（1）根據(jù)題意可證明，得到OD＝OE，從而根據(jù)“對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形”證明即可；（2）根據(jù)AB=BC，AO=CO，可證明BD為AC的中垂線，從而推出四邊形AECD為菱形，然后根據(jù)條件求出DE的長(zhǎng)度，即可利用菱形的面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：在△AOE和△COD中，∴．∴OD＝OE．又∵AO＝CO，∴四邊形AECD是平行四邊形．（2）∵AB＝BC，AO＝CO，∴BO為AC的垂直平分線，．∴平行四邊形AECD是菱形．∵AC＝8，．在Rt△COD中，CD＝5，，∴，，∴四邊形AECD的面積為24．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定與面積計(jì)算，掌握基本的判定方法，熟練掌握菱形的面積計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．考查題型三利用平行線的性質(zhì)求解典例3．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．變式3-1．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動(dòng)到，點(diǎn)對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（

）A．96 B． C．192 D．【答案】B【分析】根據(jù)直尺與三角尺的夾角為60°，根據(jù)四邊形的面積為，即可求解．【詳解】解：依題意為平行四邊形，∵，，AB＝8，．∴平行四邊形的面積=故選B【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3-2．（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F．若AB=6，AC=8，DE=4，則BF的長(zhǎng)為（

）A．4 B．3 C． D．2【答案】B【分析】利用平行四邊形ABCD的面積公式即可求解．【詳解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S平行四邊形ABCD=DE×AB=2××AC×BF，∴4×6=2××8×BF，∴BF=3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形ABCD的面積公式求垂線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．變式3-3．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）在中（如圖），連接，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行和兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，再通過(guò)等量代換即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴ABCD∴∠DCA＝∠CAB，∵∠DCA+∠ACB，，∴40o+80o=120o，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì)并熟練運(yùn)用．變式3-4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，與軸平行，與軸平行，，，，若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BD交CE于點(diǎn)F，可證明△COE≌△ABE（AAS），則OE=BD=；由S△BDC=?BD?CF=可得CF=9，由∠BDC=120°，可知∠CDF=60°，所以DF=3，所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4；設(shè)C（m，），D（m+9，4），則k=m=4（m+9），求出m的值即可求出k的值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BD交CE于點(diǎn)F，∵四邊形OABC為平行四邊形，∴ABOC，AB=OC，∴∠COE=∠ABD，∵BDy軸，∴∠ADB=90°，∴△COE≌△ABD（AAS），∴OE=BD=，∵S△BDC=?BD?CF=，∴CF=9，∵∠BDC=120°，∴∠CDF=60°，∴DF=3．∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4，設(shè)C（m，），D（m+9，4），∵反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖像經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)，∴k=m=4（m+9），∴m=-12，∴k=-12．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)幾何關(guān)系消去參數(shù)的值是本題解題關(guān)鍵．變式3-5．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形OBAD的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上．若平行四邊形OBAD的面積是5，則k的值是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】連接OA，設(shè)AB交y軸于點(diǎn)C，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，AB∥OD，再根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OA，設(shè)AB交y軸于點(diǎn)C，∵四邊形OBAD是平行四邊形，平行四邊形OBAD的面積是5，∴，AB∥OD，∴AB⊥y軸，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，解得：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．變式3-6．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖,在中，，是上的點(diǎn),∥交于點(diǎn)，∥交于點(diǎn)，那么四邊形的周長(zhǎng)是（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，則可以推出四邊形AFDE是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)可以證明□AFDE的周長(zhǎng)等于AB＋AC．【詳解】∵DE∥AB，DF∥AC，則四邊形AFDE是平行四邊形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF，∴BF＝FD，DE＝EC，所以□AFDE的周長(zhǎng)等于AB＋AC＝10．故答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵．變式3-7．（2021·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)以及點(diǎn)的平移性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2，-2)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，-2)，∴點(diǎn)B到點(diǎn)C為水平向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，∴A到D也應(yīng)向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，1)，故選:C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及平移的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，熟知點(diǎn)的平移特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．變式3-8．（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A（1，0），與軸交于點(diǎn)B（0，2），虛線為其對(duì)稱軸，若將拋物線向下平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度得拋物線，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積和為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】連接AB，OM，根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性把陰影圖形的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形ABOM面積求解即可．【詳解】設(shè)平移后的拋物線與對(duì)稱軸所在的直線交于點(diǎn)M，連接AB，OM．由題意可知，AM=OB，∵∴OA=1，OB=AM=2，∵拋物線是軸對(duì)稱圖形，∴圖中兩個(gè)陰影部分的面積和即為四邊形ABOM的面積，∵，，∴四邊形ABOM為平行四邊形，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性和陰影面積的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化陰影圖形的面積．變式3-9．（2021·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設(shè)，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長(zhǎng)EG交AB于H，根據(jù)平行四邊形與三角板的性質(zhì)，，DC//AB，得到∠DEH=∠BHE=60°，再由平角的定義，計(jì)算出結(jié)果．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)EG交AB于H，∵∠BMF=∠BGE=90°，∴MF//EH，∴∠BFM=∠BHE，∵，∴∠BFM=∠BHE=60°，∵在平行四邊形ABCD中，DC//AB，∴∠DEH=∠BHE=60°，∵∠GEN=45°，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與一副特殊三角形板的性質(zhì)，關(guān)鍵在于作出輔助線，利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解．變式3-10．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．若，則________．【答案】3【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，先證四邊形CDEB為矩形，得出CD=BE，再證Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根據(jù)S平行四邊形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，∴CD∥BE，∵四邊形ABCO為平行四邊形，∴，即，OC=AB，∴四邊形CDEB為平行四邊形，∵CD⊥OA，∴四邊形CDEB為矩形，∴CD=BE，∴在Rt△COD和Rt△BAE中，，∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），∴S△OCD=S△ABE，∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=AD，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴S△OCD=S△CAD=，∴S平行四邊形OCBA=4S△OCD=2，∴S△OBA=，∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，∴．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)．變式3-11．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．利用尺規(guī)在、上分別截取、，使；分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，得到，從而求出HM，CM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BM的長(zhǎng)，即可利用勾股定理求出BH的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，∴∠ABH=∠CBH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，∴∠CBH=∠CHB，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確求出CH的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．變式3-12．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________．【答案】##2.4【分析】利用勾股定理得到BC邊的長(zhǎng)度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線段最短得到點(diǎn)P的位置，再證明利用對(duì)應(yīng)線段的比得到的長(zhǎng)度，繼而得到PQ的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過(guò)O作BC的垂線，∵,∴,∴，∴，∴，∴則PQ的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】考查線段的最小值問(wèn)題，結(jié)合了平行四邊形性質(zhì)和相似三角形求線段長(zhǎng)度，本題的關(guān)鍵是利用垂線段最短求解，學(xué)生要掌握轉(zhuǎn)換線段的方法才能解出本題．變式3-13．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是______．【答案】或【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：BM=B1M1=B2M2=3，∠AOA1=∠AOA2=90°，可得B1和B2的坐標(biāo)，即是B'的坐標(biāo)．【詳解】解：∵A(-1，2)，OC=4，∴C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)，BM=3，AB//x軸，BM=3．將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O分別順時(shí)針、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，由旋轉(zhuǎn)得：OM=OM1=OM2=2，∠AOA1=∠AOA2=90°BM=B1M1=B2M2=3，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴B1和B2的坐標(biāo)分別為：(-2，3)，(2，-3)，∴B'即是圖中的B1和B2，坐標(biāo)就是，B'(-2，3)，(2，-3)，故答案為：(-2，3)或(2，-3)．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．變式3-14．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y＝2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，?OCDE的頂點(diǎn)C在x軸上，頂點(diǎn)E在直線AB上，則?OCDE的面積為_(kāi)______．【答案】2【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意以及平行四邊形的性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用平行四邊形面積計(jì)算公式計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2×0+4＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），OB＝4．∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，∴OD＝OB＝×4＝2．∵四邊形OCDE為平行四邊形，點(diǎn)C在x軸上，∴DE∥x軸．當(dāng)y＝2時(shí)，2x+4＝2，解得：x＝﹣1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，2），∴DE＝1，∴OC＝1，∴?OCDE的面積＝OC?OD＝1×2＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)以及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．考查題型四利用平行線的性質(zhì)證明典例4．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E和點(diǎn)F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BF＝DE．(1)求證：BE＝DF；(2)求證：ABE≌CDF．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，得到，得到；（2）根據(jù)，，，得到ABE≌CDF．（1）∵∴∴（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴,∴∵∴ABE≌CDF（SAS）．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、全等三角形的相關(guān)知識(shí)．變式4-1．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，E，G，H，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且．求證：．【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】先由四邊形ABCD為平行四邊形得到∠A=∠C，AB=CD，進(jìn)而根據(jù)BE=DH得到AE=CH，最后再證明△AEF≌△CHG即可．【詳解】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A=∠C，AB=CD，又已知BE=DH，∴AB-BE=CD-DH，∴AE=CH，在△AEF和△CHG中，∴△AEF≌△CHG(SAS)，∴EF=HG．【點(diǎn)睛】本題考察了平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．變式4-2．（2022·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是平行四邊形的對(duì)角線，平分，交于點(diǎn)．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作的角平分線，交于點(diǎn)（要求保留作圖痕跡，不寫作法，在確認(rèn)答案后，請(qǐng)用黑色筆將作圖痕跡再填涂一次）；(2)根據(jù)圖形猜想四邊形為平行四邊形，請(qǐng)將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴∵_(dá)_____（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵平分，平分，∴，∴∴______（______）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形是平行四邊形∴∴四邊形為平行四邊形（______）（填推理的依據(jù)）．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)∠DBC；BF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形【分析】（1）根據(jù)作角平分線的步驟作平分即可；（2）結(jié)合圖形和已有步驟合理填寫即可；（1）解：如圖，根據(jù)角平分線的作圖步驟，得到DE，即為所求；（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴∵．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.又∵平分，平分，∴，∴．∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形是平行四邊形．∴，∴四邊形為平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．變式4-3．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)四邊形是菱形．理由見(jiàn)解析【分析】（1）證△ABO≌△DEO（AAS），得OB=OE，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，再證AB=BD，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形∴∴∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)∴在和中∴（AAS）∴∴四邊形是平行四邊形（2）四邊形是菱形.理由：∵四邊形是平行四邊形∴∵∴∵四邊形是平行四邊形∴四邊形是菱形【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式4-4．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點(diǎn)，連接，若的延長(zhǎng)線和的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）連接和相交于點(diǎn)為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）24．【分析】（1）根據(jù)E是邊DC的中點(diǎn)，可以得到，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到，再根據(jù)，即可得到，則答案可證；（2）先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，由得，則答案可解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，∵點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，∴，在和中∴，∴，∴；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∵的面積為2，∴，即，∵∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．考查題型五利用平行線的性質(zhì)與判定求解典例5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，其中一張紙條在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．四邊形周長(zhǎng)不變 B．C．四邊形面積不變 D．【答案】D【分析】由平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴；故D符合題意；隨著一張紙條在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，不一定等于，四邊形周長(zhǎng)、面積都會(huì)改變；故A、B、C不符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)邊相等．變式5-1．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)E，連接，則與的周長(zhǎng)比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【答案】D【分析】運(yùn)用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形DCBM為平行四邊形，接著證明，最后利相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比即可求出．【詳解】如圖：由題意可知，，，∴，而，∴四邊形DCBM為平行四邊形，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．變式5-2．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)E，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交于點(diǎn)G，連接、，若平行四邊形的面積為48，則的面積為（）A．5.5 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】由題意易得，進(jìn)而可得，則有，然后根據(jù)相似比與面積比的關(guān)系可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，AE=EF，，∵平行四邊形的面積為48，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，，∴，∴，∵和同高不同底，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．變式5-3．（2021·江西·中考真題）如圖，將沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，若，，，，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】4a+2b【分析】根據(jù)題意并利用折疊的性質(zhì)可得出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，計(jì)算可得到∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40，利用三角形的外角性質(zhì)得到∠CFD=∠D=80，再等角對(duì)等邊即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：∠ACE=∠ACB，∵∠ACE=2∠ECD，∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180，∴∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40=∠FAC，∠CFD=∠FAC+∠FCA=80=∠B=∠D，∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，則?ABCD的周長(zhǎng)為2AD+2CD=4a+2b，故答案為：4a+2b．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．變式5-4．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．【答案】10【分析】延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可．【詳解】解：延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出當(dāng)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小，是解題的關(guān)鍵．變式5-5．（2021·山西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐，問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將沿著（為的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問(wèn)題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．該小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此的面積為20，邊長(zhǎng)，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫出結(jié)果．【答案】（1）；見(jiàn)解析；（2），見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）如圖，分別延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，利用AAS可證明△PDF≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，即可得；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，F(xiàn)C=FC′，可得FD=FC′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠FDC′=∠FC′D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可證明四邊形DGBF是平行四邊形，可得DF=BG=，可得AG=BG；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，根據(jù)平行四邊形的面積可求出BH的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根據(jù)可得A′B⊥AB，即可證明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，進(jìn)而可證明△A′NH∽△CBH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得A′H、NH的長(zhǎng)，根據(jù)NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長(zhǎng)，根據(jù)S陰=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．【詳解】（1）．如圖，分別延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)P，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，,∵為的中點(diǎn)，∴，在△PDF和△BCF中，，∴△PDF≌△BCF，∴，即為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴．（2）．∵將沿著所在直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴∠FDC′=∠FC′D，∵=∠FDC′+∠FC′D，∴，∴∠FC′D=∠C′FB，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，DC=AB，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，∵的面積為20，邊長(zhǎng)，于點(diǎn)，∴BH=50÷5=4，∴CH=，A′H=A′B-BH=1，∵將沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，∵于點(diǎn)，AB//CD，∴，∴∠MBH=45°，∴△MBQ是等腰直角三角形，∴MQ=BQ，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∴∠A′=∠C，∵∠A′HN=∠CHB，∴△A′NH∽△CBH，∴，即，解得：NH=2，∵，MQ⊥A′B，∴NH//MQ，∴△A′NH∽△A′MQ，∴，即，解得：MQ=，∴S陰=S△A′MB-S△A′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)二三角形中位線三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。幾何描述：∵DE是△ABC的中位線∴DE∥BC,DE=12三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等?？疾轭}型六與三角形中位線有關(guān)的計(jì)算典例6．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)．若OE＝3，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】由菱形的性質(zhì)可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，結(jié)合菱形的周長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，∵OE=3，且點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，是的中位線，∴BC=2OE=6．∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為:4BC=4×6=24．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出BC=6．變式6-1．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別為，的中點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用中位線的性質(zhì)：平行三角形的第三邊且等于第三邊的一半即可求解．【詳解】∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴，∵BC=4，∴DE=2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的判定與性質(zhì)，掌握中位線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．變式6-2．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為3，點(diǎn)E在邊CD上，且CE=1，∠ABE的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是BE，BF的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】如圖，連接EF，先證明再求解可得再求解可得為等腰直角三角形，求解再利用三角形的中位線的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，連接EF，∵正方形ABCD的面積為3，∵∴∴∴∵平分∴∴∴為等腰直角三角形，∵分別為的中點(diǎn)，故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的中位線的性質(zhì)，求解是解本題的關(guān)鍵．變式6-3．（2021·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接．若菱形的面積為8，則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】連接，相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形中位線定理可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，最后利用三角形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖，連接，相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，四邊形是菱形，且它的面積為8，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，，，，，，，則的面積為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式6-4．（2021·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一條對(duì)邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為、，若，，則的度數(shù)是____．【答案】40°【分析】如圖，由折疊的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，然后易得四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖所示：∵，由折疊的性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴；故答案為40°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式6-5．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點(diǎn)，E在線段AC上，，則_____．【答案】或【分析】由題意可求出，取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，滿足，進(jìn)而可求此時(shí)，然后在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則，證明△DE1E2是等邊三角形，求出E1E2＝，即可得到，問(wèn)題得解．【詳解】解：∵D為AB中點(diǎn)，∴，即，取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，此時(shí)DE1∥BC，，∴，在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則，∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠C=60°，BC＝，∵DE1∥BC，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等邊三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝，∴E1E2＝，∵，∴，即，綜上，的值為：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，根據(jù)進(jìn)行分情況求解是解題的關(guān)鍵．變式6-6．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．如圖，已知三角形紙片，第1次折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)；第2次折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)．若，則_____________．【答案】6【分析】根據(jù)第一次折疊的性質(zhì)求得和，由第二次折疊得到，，進(jìn)而得到，易得MN是的中位線，最后由三角形的中位線求解．【詳解】解：∵已知三角形紙片，第1次折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，∴，．∵第2次折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，∴，，∴，∴．∵，∴MN是的中位線，∴，．∵，，∴．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)是解答關(guān)鍵．變式6-7．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊的中點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)分別是1，4，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是_______．【答案】6【分析】根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，先求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，再根據(jù)A、D求出B點(diǎn)橫坐標(biāo)．【詳解】設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是b；點(diǎn)的橫坐標(biāo)是0，C的橫坐標(biāo)是1，C，D是的中點(diǎn)得得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是6．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查