中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國(guó)通用）：專題25 特殊的平行四邊形-菱形（解析版）

專題25特殊的平行四邊形-菱形【考查題型】【知識(shí)要點(diǎn)】菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）四條邊都相等；3）兩條對(duì)角線互相垂直，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。4）菱形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，菱形的對(duì)稱中心是菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，菱形的對(duì)稱軸是菱形對(duì)角線所在的直線，菱形的對(duì)稱軸過(guò)菱形的對(duì)稱中心。菱形的判定：1）A對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。A2）四條邊相等的四邊形是菱形。3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。菱形的面積公式：菱形ABCD的對(duì)角線是AC、BD，則菱形的面積公式是：S＝底×高，S＝考查題型一利用菱形的性質(zhì)求角度典例1．（2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，將菱形紙片沿著線段剪成兩個(gè)全等的圖形，則的度數(shù)是（

）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得出答案．【詳解】解：∵紙片是菱形∴對(duì)邊平行且相等∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要知道兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．變式1-1．（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形紙片ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿直線AE翻折，使點(diǎn)B落在上，連接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，則的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．80° D．90°【答案】C【分析】由翻折的性質(zhì)知∠BAE==50°，=AB，再由菱形的性質(zhì)得∠BAD=120°，=AD，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠C=120°，∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，∵將△ABE沿直線AE翻折，使點(diǎn)B落在上，∴∠BAE==50°，=AB，∴=100°，=AD，∴=20°，∴==（180°-20°）÷2=80°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，求出=20°是解題的關(guān)鍵．變式1-2．（2020·湖北黃岡·中考真題）若菱形的周長(zhǎng)為16，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，AH為菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性質(zhì)得到AB＝4，利用正弦的定義得到∠B＝30°，則∠C＝150°，從而得到∠C：∠B的比值．【詳解】解：如圖，AH為菱形ABCD的高，AH＝2，∵菱形的周長(zhǎng)為16，∴AB＝4，在Rt△ABH中，sinB＝＝，∴∠B＝30°，∵AB∥CD，∴∠C＝150°，∴∠C：∠B＝5：1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．也考查了正弦的定義及應(yīng)用．變式1-3．（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的木制活動(dòng)衣帽架是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，根據(jù)實(shí)際需要可以調(diào)節(jié)間的距離，若間的距離調(diào)節(jié)到60，菱形的邊長(zhǎng)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)全等的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】如圖，連接AC四邊形ABCD是菱形如圖所示的木制活動(dòng)衣帽架是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，是等邊三角形故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解題意，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式1-4．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫(huà)完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果．圖②是一個(gè)菱形，將圖②截去一個(gè)邊長(zhǎng)為原來(lái)一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中的度數(shù)是__________．【答案】60【分析】先確定∠BAD的度數(shù)，再利用菱形的對(duì)邊平行，利用平行線的性質(zhì)即可求出∠ABC的度數(shù)．【詳解】如圖，∵∠BAD=∠BAE=∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°，∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°，∵BC∥AD，∴∠ABC=180°-120°=60°，故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與學(xué)生讀題審題的能力，解題關(guān)鍵是理解題意，求出∠BAD的度數(shù)．變式1-5．（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是菱形ABCD的一條對(duì)角線，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，若，則的度數(shù)為_(kāi)________度．【答案】64【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可以求得和，再應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵BD是菱形ABCD的一條對(duì)角線，，∴，，∴，∴．故答案為：64．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．變式1-6．（2020·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，取大于的長(zhǎng)為半徑，分別以點(diǎn)，為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過(guò)此兩點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)（作圖痕跡如圖所示），連接，，則的度數(shù)為_(kāi)________．【答案】45°【分析】根據(jù)題意知虛線為線段AB的垂直平分線，得AE=BE，得；結(jié)合°，，可計(jì)算的度數(shù)．【詳解】∵∴∴故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，及垂直平分線的性質(zhì)，熟知以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．考查題型二利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)典例2．（2022·遼寧盤(pán)錦·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD是菱形，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2，2），（﹣1，﹣），點(diǎn)D在第一象限，且AD∥x軸，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（6，2） B．（8，2） C．（6，） D．（8，）【答案】B【分析】由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得AB的長(zhǎng)，即AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)則與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相等，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】解：∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2，2），（﹣1，﹣），∴AB＝＝6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB=6，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2+6＝8，∵AD∥x軸，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相等，為2，故點(diǎn)D的坐標(biāo)是（8，2）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是能夠熟練求解坐標(biāo)與圖形的結(jié)合問(wèn)題．變式2-1．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形對(duì)角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)菱形的中心對(duì)稱性，A、C坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用橫反縱也反的口訣求解即可．【詳解】∵菱形是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為原點(diǎn)，∴A、C坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴C的坐標(biāo)為，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的中心對(duì)稱性質(zhì)，原點(diǎn)對(duì)稱，熟練掌握菱形的性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．變式2-2．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．【答案】A【分析】取AB中點(diǎn)G點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知E點(diǎn)、G點(diǎn)關(guān)于對(duì)角線AC對(duì)稱，即有PE=PG，則當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF=PG+PF最小，再證明四邊形AGFD是平行四邊形，即可求得FG=AD．【詳解】解：取AB中點(diǎn)G點(diǎn)，連接PG，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，且邊長(zhǎng)為2，∴AD=DC=AB=BC=2，∵E點(diǎn)、G點(diǎn)分別為AD、AB的中點(diǎn)，∴根據(jù)菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)E、點(diǎn)G關(guān)于對(duì)角線AC軸對(duì)稱，∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，即可知當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF=PG+PF最小，且為線段FG，如下圖，G、P、F三點(diǎn)共線，連接FG，∵F點(diǎn)是DC中點(diǎn)，G點(diǎn)為AB中點(diǎn)，∴，∵在菱形ABCD中，，∴，∴四邊形AGFD是平行四邊形，∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值為2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，找到E點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．變式2-3．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為4，E是的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)A作AH垂直BC于點(diǎn)H，延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)P，由題干所給條件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=，即可得到FG的長(zhǎng)；【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AH垂直BC于點(diǎn)H，延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)P，由題意可知，AB=BC=4，E是BC的中點(diǎn)，∴BE=2，又∵，∴BH=1，即H是BE的中點(diǎn)，∴AB=AE=4，又∵AF是∠DAE的角平分線，，∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，又∵，，∴PF=AD=4，設(shè)FG=x，則AG=x，EG=PG=4-x，∵，∴∠AGP=∠AEB=∠B，∴cos∠AGP===，解得x=；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和解直角三角形，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和解直角三角形的方法是解決本題的關(guān)鍵．變式2-4．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】連接AF，則AF的長(zhǎng)就是AM+FM的最小值，證明△ABC是等邊三角形，AF是高線，利用三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：連接AF，則AF的長(zhǎng)就是AM+FM的最小值．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵∴F是BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC．則AF＝AB?sin60°＝2．即的最小值是．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形以及三角函數(shù)，確定AF的長(zhǎng)就是的最小值是關(guān)鍵．變式2-5．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，．若M、N分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，作，垂足分別為E、F，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】連接AC交BD于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)M作MG//BD交AC于點(diǎn)G，則可得四邊形MEOG是矩形，以及，從而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，運(yùn)用勾股定理求出AO的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接AC交BD于點(diǎn)O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=，AD//BC，∴在Rt中，AB=4，BO=，∵，∴過(guò)點(diǎn)M作MG//BD交AC于點(diǎn)G，∴,∴又∴，∴四邊形MEOG是矩形，∴ME=OG，又∴∴在和中，,∴≌∴，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．變式2-6．（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊AB，AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______；當(dāng)點(diǎn)M的位置變化時(shí)，DF長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_______．【答案】

【分析】當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，EF垂直平分AB，利用三角函數(shù)即可求得EF的長(zhǎng)；根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，AF=FM,若DF取最大值，則FM取最小值，即為邊AD與BC的距離DG，即可求解.【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分AB，∴AE=EB=AB=3，在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，tan60°=，∴EF=3；當(dāng)AF長(zhǎng)取得最小值時(shí)，DF長(zhǎng)取得最大值，由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分AM，則AF=FM，∴FM⊥BC時(shí)，F(xiàn)M長(zhǎng)取得最小值，此時(shí)DF長(zhǎng)取得最大值，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)C，則四邊形DGMF為矩形，∴FM=DG，在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，∴DG=DCsin60°=3，∴DF長(zhǎng)的最大值為AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，故答案為：3；6-3．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．變式2-7．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）將正方形和菱形按照如圖所示擺放，頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，菱形的對(duì)角線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)即可得證；（2）連接交于點(diǎn)，勾股定理求得，，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得正方形和菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)度，根據(jù)即可求解．（1）證明：正方形和菱形，，在與中（）（2）如圖，連接交于點(diǎn)，，即AB=4，，在中，，，在中，，，在中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式2-8．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在菱形ABCD中，對(duì)角線AC和BD的長(zhǎng)分別是6和8，以AD為直角邊向菱形外作等腰直角三角形ADE．連接CE．請(qǐng)用尺規(guī)或三角板作出圖形，并直接寫(xiě)出線段CE的長(zhǎng)．【答案】作圖見(jiàn)解析；或【分析】分和兩種情況，利用三角形全等及菱形的性質(zhì)，求出相應(yīng)線段長(zhǎng)度，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）如下圖所示，當(dāng)時(shí)，．作圖方法：利用三角板以AD為直角邊，作，取，作交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．∵在菱形ABCD中，對(duì)角線AC和BD的長(zhǎng)分別是6和8，∴，，，∴，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴．（2）如下圖所示，當(dāng)時(shí)，．作圖方法：利用三角板以AD為直角邊，作，取，作交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．同（1）可證，∴，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴．綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是注意存在和兩種情況，避免漏解．考查題型三利用菱形的性質(zhì)求面積典例3．（2021·西藏·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的兩個(gè)根是菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，則這個(gè)菱形的面積為（

）A．6 B．10 C．12 D．24【答案】C【分析】利用因式分解法求出已知方程的解確定出菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)，進(jìn)而求出菱形面積即可．【詳解】解：方程x2﹣10x＋24＝0，分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，解得：x＝4或x＝6，∴菱形兩對(duì)角線長(zhǎng)為4和6，則這個(gè)菱形的面積為×4×6＝12．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了求解一元二次方程和菱形的面積公式，難度一般．變式3-1．（2021·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接．若菱形的面積為8，則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】連接，相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形中位線定理可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，最后利用三角形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖，連接，相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，四邊形是菱形，且它的面積為8，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，，，，，，，則的面積為，故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式3-2（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點(diǎn)，連接CE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F．若∠DEF＝∠DFE，則這個(gè)菱形的面積為（）A．16 B．6 C．12 D．30【答案】B【分析】連接AC交BD于O，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，證明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，則BD＝6，所以O(shè)B＝OD＝3，接著利用勾股定理計(jì)算出OC，從而得到AC＝，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算它的面積．【詳解】解：連接AC交BD于O，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，∵E為AD邊的中點(diǎn)，∴DE＝2，∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2，∵，∴∠DEF＝∠BCF，∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4，∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOC中，，∴AC＝2OC＝，∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形面積＝ab（a、b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度）．變式3-3．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，分別以點(diǎn)，為圓心，，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交對(duì)角線于點(diǎn)，．若，，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)________．（結(jié)果不取近似值）【答案】【分析】連接BD交AC于點(diǎn)G，證明△ABD是等邊三角形，可得BD＝2，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理求出AC，再由S陰影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案．【詳解】解：連接BD交AC于點(diǎn)G，∵四邊形是菱形，∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，∵，∴△ABD是等邊三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，∴BD＝2，∴BG＝，∴，∴AC＝，∴S陰影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積公式等，在求陰影部分面積時(shí)，能夠?qū)⑶蟛灰?guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵．變式3-4．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線，，分別以點(diǎn)A，B，C，D為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_________．（結(jié)果保留）【答案】【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB的長(zhǎng)和菱形的面積，再根據(jù)扇形的面積公式求出四個(gè)扇形的面積和即可得出答案【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，，，∴AC⊥BD，AO=6，BO=8；∴；∴菱形ABCD的面積=∵四個(gè)扇形的半徑相等，都為，且四邊形的內(nèi)角和為360°，∴四個(gè)扇形的面積=，∴陰影部分的面積=；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積計(jì)算、菱形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．變式3-5．（2021·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）菱形中，對(duì)角線，則菱形的高等于___________．【答案】【分析】過(guò)A作AE⊥BC，垂足為E，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出菱形邊長(zhǎng)，再利用菱形的面積公式得到方程，解之可得AE．【詳解】解：如圖，過(guò)A作AE⊥BC，垂足為E，即AE為菱形ABCD的高，∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，∴OB=BD=12，OA=AC=5，在Rt△ABO中，AB=BC==13，∵S菱形ABCD=，∴，解得：AE=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，能熟記菱形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：菱形的四條邊都相等，菱形的對(duì)角線互相平分且垂直．變式3-6．（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為10，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，連接AE，作且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F．(1)求菱形的面積；(2)求證．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，再根據(jù)題意及特殊角的三角函數(shù)值求出AC和BD的長(zhǎng)度，根據(jù)菱形的面積＝對(duì)角線乘積的一半即可求解．（2）連接EC，設(shè)∠BAE的度數(shù)為x，易得EC=AE，利用三角形的內(nèi)角和定理分別表示出∠EFC和∠ECF的度數(shù)，可得∠EFC=∠ECF，即EC=EF，又因?yàn)镋C=AE，即可得到AE=EF．(1)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，∵∴∵AB=10，∴，∴，∴菱形的面積=(2)證明：如圖，連接EC，設(shè)∠BAE的度數(shù)為x，∵四邊形ABCD為菱形，∴BD是AC的垂直平分線，∴AE=CE，∠AED=∠CED，∠EAC=∠ECA=60°-x，∵∠ABD=30°，∴∠AED=∠CED=30°+x，∴∠DEF=∠AEF-∠AED=120°-（30°+x）=90°-x∵∠BDC=∠ADC=30°∴∠EFC=180°-（∠DEF+∠BDC）=180°-（90°-x+30°）=x+60°，∵∠CED=30°+x，∴∠ECD=180°-（∠CED+∠BDC）=180°-（30°+x+30°）=120°-x，∴∠ECF=180°-∠ECD=180°-（120°-x）=x+60°，∴∠EFC=∠ECF，∴EF=EC，∵AE=CE，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、菱形面積的求解、特殊角的三角函數(shù)值以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3-7．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，在格點(diǎn)上，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．（1）以為邊畫(huà)菱形，使菱形的其余兩個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（畫(huà)出一個(gè)即可）．（2）計(jì)算你所畫(huà)菱形的面積．【答案】（1）答案不唯一，見(jiàn)解析；（2）6或8或10（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)菱形的定義并結(jié)合格點(diǎn)的特征進(jìn)行作圖；（2）利用菱形面積公式求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，菱形ABCD即為所求（2）圖1中AC=2，BD=6∴圖1中菱形面積．圖2中，AC=，BD=∴圖2中菱形面積．圖3中，∴圖3菱形面積．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，掌握菱形的概念準(zhǔn)確作圖是關(guān)鍵．考查題型四添加一個(gè)條件證明四邊形是菱形典例4．（2022·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【答案】D【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．變式4-1．（2021·山東德州·中考真題）如圖，下列條件中能使成為菱形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)菱形的判定定理可得．【詳解】解：A、AB=CD不能判定?ABCD是菱形，故不符合題意；B、AC=BD只能判定?ABCD是矩形，故不符合題意；C、∠BAD=90°只能判定?ABCD是矩形，故不符合題意；D、AB=BC能判定?ABCD是菱形，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的判定，熟練地掌握菱形的判定定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式4-2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是______________．（只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可）【答案】AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等（只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可）【分析】由菱形的判定方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：可以添加的條件是：AB＝CD，理由如下：∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；也可以添加條件是：，理由如下：∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；也可以添加的條件是OA=OC，理由如下：∵，∴，，∴（AAS），∴AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；也可以添加的條件是OB=OD，理由如下：∵，∴，，∴（AAS），∴AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．故答案為：AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等．（只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可）【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定，熟記“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形”，是解題的關(guān)鍵．變式4-3．（2021·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形是平行四邊形，從①，②，③中選擇一個(gè)作為條件，補(bǔ)充后使四邊形成為菱形，則其選擇是___（限填序號(hào)）．【答案】①【分析】根據(jù)菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：①時(shí)，平行四邊形是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；②時(shí)，平行四邊形是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）；③由平行四邊形的性質(zhì)可知，，則不能作為構(gòu)成菱形的條件；故答案為：①．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．30．（2022·浙江舟山·中考真題）小惠自編一題：“如圖，在四邊形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，，，求證：四邊形是菱形”，并將自己的證明過(guò)程與同學(xué)小潔交流．若贊同小惠的證法，請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說(shuō)法，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．【答案】贊成小潔的說(shuō)法，補(bǔ)充，見(jiàn)解析【分析】贊成小潔的說(shuō)法，補(bǔ)充：，由四邊相等的四邊形是菱形即可判斷．【詳解】贊成小潔的說(shuō)法，補(bǔ)充：．證明：，，，．又∵．∴，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．變式4-4．（2022·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在的邊，上，，連接，．請(qǐng)從以下三個(gè)條件：①；②；③中，選擇一個(gè)合適的作為已知條件，使為菱形．(1)你添加的條件是______（填序號(hào)）；(2)添加了條件后，請(qǐng)證明為菱形．【答案】(1)①(2)見(jiàn)解析【分析】（1）添加合適的條件即可；（2）證，得，再由菱形的判定即可得出結(jié)論．(1)解：添加的條件是．故答案為：①．(2)證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，在和中，，∴，∴，∴為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．考查題型五菱形的證明典例5．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，CD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，BC的平行線，交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長(zhǎng)是_______．【答案】16【分析】連接EF交CD于O，先證明四邊形CFDE為菱形，從而求出CO的長(zhǎng)度，然后根據(jù)余弦定義求出CE即可得出答案．【詳解】解：連接EF交CD于O，如圖：∵DEAC，DFBC，∴四邊形CEDF是平行四邊形，∵CD是△ABC的角平分線，∴∠FCD＝∠ECD，∵DEAC，∴∠FCD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，∴四邊形CEDF是菱形，∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝，在Rt△COE中，CE＝＝＝4，∴四邊形CEDF的周長(zhǎng)是4CE＝4×4＝16，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，余弦的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是判斷出四邊形CEDF為菱形．變式5-1．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，連接CE．(1)求證：四邊形AECD為菱形；(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)△ABC的面積為【分析】（1）由題意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，則有四邊形AECD是平行四邊形，然后問(wèn)題可求證；（2）由（1）及題意易得，則有△BCE是等邊三角形，然后可得△ACB是直角三角形，則，進(jìn)而問(wèn)題可求解．（1）證明：∵ABCD，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∵AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，∴，∵，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵DA=DC，∴四邊形AECD是菱形；（2）解：由（1）知：，∵∠D＝120°，∴，∵E為AB中點(diǎn)，∴，∴△BCE是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)及含30°直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式5-2．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，且．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)、、分別在線段、、上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先根據(jù)四邊形為平行四邊形的性質(zhì)和證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)，即可得證；（2）先根據(jù)菱形對(duì)稱性得，得到，進(jìn)一步說(shuō)明的最小值即為菱形的高，再利用三角函數(shù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，又∵點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，∴，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴四邊形為菱形．（2）解：如圖，由菱形對(duì)稱性得，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，∴，當(dāng)、、共線時(shí)，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，∵，∴的最小值即為平行線間的距離的長(zhǎng)，∵是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴在中，，，，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了最值問(wèn)題，考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法．將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求菱形的高是解答本題的關(guān)鍵．變式5-3．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt中，，．點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E.延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連接、、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，則的值為_(kāi)______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可得證；（2）設(shè)，則，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，勾股定理求得，根據(jù)，，即可求解．【詳解】（1）證明：，，∴四邊形是平行四邊形，∵，四邊形是菱形；（2）解：，設(shè)，則，四邊形是菱形；，，，在中，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求正切，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式5-4．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）【閱讀材料】老師的問(wèn)題：已知：如圖，．求作：菱形，使點(diǎn)C，D分別在上．小明的作法：（1）以A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)D；（2）以B為圓心，長(zhǎng)為半經(jīng)畫(huà)弧，交于點(diǎn)C；（3）連接．四邊形就是所求作的菱形，【解答問(wèn)題】請(qǐng)根據(jù)材料中的信息，證明四邊形是菱形．【答案】見(jiàn)解析【分析】由作圖可知AD＝AB＝BC，然后根據(jù)可得四邊形ABCD是平行四邊形，再由AD＝AB可得結(jié)論．【詳解】解：由作圖可知AD＝AB＝BC，∵，即，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AD＝AB，∴平行四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作線段，平行四邊形的判定，菱形的判定，熟練掌握相關(guān)判定定理是解題的關(guān)鍵．變式5-5．（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且，連接BF．FD，DE，EB．求證：四邊形DEBF是菱形．【答案】見(jiàn)解析【分析】先證明四邊形DEBF是平行四邊形，再結(jié)合可得結(jié)論．【詳解】連接BD，交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是茥形，∴，，，又∵，∴，即，∴四邊形DEBF是平行四邊形．又∵，即，∴四邊形DEBF是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明四邊形是菱形，證明四邊形DEBF是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．變式5-6．（2021·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知在⊙O中，，OC與AD相交于點(diǎn)E．求證：（1）AD∥BC（2）四邊形BCDE為菱形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）連接BD，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=∠CBD，根據(jù)平行線的判定可得結(jié)論；（2）證明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)得到BC=CD，從而證明菱形．【詳解】解：（1）連接BD，∵，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；（2）連接CD，∵AD∥BC，∴∠EDF=∠CBF，∵，∴BC=CD，∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，∴△DEF≌△BCF（ASA），∴DE=BC，∴四邊形BCDE是平行四邊形，又BC=CD，∴四邊形BCDE是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用垂徑定理得到BF=DF．變式5-7．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，且．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）先利用角平分線判定定理證得，再由已知角的等量關(guān)系推出，并可得，則可證明四邊形是平行四邊形，最后由得，即可證得結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的等量關(guān)系求出，則可利用三角函數(shù)求得，此題得解．【詳解】（1）證明：如圖，∵，∴，又∵，且，∴為的角平分線，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是菱形．（2）解：由（1）得四邊形是菱形，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，