畫法幾何講義2-2

常見的基本立體平面立體曲面立體立體的投影第一頁1第二頁，共63頁。平面立體側(cè)表面的交線稱為棱線若平面立體所有棱線互相平行，稱為棱柱。若平面立體所有棱線交于一點，稱為棱錐。棱柱棱錐平面立體：由若干平面所圍成的幾何體，如棱柱、棱錐等。第二頁2第三頁，共63頁。4.6.1平面立體的投影平面立體的投影是平面立體各表面投影的集合---由直線段組成的封閉圖形第三頁3第四頁，共63頁。點的可見性規(guī)定：若點所在的平面的投影可見，點的投影也可見；若平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。1棱柱的投影⑵棱柱的三視圖⑶棱柱面上取點

a

a

a

(b

)

b⑴棱柱的組成

b

由兩個底面和幾個側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。第四頁4第五頁，共63頁。在圖示位置時，六棱柱的兩底面為水平面，在俯視圖中反映實形。前后兩側(cè)棱面是正平面，其余四個側(cè)棱面是鉛垂面，它們的水平投影都積聚成直線，與六邊形的邊重合。由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取點與在平面上取點的方法相同。

a

a

a

(b

)

b

b

第五頁5第六頁，共63頁。［例１］已知斜三棱柱，試完成其Ｖ、Ｈ投影。第六頁6第七頁，共63頁。［例２］已知四棱柱，試完成其Ｖ、Ｈ投影第七頁7第八頁，共63頁。平面立體投影的可見性判別規(guī)律：

1)在平面立體的每一投影中，其外形輪廓線都是可見的。2)在平面立體的每一投影中，外形輪廓線內(nèi)的直線的可見性，相交時可利用交叉兩直線的重影點來判別。3)在平面立體的每一投影中，外形輪廓線內(nèi)，若多條棱線交于一點，且交點可見，則這些棱線均可見，否則均不可見。4)在平面立體的每一投影中，外形輪廓線內(nèi)，兩可見表面相交，其交線為可見。兩不可見表面的交線為不可見。第八頁8第九頁，共63頁。()

s

s

⑵棱錐的三視圖⑶在棱錐面上取點

k

k

k

b

a

c

abc

a

(c

)b

s

n

n

⑴棱錐的組成

n

由一個底面和幾個側(cè)棱面組成。側(cè)棱線交于有限遠(yuǎn)的一點——錐頂。同樣采用平面上取點法。棱錐處于圖示位置時，其底面ABC是水平面，在俯視圖上反映實形。側(cè)棱面SAC為側(cè)垂面，另兩個側(cè)棱面為一般位置平面。2棱錐的投影第九頁9第十頁，共63頁。［例３］已知斜三棱錐，試完成其Ｖ、Ｈ投影第十頁10第十一頁，共63頁。［例４］已知正三棱錐，試完成其Ｖ、Ｈ、Ｗ投影第十一頁11第十二頁，共63頁。［例５］試求三棱錐ＳＡＢＣ所屬點Ｋ（ｋ′已知）的水平投影3立體表面上的點、線

第十二頁12第十三頁，共63頁。4平面與立體相交第十三頁13第十四頁，共63頁。1）截交線是截平面與立體表面的共有線。2）截交線的形狀取決于立體表面的形狀及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置。3）截交線都是封閉的平面圖形。截交線的基本性質(zhì)：第十四頁14第十五頁，共63頁。平面截切體的畫圖⒈求截交線的兩種方法：求各棱線與截平面的交點→線面交點法。求各棱面與截平面的交線→面面交線法。⒉求截交線的步驟：截平面與體的相對位置截平面與投影面的相對位置空間及投影分析畫出截交線的投影分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。第十五頁15第十六頁，共63頁。［例１］斜三棱柱與ＬＭＮ平面相交，求出截交線的投影應(yīng)用輔助平面的方法來解決，通過棱線aa1,bb1,cc1各作一個正垂面，分別得到與mnl的交線。第十六頁16第十七頁，共63頁。［例２］試完成五棱柱被兩平面Ｐ、Ｑ截切后的投影第十七頁17第十八頁，共63頁。第十八頁18第十九頁，共63頁。［例３］求正垂面λ與三棱錐的截交線，并求出截交線的實形第十九頁19第二十頁，共63頁。［例４］試完成正四棱錐被兩平面截切后的投影第二十頁20第二十一頁，共63頁。4.6.2回轉(zhuǎn)體的投影一、常見的回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體——一動線繞一定直線旋轉(zhuǎn)而成的曲面，稱為回轉(zhuǎn)面。由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面與平面所圍成的立體稱為回轉(zhuǎn)體。第二十一頁21第二十二頁，共63頁。二、圓柱體的投影母線回轉(zhuǎn)軸水平投影為一圓，反映頂、底圓的實形，圓柱面上所有素線都積聚在該圓周上。ABDC第二十二頁22第二十三頁，共63頁。n"m'(n')圓柱體表面上的點：mn已知：正面投影上的n'、m'的投影，求其它兩面的投影。分析：m'為可見，在前半圓柱面上，n'為不可見，在后半圓柱面上。其水平投影積聚在圓周上，先求出m、n，再求m"、n"。(m")第二十三頁23第二十四頁，共63頁。例：已知圓柱體表面上M、N兩點的正面投影m'、(n')，求其它兩面投影。因為m'為可見，在前半圓柱面上；n'為不可見，在后半圓柱面上。兩點的側(cè)面投影積聚在圓周上。作圖：過m'作水平線交右半圓周于m"，過（n'）作水平線交左半圓周于n"，再由m'和m"，（n'）和n"求出（m）、nm'(n')m"（m）n"n第二十四頁24第二十五頁，共63頁。三、圓錐體的投影

圓錐體是由圓錐面和底面所圍成的立體。圓錐面是一直母線繞與它相交的回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的。回轉(zhuǎn)軸母線第二十五頁25第二十六頁，共63頁。圓錐體表面上的點例：已知圓錐體表面上一點K的正面投影k'，求另兩個投影。解1、輔助素線法：過錐頂S和已知點K作直線S1，連s'k'與底邊交于1'，然后求出該素線的H面和W面投影s1和s"1"，最后由k'求出k和k"。s"s'sk'1'11"kk"第二十六頁26第二十七頁，共63頁。s"s'sk'k"k1'2'解2、輔助圓法：過已知點K作緯圓，該圓垂直于軸線，過k'作緯圓的正面投1'2'，然后作出水平投影k在此圓周上，由k'求出k，最后求出k"。第二十七頁27第二十八頁，共63頁。四、球體的投影球是圓母線繞其直徑回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的。球的三面投影均為圓，且與球的直徑相等。第二十八頁28第二十九頁，共63頁。例：已知A、B兩點在球面上，并知a和b的投影，求A、B其余兩點的其它投影。解：利用輔助緯圓作圖。作圖：過a作直線∥OX得水平投影12，正面投影為直徑為12的圓，a'必在此圓周上。因a可見，位于上半球，求得a'，由a、a'求出a"，因a在右半球，所以a"不可見。a'(a")因為b處于正面投影外形線上，可由b'直接求得b、b"。(b)b"ab'12第二十九頁29第三十頁，共63頁。小結(jié)基本體的三視圖畫法及面上找點的方法1、平面體表面找點，利用平面上找點的方法。3、圓錐體表面找點，用輔助線法和輔助圓法。2、圓柱體表面找點，利用投影的積聚性。4、圓球體表面找點，用輔助緯圓法。第三十頁30第三十一頁，共63頁。4.7平面與回轉(zhuǎn)體相交回轉(zhuǎn)體截切的基本形式4.7.1截交線的性質(zhì)：截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及

截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置。截交線都是封閉的平面圖形。第三十一頁31第三十二頁，共63頁。1利用積聚性求截交線

第三十二頁32第三十三頁，共63頁。［例１］試求平面λ與圓柱的截交線第三十三頁33第三十四頁，共63頁。截平面與圓柱軸線的傾角為θ，其交線的W投影為橢圓，橢圓的長、短軸隨θ的變化而變化

第三十四頁34第三十五頁，共63頁。［例２］圓柱上部有一切口，若已知其Ｖ投影，試求Ｈ、Ｗ投影第三十五頁35第三十六頁，共63頁。2用輔助平面法求截交線

輔助平面法求截交線的實質(zhì)是求三面共點

選擇輔助平面的原則

根據(jù)回轉(zhuǎn)體的形狀和相對于投影面的位置，選取合適的輔助面，使其與回轉(zhuǎn)體表面交線的投影為簡單易畫的直線或圓，使作圖簡便、準(zhǔn)確

第三十六頁36第三十七頁，共63頁。平面與圓錐體表面相交，可以得到五種截交線

第三十七頁37第三十八頁，共63頁。平面與圓球相交，其截交線總是一個圓。由于截平面相對于投影面的位置不同，截交線的投影可能是圓、橢圓或直線。

第三十八頁38第三十九頁，共63頁。［例３］求平面λ與圓錐的截交線第三十九頁39第四十頁，共63頁。［例４］求截平面λ和圓錐的截交線第四十頁40第四十一頁，共63頁。［例５］求平面λ與圓球的截交線第四十一頁41第四十二頁，共63頁。［例６］求半圓球切槽后的Ｈ、Ｗ投影第四十二頁42第四十三頁，共63頁。4.7.2立體表面相貫線的投影

第四十三頁43第四十四頁，共63頁。一、本節(jié)的基本內(nèi)容⒈立體表面相貫線的概念⒉求相貫線的基本方法相貫線的性質(zhì)：表面性共有性封閉性二、解題過程⒈交線分析⑴空間分析：⑵投影分析：是否有積聚性投影？找出相貫線的已知投影，預(yù)見未知投影，從而選擇解題方法。面上找點法輔助平面法分析相交兩立體的表面形狀，形體大小及相對位置，預(yù)見交線的形狀。第四十四頁44第四十五頁，共63頁。特殊點包括：最上點、最下點、最左點、最右點、最前點、最后點、輪廓線上的點等。⒉作圖：⑴找點⑵連線⑶檢查、加深尤其注意檢查回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。當(dāng)相貫線的投影為非圓曲線時，其作圖步驟為：☆先找特殊點☆補(bǔ)充若干中間點第四十五頁45第四十六頁，共63頁。三、平面體與圓柱體相貫1、求相貫線的方法：2、

相貫線的形狀及投影：求平面體的棱面與圓柱面的截交線，依次連接起來。相貫線為封閉的空間折線。相貫線在非積聚性投影上總是向被穿的圓柱體里面彎折，而且在兩體相交區(qū)域內(nèi)不應(yīng)有圓柱體輪廓線的投影。第四十六頁46第四十七頁，共63頁。四、兩圓柱體相貫⒈

相貫線的產(chǎn)生：2）外表面與內(nèi)表面相交1）兩外表面相交3）兩內(nèi)表面相交第四十七頁47第四十八頁，共63頁。⒉求相貫線的方法：⒊相貫線的形狀及投影：常用的方法是利用積聚性表面取點，也可用輔助平面法。相貫線為光滑封閉的空間曲線。當(dāng)兩圓柱正交，小圓柱穿大圓柱時，相貫線在非積聚性投影上總是向大圓柱里彎曲，當(dāng)兩圓柱直徑相等時，相貫線在空間為兩個橢圓，其投影變?yōu)橹本€。在兩體相交區(qū)域內(nèi)不應(yīng)有圓柱體輪廓線的投影。第四十八頁48第四十九頁，共63頁。五、多體相貫每個局部都是兩體相貫，首先分析它是由哪些基本體組成的，然后兩兩進(jìn)行相貫線的分析與作圖。第四十九頁49第五十頁，共63頁。4.7.2利用積聚性求相貫線

［例１］試求兩圓柱的相貫線

相貫線為光滑封閉的空間曲線。當(dāng)兩圓柱正交，小圓柱穿大圓柱時，相貫線在非積聚性投影上總是向大圓柱里彎曲，當(dāng)兩圓柱直徑相等時，相貫線在空間為兩個橢圓，其投影變?yōu)橹本€。在兩體相交區(qū)域內(nèi)不應(yīng)有圓柱體輪廓線的投影。第五十頁50第五十一頁，共63頁。第五十一頁51第五十二頁，共63頁。［例2］試求兩圓柱的相貫線

第五十二頁52第五十三頁，共63頁。［例１］求圓柱與圓錐的相貫線

2用輔助平面法求相貫線第五十三頁53第五十四頁，共63頁。［例2］求斜圓柱與水平圓柱的相貫線

第五十四頁54第五十五頁，共63頁。［例3］試求圓柱與球的相貫線

第五十五頁55第五十六頁，共63頁。３相貫線的特殊情況

1．蒙日定理

第五十六頁56第