2021高中數(shù)學人教A版選修2-1（第三章+空間向量與立體幾何）章節(jié)練習試題（含詳細解析）

2021年09月30日試卷

一、單選題（共25題；共0分）

1、（0分）如圖，已知二面角a-PQ-￡的大小為60。，點C為棱尸。上一點，4W

￡,AC=2,Z/CP=30°,則點/到平面a的距離為（）

V33

B一C.D.

A.22

2、（0分）在正三棱柱1cl中，若AB=2,則點A到平面418c的距離為

）

A.在B.C.3V3

424D.V3

3、（0分）正方體ABCD-A1BiC1D1中，BB1與平面ACD1所成的角的余弦值為（)

V3

A.立B.cD.

33-I

4、（0分）已知m、n、1是三條不同的直線，仇、/?、y是三個不同的平面，給出以下命

題：

①若mc.a,n\\a,則m||n；②若mua,nu°,aLS，aC0=l,mLI,貝!]zn1n；③

若n||zn,mca則n||a；④若ally,011y,則a||/?

其中正確命題的序號是（)

A.②④B.②③C.③④D.①③

5、（0分）下列各組向量不平行的是（)

A.a—(1,0,0),b=(—3,0,0)B.Q=(o,l,o),b=(1,0,1)

c.a=(0,l,-l),b=(0,-l,l)D.a=(1,0,0),h=(0,0,0)

6、（0分）若平面。，B的法向量分別為n1=(2,一3,5),ri2=(_3,1,-4),則().

A.a〃BB.a_LB

C.a,B相交但不垂直D.以上均不正確

7、（0分）如圖，半徑為次的扇形40B的圓心角為120。，點C在ZB上，且/COB=30°,若流；=

WA+fiOB,則2+“=()

A,

B

B.在「4V3

L.------

A.V333D.2V3

8、（0分）已知a=（cos0,1,sin0),b=(sin0,1,cos0)，則向量a+b與a-b的

夾角是（）.

A.0°B.30°C,60°D.90°

9、（0分）正方體ABCD—4BiGDi中，點P在aC上運動（包括端點），則BP與所成角的

取值范圍是（）

A?哈

10、（0分）點P是棱長為1的正方體4BC0-4避￡。1的底面ABCD上一點，則PA-

PZI的取值范圍是（）

D.

C.[-1,0]

11、（0分）在正三棱柱4BC-AiBiG中若AB=2,=1則點A到平面&BC的距離為

（）

A.西B.當

4D.V3

12、（0分）已知平面向量a、b,a|=1,|b|=V3,且I2a+b|=V7,則向量a與

向量a+b的夾角為（）

A.-B.nc.-

236D.五

13、（0分）設(shè)a、夕是兩個不同的平面，/是一條直線，以下命題:

①若Ila,al/?,則Iu0；②若IIIa,a||0則，U伙③若Ila,a

/?，則11/?;④若I\\a,al/?,貝|JI18。

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.0

14、（0分）如圖所示，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1,0是平面A'B'C'D'的中心，則0

C.涯D.3

A.；NB.—422

15、（0分）空間直角坐標系中，點（一2,1,9）關(guān)于x軸對稱的點的坐標是（）

A.(-2,1,9)B.(—2,—1,-9)

C.(2,-1,9)D.(2,1,-9)

16、（0分）（2015秋?葫蘆島期末）點A在z軸上，它到點（2圾，爬，1）的距離是

Jjg,則點A的坐標是（）

A.（0,0,-1）B.（0,1,1）

C.（0,0,1）D.（0,0,13）

17、（0分）設(shè)％=酶!-/需，缸嚏=；嗣*編-曝蚪；=-顫!昔J-崛隰=據(jù)開編開蝙，（其中

外或段是兩兩垂直的單位向量），若曝=暴.帶，舞%弗，則實數(shù)鼠群&皆的值分別是（）

A.B.一和

c.-wD.7翦獸

18、（0分）在空間直角坐標系中，點M的坐標是荊翔梅，則點M關(guān)于y軸的對稱點坐標為

（）

A.（4,0,6）B.（-4,7,-6）

C.（-4,0,-6）D.（-4,7.0）

19、（0分）在空間直角坐標系中，4（4,1,9）,8（10,-1,6）,<7（2,4,3）,則/4BC為（）

A.等邊三角形B.等腰直角三角形

C.鈍角三角形D.銳角三角形

20、(0分)在空間直角坐標系中，定義：平面a的一般方程為：Ax+By+Cz+D=0(A,

B,C,DGR,且A,B,C不同時為零)，點玳運，吃)到平面a的距離為：

dj+By?+Cz^+Dj

+京七一，則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心0到側(cè)面的

距離等于()

A.~B.5

C-2D-5

21、(0分)設(shè)一球的球心為空間直角坐標系的原點。，球面上有兩個點4B,其坐標分別為

(1,2,2),(2,-2,1).則|4B|=()

A.18B.12C.3V2D.2次

22、(0分)設(shè)點.薪蔚北隨是直角坐標系陟-醐5中一點，則點豳?關(guān)于春軸對稱的點的坐標為

()

A.B.

C-N-X-lIllD.(-2-1,-3|

23、(0分)在平行六面體4BCD—AB'C'D'中，若42=xG+2y/1+3zC0,則x+y+z等于

A.-B.-C.-D.-

3666

24、(0分)在空間直角坐標系中，點P(l,2,3)關(guān)于平面xoz對稱的點的坐標是

A.(1,-2,3)B.(-1,2,-3)

C.(―1,—2,3)D.(1,—2,—3)

25、(0分)己知點4(0,1),8(3,2),向量品1=(一4,一3),則命=()

A.(7,4)B.(-7,-4)C.(1,4)D.(-1,4)

二、填空題（共10題；共0分）

26、（0分）若向量a=（1,X,2）,b=（2,-1,2）,且a±b,則A等于

______________.27、（0分）與a=（2,—1,2）共線且滿足a?b=-9的向量b=___________。

28、（0分）【2018屆廣東省六校（廣州二中，深圳實驗，珠海一中，中山紀念，東莞中

學，惠州一中）高三下學期第三次聯(lián)考】如圖，在同一個平面內(nèi)，三個單位向量后,后,左

滿足條件：￡1與A的夾角為a,且tana=7,而與流:與的夾角為45。.若后=加京+

nOB（m,nG/?）,則m+n的值為（）

29、(0分)四棱錐P—力BCD中，PAABCD,ABAD=90",PA=AB=BC=^AD=1,

BC//AD,已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點，且二面角Q-PD-4的平面角大小為弓，若動點Q

的軌跡將ABCD分成面積為Si，S2（Si<S2）的兩部分，則Si：S2=.

30、（0分）二面角a-1-p的平面角為120°,在面a內(nèi)，ABL1于B,AB=2在平面B

內(nèi)，CDL1于D,CD=3,BD=1,M是棱1上的一個動點，則AM+CM的最小值為

______________31、（0分）已知A、B、C三點不共線，若點M與A、B、C四點共面，對

平面ABC外一點0,給出下列表達式：OM=xOA+yOB+OC,其中x,y是實數(shù)，則

x+y=

32、（0分）在空間直角坐標系中，點（-2,1,4）關(guān)于y軸的對稱點的坐標為________.

33、（0分）若4（4,-7,1）,B（6,2,z）,\AB\=11,則2=_____.

34、（0分）已知在空間四邊形。4BC中，6c1=且>=3點M在04上，且。M=3M4N

為BC中點，用覆b,展表示MN,則MN等于.

35、(0分).已知A(l,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),點Q在直線0P上運動，

當勰?西取最小值時，點Q的坐標是_.

三、解答題（共5題；共0分）

36、(0分)已知三棱錐P-ABC(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中，四邊形4BCD為邊長

為夜的正方形，Z\ABE和ABCF均為正三角形，在三棱錐P-ABC中：

(I)證明：平面P/4C1平面ZBC;

(11)求二面角4一「。一8的余弦值；

(HI)若點M在棱PC上，滿足寰=3u芻J，點N在棱BP上，且BMJ.AN,求警的取值范

PM33BP

圍.

37、(0分)如圖，四棱柱ABC。-AiBiQA的底面4BCD是菱形，ACnBD=0,4。1底

面ABCD,4速'=/a=鼠

A

(I)證明：平面4也。_1■平面BBRD；

(H)若^BAD=60°,求二面角B-OBi-C的余弦值.

38、(0分)如圖，已知A)BiC「ABC是正三棱柱，D是AC中點.

(1)證明ABi〃平面DBCi；

(2)假設(shè)AB1±BCi,BC=2,求線段ABi在側(cè)面BiBCCi上的射影長.

31

39、(0分)如圖所示，在長、寬、高分別為翦=呈，.=鷲，用=胃的長方體

士期:-聞高勰離!的八個頂點的兩點為始點和終點的向量中：

(1)單位向量共有多少個？

(2)試寫出模為布的所有向量；

(3)試寫出與蒸:相等的所有向量;

(4)試寫出屬('的相反向量.

40、（0分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PAJ.底面ABCD,AB〃DC,DAJ.AB,AB=AP=2,

DA=DC=1,E為PC上一點，且PE=|PC.

(I)求PE的長；

(II)求證：AE_L平面PBC；

(III)求二面角B-AE-D的度數(shù).

試卷答案

I.【答案】c

【解析】【解答】過A作AOJLa于0,點A到平面a的距離為A0；作ADJ_PQ于D,連

接0D,則AD_LCD,A0±OD,NADO就是二面角a-PQ-0的大小為60°.VAC=2,

ZACP=30°，所以AD=ACsin30°=2X#fId4d6bc-3997-47af-bd4d-a7884268585d#=l,在

A

本題考查空間幾何體中點、線、面的關(guān)系，正確作出所求距離是解題的關(guān)鍵，考查計算能

力與空間想象能力。

2.【答案】B

【解析】【解答】設(shè)點A到平面A1BC的距離為h,則三棱錐辭做一座鐘的體積為

二h=翦,選B..

求點到平面的距離，可以轉(zhuǎn)化為三棱錐底面上的高，用體積相等法，容易求得.“等積

法”是常用的求點到平面的距離的方法.

3.【答案】D

【解析】【解答】正方體上下底面中心的連線平行于BB?,上下底面中心的連線平面

ACD?所成角即為線面角，直角三角形中求出此角的余弦值.如圖，設(shè)上下底面的中心分

別為01,0；

010與平面ACD?所成角就是BB?與平面ACDi所成角，貝U可知cosN。】。。1=煦=三=

鳥故選D.

本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點到平面的距離的求法，利用等體

積轉(zhuǎn)化求出D到平面ACD1的距離是解決本題的關(guān)鍵所在，這也是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)

4.【答案】A

【解析】【解答】①中直線還可能異面；③中需指明直線n不在平面內(nèi)。

本題以命題真假的判斷為載體，考查了空間中線線與線面平行的判斷和空間點、線、面位

置關(guān)系的判斷等知識點，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】【解答】選項A,由于因此是平行向量。

選項B中，由于對應(yīng)的坐標不成比例，故不是平行向量.

選項C中，由于因此是平行向量。

選項D中，由于不滿足系數(shù)比成比例，因此不是平行向量，故選B.

理解向量的平行，即為其坐標的三個值對應(yīng)成比例即可，因此屬于基礎(chǔ)題。

6.【答案】C

【解析】因為m?血=2X(-3)+(-3)X1+5X(-4)=-29力0,所以m與n?不垂直，又ni,n2

不共線，所以a與B相交但不垂直.故選C.

7.【答案】A

【解析】

如圖所示，建立直角坐標系，:NBOC=30。,OC=b,二C(國cos30°,V5sin30。)，即C(|,?)戶

乙BOA=120。,；./l(V3cosl20",V3sinl200),即4(-今|),又

3__遺入+/g(4—更

2一假3解得'-k

{~==丁

???A+p=V3,故選A.

【方法點睛】本題主要考查向量的坐標運算、相等向量以及平面向量基本定理，屬于難

題.向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，

運算法則是：（1）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；

（2）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標運算：建立

坐標系轉(zhuǎn)化為解析幾何或者三角函數(shù)問題解答

8.【答案】D

【解析】因為a+b=(cos。+sin。，2,sin。+cos。)，a-b=(cos。-sin0,0,sin

0-cos0).

所以(a+b)?(a-b)=(cos0+sin0)(cos9-sin0)+2X0+(sin8+cos6)(sin

cos0)=cos20-sin20+sin29-cos2。=0.

所以(a+b)_L(a-b),即向量a+b與a-b的夾角是90°.故選D.

9.［答案】D

【解析】以點D為原點，DA、DC、DDi分別為％、y、z建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱

長為1,設(shè)點P坐標為(居1一居》),則加=(%-1,一居初后1=(一1。1)設(shè)而、BA的夾角為

—?-?

a,所以cosa=￥心芻=_廠=1—,所以當％=：時，cosa取最大值=

J@T)2+2%2X&

\BP\\BC1\和宇1鎮(zhèn)32

7o當％=1時，cosa取最小值：,a=，因為BCJ/4D1。故選D。

623

【點睛】因為BCJ/ADi，所以求BCi、BP夾角的取值范圍。建立坐標系，用空間向量求夾

角余弦，再求最大、最小值。

10.【答案】D

【解析】

以點。為原點，以ZM所在的直線為％軸，以DC所在的直線為y軸，以。劣所在的直線為z軸，

建立空間直角坐標系，可得點4(1,0,0),G(0,1,1),設(shè)點P的坐標為(x,y,z),則0WxWl,0WyW

—>T—>—>

l,z=1,:?PA=(1-%,—y,-1),PC1=(一居1—y,0),???PA?PC1=-x(l-x)—y(l—y)4-0=%2-

X+y2_y=由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當％=丫=/，易孑2取得最大

值為-5當x=0或1時，且當y=0或1時，易.乙取得最大值為0,由此易.2的取值范圍

是［心，。］,故選D.

11.【答案】B

赭聞-短料的體積為FI

【解析】【解答】設(shè)點,圓到平面&翻a的距離為h,則三棱錐啟cj

上瞬播,即嚴如."怒h(huán)=/鄧才所以故選

B。

本題求點到平面的距離，可以轉(zhuǎn)化為三棱錐底面上的高，用體積相等法，容易求得.“等

積法”

是常用的求點到平面的距離的方法.

12.【答案】B

【解析】【解答］”，；阿喇中/=號二q=領(lǐng)：?,結(jié)合平行四邊形法

則可知是以為臨邊的矩形的對角線向量，所以所求夾角窗滿足

B毋戰(zhàn)

設(shè)|夾角為融，，則要求兩向量的夾角需求出兩向量的模及數(shù)量

積，而后代入公式即可

13.【答案】B

【解析】【解答】對于命題①，若曰1?偏磨1.好，則，瀚楓或小二好,命題①錯誤;

對于命題②，若則於二耕或調(diào)熟，命題②錯誤；對于命題③，若

i?JL金齦蒲勰，則S1./?,命題③正確；對于命題④，若滯&維糜」撰，則

修1.加，命題④正確，故選B.

14.【答案】B

【解析】【解答】連接.6|于密;|二/您一一/蜉瞥/靜…「平面

.賴一|平面土?螂，點融到平面1J豳^的距離為因為

為感宵的中點，所以。到平面ABCf&|的距離是

本題中把握住點0是平面斜線段/!鴛'的中點，從而將0到面的距離轉(zhuǎn)化為副到面的距

離，做出其垂線段求長度即可；本題還可采用空間向量法計算

15.【答案】B

【解析】【解答】在空間直角坐標系中某一點關(guān)于x軸的對稱點x坐標不變，所以點（一

2,1,9）關(guān)于x軸的對稱點（一2,—1,一9）故選B.

在空間直角坐標系中，點關(guān)于x軸的對稱點x坐標不變，其余坐標互為相反數(shù)，點關(guān)于y

軸的對稱點y坐標不變，其余坐標互為相反數(shù)，點關(guān)于z軸的對稱點z坐標不變，其余坐

標互為相反數(shù)，

16.【答案】C

【解析】試題分析：設(shè)A（0,0,z）,由題意和距離公式可得z的方程，解方程可得.

解：由點A在z軸上設(shè)A（0,0,z）,

,:卜到點（2加，娓，1）的距離是JW，

（2圾-0）2+（75-0）2+（z-1）2=13,

解得z=l,故A的坐標為（0,0,1），

故選：C.

考點：空間兩點間的距離公式.

17.【答案】B

【解析】試題分析：由題：

阿=您期旗—飄外.糠4網(wǎng)燙不翼嫄一郅康-號颯普甫一駕菠=怪糜外輯『年卷號，因此

;雪圓.尋耀一普?=詈"M

■■■-鼠fl?翼就*游=暑=±履=工

!多—&卿—,=堂!“=t,故選B

考點：向量的計算

18.【答案】B

【解析】試題分析：點M關(guān)于y軸的對稱點坐標y坐標不變，x,z坐標互為相反數(shù)，所以

對稱點為G兔德顏

考點：空間點的坐標

19.【答案】B

【解析】試題分析：因為=(10-4)2+(-1-I)2+(6-9)2=49,AC2=(2-4)2+

(4-+(3-9產(chǎn)=49,BC2=(2-10)2+(4+1)2+(3-6產(chǎn)=98,ffjAB2+AC2=BC2,所以

4aBe為等腰直角三角形，故選B.

考點：空間距離公式.

20.【答案】B

【解析】以底面中心0為原點建立空間直角坐標系。一號Z,則A(l,1,0),B(-1,1,

0),P(0,0,2),設(shè)平面PAB的方程為Ax+By+Cz+D=0,將以上3個坐標代入計算得A

C=--D--

=0,B=-D,2，所以一Dy—2Dz+D=0,即2y+z—2=0,

(⑵:0+0-2：2/

G=---j-------------------------------

y/TTi5.

故選B.

21.【答案】C

【解析】,：A,B兩點的坐標分別是4(1,2,2),B(2,—2,1),/.\AB\=

J(2-1尸+(-2—+(1—=3V2,故選C.

22.【答案】A

【解析】試題分析：點纏關(guān)于密軸對稱的點與點影的橫坐標相同，縱坐標，豎坐標互為

相反數(shù)，所以對稱點為

考點：空間點的坐標

23.【答案】D

【解析】試題分析：由空間向量基本定理得鼠+cK,所以x=l,2y=l,3z=l；.

y=-1,z=1-

)23

11

A%+y+z=—

6

考點：空間向量基本定理

24.【答案】A

【解析】在空間直角坐標系中，兩點關(guān)于平面xoz對稱，豎坐標互為相反數(shù)，點的坐標是

點P(l,2,3)關(guān)于平面xoz對稱的點的坐標是(1,-2,3),選A.

25.【答案】B

【解析】分析：由條件求得易，再根據(jù)鼠=辰-幾求解即可得到結(jié)果.

詳解：由條件得幾=(3,1),

又晶=(-4,-3),

：.BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).

故選B.

點睛：本題考查向量坐標的求法和向量的減法運算，解題時注意向量運算法則的正確運

用，主要考查學生的基本運算能力，屬于容易題.

26.【答案】6

【解析】【解答】解：??,向量3=(1,X,2),b=(2,-1,2),且展_Lb,

/.a-b=2-X+4=0,

解得X=6.

故答案為：6.

利用向量垂直的性質(zhì)能求出實數(shù)X的值.

27.【答案】(-2,1,-2)

【解析】

首先利用共線設(shè)出石的坐標，再利用數(shù)量積為-9的條件求出向量b-

依題意設(shè)b=na=(2n,-n,2n)>所以a-&=4n+n+4n=-9)解得n=-故

b=(-2,1,-2)-

【點睛】

本小題主要考查空間兩個向量共線的表示，考查空間向量數(shù)量積的計算,屬于基礎(chǔ)題.

28.【答案】言

【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，

由tana=7知a為銳角，且sina=部,cosa=京故cos（a+45。）=-|,

4

sin^a+45°）=

：,點B,C的坐標為（-1，?篇，黑），

.?.而=(一|,》辰=(率*.

—>—>—?

又0C=mOA+nOB,

哈黑）=加一然）

5及

m=——

解得8

7日

n=—

8

5\/2,7>/2

?'m+九=3\f2

-8-----8-=--2-

29.【答案】『

4

【解析】以A為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖：設(shè)Q的軌跡與y軸的交點坐標為Q

(0,b,0)(b>0).

由題意可知A(0,0,0),1)(2,0,0),P(0,0,1),

二茄=(-2,0,1),麗=(-2,b,0).(2,0,0).

設(shè)平面APD的法向量為元=(xi，zi),平面PDQ的法向量為6=(X2，y2?z2)

貝.信?DP=0in2-DP=0

%?AD=0\n2,DQ=0

pijf-2%1+Zi=0(-2X2+z2=0

t2%i=0'(一2%2+by2=0，

令yi=0得信=(0,1,0),令Z2=2得R=(1,I，2).

?TT2TTf4

??九1?九2=B，MlI=1，I幾2I=J5+/

???二面角Q-PD-A的平面角大小為9

4

九i.九2

cos<n-n>-=薦即金=￥，解得b=2V5.

x2225

\ni\\n2\二

,S4ADQ="DSQ=1x2x|V5=|V5.

-

S梯形ABCB$△ADQ=1X(1+2)X1—|V5=|—|V5.

VS1<S2,AS1=|-|V5,S2=|V5..,.SI：S2=(375-4)：4.

點睛：本題的關(guān)鍵是找到點Q的軌跡在四邊形ABCD內(nèi)的部分，它就是一條線段DQ,確定

點Q在y軸上的位置，由于本題的背景比較適宜用坐標系和空間向量來解答.

30.【答案】[“岳”]

【解析】【解答】解：將二面角a-1-B平攤開來，即為圖形

當A、M、C在一條直線時AM+CM的最小值，最小值即為對角線AC

而AE=5,EC=1

故AC=V26

故答案為：V26

要求出AM+CM的最小值，可將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題，將二面角展開成平面中在BD上

找一點使AM+CM即可，而當A、M、C在一條直線時AM+CM的最小值，從而求出對角線的長

即可.

31.【答案】["$]

【解析】【解答】A、B、C三點不共線，點M與A、B、C四點共面，

則對平面ABC外一點0,滿足OM=xOA+yOB+[OC,

所以x+y+~1>

所以x+y=1.

故答案為：|.

由四點共面的向量表示的條件是三個向量的系數(shù)和為1,列出方程求出x+y的值。

32.【答案】,1,-4)

【解析】試題分析：在坐標系中關(guān)于坐標軸的對稱問題，例如：關(guān)于x軸對稱橫坐標不

變，其余變?yōu)橄喾磾?shù)，其它坐標軸同理.故本題中的點(-2,1,4)關(guān)于y軸的對稱點的坐標

為：(2,1,-4).

考點：1.空間直角坐標系中點關(guān)于坐標軸的對稱點問題；2.相反數(shù).

33.【答案】一售或曾

【解析】試題分析：由空間兩點間的距離公式可得：懊樹=稠存》后一曙=矍1,解得*為

-瞥或飛。

考點：1.空間兩點間的距離；

34.【答案】-與+

422

【解析】如圖：

0

M

C

A

R

■：MN=ON-OM,ON=^0B-OV)

???MTN=-1(TOB+OTQ--3OTA=-±3Ta+±Lb+±Ic7.

2'74422

35.【答案】母I"1)

【解析】試題分析：設(shè)Q(x,y,z)

A(1,2,3),(2,1,2),P(1,1,2),

則由點Q在直線OP上可得存在實數(shù)人使得防=人用三（入，X,2X）

則Q(入，X,2X)

QA-(1-入，2-A,3-2A),

QB=(2-X,1-X,2-2X)

g魁?(g§=(1-X)(2~X)+(2~A.)(1-X)+(3-2A.)(2~2A.)=2(3A.2-8A.+5)

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當人三時，取得最小值q

注士鯽

此時專明.

考點：本題主要考查向量的坐標運算、向量的數(shù)量積。

點評：根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標運算公式，求出函?醺的表達式，進而將問題轉(zhuǎn)化為

一個二次函數(shù)最值問題，是解答本題的關(guān)鍵.

36.【答案】（I）見解析；（n）日；（m）黑e9|].

【解析】試題分析：第一問取AC中點0,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得P014C,根據(jù)題中所

給的邊長，利用勾股定理求得P0_L0B,利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定

理得到結(jié)果；第二問根據(jù)題中所給的條件建立空間直角坐標系，寫出相應(yīng)的點的坐標，求

得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出結(jié)果；第三問利用向量間的關(guān)系，利用向

量垂直的條件，利用向量的數(shù)量積等于0,得出所求的比值〃與；I的關(guān)系式，利用函數(shù)的有

關(guān)知識求得結(jié)果.

設(shè)4C的中點為0,連接8。，PO.由題意

PA=PB=PC=V2,PO=1,AO=BO=CO=1

因為在APAC中，PA=PC,。為AC的中點

所以POLAC,

因為在4P0B中，PO=1,OB=1,PB=y/2

所以PO1OB

因為力CnOB=。，AC,OBu平面ABC

所以POJL平面ABC

因為P。u平面P4C

所以平面P4C1平面4BC

方法2：

設(shè)4c的中點為。，連接B。，P0.

因為在4P4C中，PA=PC,。為4c的中點

所以P。1AC,

因為PA=PB=PC,PO=PO=PO,AO=BO=CO

所以APOA^4P0B絲APOC

所以Z.POA=Z.POB=Z.POC=90°

所以P。OB

因為4CnOB=。，AC,OBu平面ABC

所以P0_L平面力8c

因為POu平面PAC

所以平面P4C，平面ABC

方法3：

設(shè)AC的中點為。，連接P0,因為在4P4c中，PA=PC,

所以P。_L4C

設(shè)AB的中點Q,連接PQ,OQ及OB.

因為在4048中，0A=08,Q為力B的中點

所以O(shè)Q1AB.

因為在4P4B中，PA=PB,Q為AB的中點

所以PQ1AB.

^^JPQOOQ=Q,PQ,OQc^FffiOPQ

所以48J?平面OPQ

因為OPu平面OPQ

所以。PJ.AB

因為ABn4C=44B,ACu平面48c

所以PO_L平面4BC

因為P。u平面P4C

所以平面PACJ_平面ABC

(II)由PO_L平面ABC,OB1AC,如圖建立空間直角坐標系，則

0(0,0,0),C(l,0,0),B(0,l,0),4(-1,0,0),P(0,0,l)

由。BJ■平面APC,故平面力PC的法向量為防=(0,1,0)

由而=(1,-1,0),PC=(1,0,-1)

設(shè)平面PBC的法向量為/=(x,y,z),則

由卜@=°得:

ln-PC=0b-z=0

令％=1,得y=l,z=l,即n=(1,1,1)

—>n-OB1_V3

cos<n,OB>=

|n|■\0B\Bl3

由二面角A-PC-B是銳二面角，

所以二面角4一PC-B的余弦值為經(jīng)

(III)設(shè)BN=〃BP,0<g<1,則

BM=BC+CM=BC+ACP=(1,-1,0)+A(-1,0,1)=(1-A,-1,A)

AN=AB+BN=AB+而P=(1,1,0)+“(0,—1,1)=(1,1-出〃)

令BM=0

得（i—a）?i+（―1）,（1—〃）+a?〃=o

即〃=士=1一2，U是關(guān)于X的單調(diào)遞增函數(shù)，

1+A1+X

當4時，

所以強［怎

37.【答案】（I）證明見解析；（II）-4.

4

【解析】試題分析：（1）證明郵1,面可函，則BDu面BB1DW，從而面40C，

面BBiDiD；

（2）建立空間直角坐標系，利用面BOB「面OB】C的法向量/，裝夾角的余弦值可得二面角

B-OB1一C的余弦值。

試題解析：（I）證明：因為4。1平面4BCD,BDu平面力BCD,所以a01BD.