2024屆吉林省農(nóng)安縣三崗中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題含解析

2024屆吉林省農(nóng)安縣三崗中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足為D點(diǎn)，AE平分∠BAC，交BD于點(diǎn)F交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，連接DG，交AE于點(diǎn)H，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF2．如圖，在長方形中，點(diǎn)，點(diǎn)分別為和上任意一點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，是的平分線，若，則的度數(shù)是()A． B． C． D．3．下列計(jì)算正確的是（）A．+= B．=4 C．3﹣=3 D．=4．已知等腰三角形兩邊長分別為6cm、2cm，則這個(gè)三角形的周長是（）A．14cm B．10cm C．14cm或10cm D．12cm5．把一副三角板按如圖疊放在一起，則的度數(shù)是A． B． C． D．6．下列二次根式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．以上都不是7．下列四個(gè)命題中，真命題有兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；如果和是對(duì)頂角，那么；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角；若，則．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．估計(jì)4﹣的值為（）A．0到1之間 B．1到2之間 C．2到3之間 D．3到4之間9．如圖，等腰三角形ABC底邊BC的長為4cm，面積為12cm2，腰AB的垂直平分線EF交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若D為BC邊上的中點(diǎn)，M為線段EF上一點(diǎn)，則△BDM的周長最小值為()A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm10．我們根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，得出了一種新的運(yùn)算，如表是兩種運(yùn)算對(duì)應(yīng)關(guān)系的一組實(shí)例：指數(shù)運(yùn)算21=222=423=8…31=332=933=27…新運(yùn)算log22=1log24=2log28=3…log33=1log39=2log327=3…根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫出了三個(gè)式子：①log216=4，②log525=5，③log2=﹣1．其中正確的是A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題(每小題3分,共24分)11．若，則的值為_____．12．有兩個(gè)正方形，現(xiàn)將放在的內(nèi)部得圖甲，將并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12，則正方形的邊長之和為________．13．因式分解：=____．14．若分式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.15．已知:實(shí)數(shù)m,n滿足:m+n=3,mn=2.則(1+m)(1+n)的值等于____________．16．如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm；，BE平分∠ABC，交AD于點(diǎn)E，交CD延長線于點(diǎn)F，則DE+DF的長度為_________.17．比較大?。?1______（填“＞”、“=”或“＜”）．18．81的平方根是__________；的立方根是__________．三、解答題(共66分)19．（10分）（1）問題原型：如圖①，在銳角中，于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連結(jié)．求證：．（2）問題拓展：如圖②，在問題原型的條件下，為的中點(diǎn)，連結(jié)并延長至點(diǎn)，使，連結(jié)．判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．20．（6分）在中，，點(diǎn)在邊上，且是射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合，且)，在射線上截取，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，①若點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)說明線段；②如圖2，若點(diǎn)不與點(diǎn)重合，請(qǐng)說明；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)果，不需要證明)．21．（6分）已知，，求下列代數(shù)式的值．（1）（2）22．（8分）某天，小明來到體育館看球賽，進(jìn)場時(shí)，發(fā)現(xiàn)門票還在家里，此時(shí)離比賽開始還有25分鐘，于是立即步行回家取票.同時(shí)，他父親從家里出發(fā)騎自行車以他3倍的速度給他送票，兩人在途中相遇，相遇后小明立即坐父親的自行車趕回體育館.下圖中線段、分別表示父、子倆送票、取票過程中，離體育館的路程（米）與所用時(shí)間（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合圖象解答下列問題（假設(shè)騎自行車和步行的速度始終保持不變）：（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和所在直線的函數(shù)關(guān)系式（2）小明能否在比賽開始前到達(dá)體育館23．（8分）如圖，直線分別與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)（1）求k的值；（2）過線段AB上一點(diǎn)P(不與端點(diǎn)重合)作x軸，y軸的垂線，乖足分別為M，N.當(dāng)長方形PMON的周長是10時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).24．（8分）先化簡，再求值：，其中，25．（10分）某商場第一次用元購進(jìn)某款機(jī)器人進(jìn)行銷售，很快銷售一空，商家又用元第二次購進(jìn)同款機(jī)器人，所購進(jìn)數(shù)量是第一次的倍，但單價(jià)貴了元．（1）求該商家第一次購進(jìn)機(jī)器人多少個(gè)？（2）若所有機(jī)器人都按相同的標(biāo)價(jià)銷售，要求全部銷售完畢的利潤率不低于不考慮其他因素，那么每個(gè)機(jī)器人的標(biāo)價(jià)至少是多少元？26．（10分）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是AC邊上動(dòng)點(diǎn)，∠CBD＝α，把△ABD沿BD對(duì)折，A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'．（1）①當(dāng)α＝15°時(shí)，∠CBA'＝；②用α表示∠CBA'為．（2）如圖2，點(diǎn)P在BD延長線上，且∠1＝∠2＝α．①當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，試探究AP，BP，CP之間是否存在一定數(shù)量關(guān)系，猜想并說明理由．②BP＝8，CP＝n，則CA'＝．（用含n的式子表示）

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】通過證明△ADF≌△BDC，可得AF＝BC＝2CE，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AG＝BG，DG⊥AB，由余角的性質(zhì)可得∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，可得DH＝DF，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AH＝BH，可求∠EHB＝∠EBH＝45°，可得HE＝BE，即可求解．【題目詳解】解：∵∠BAC＝45°，BD⊥AC，∴∠CAB＝∠ABD＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴CE＝BE＝BC，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，AE⊥BC，∴∠C+∠CAE＝90°，且∠C+∠DBC＝90°，∴∠CAE＝∠DBC，且AD＝BD，∠ADF＝∠BDC＝90°，∴△ADF≌△BDC（AAS）∴AF＝BC＝2CE，故選項(xiàng)C不符合題意，∵點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AD＝BD，∠ADB＝90°，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，∴AG＝BG，DG⊥AB，∠AFD＝67.5°∴∠AHG＝67.5°，∴∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，∴DH＝DF，故選項(xiàng)D不符合題意，連接BH，∵AG＝BG，DG⊥AB，∴AH＝BH，∴∠HAB＝∠HBA＝22.5°，∴∠EHB＝45°，且AE⊥BC，∴∠EHB＝∠EBH＝45°，∴HE＝BE，故選項(xiàng)B不符合題意，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形全等的性質(zhì)與判定,等腰直角三角形的性質(zhì),關(guān)鍵在于熟練掌握基本知識(shí)點(diǎn),靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn).2、B【分析】根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得∠MEF的度數(shù)，再由是的平分線，可算出∠MEN的度數(shù).【題目詳解】解：由題意可得：∠B=90°，∵∠BFE=60°，∴∠BEF=30°，∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴∠BEF=∠MEF=30°，∴∠MEC=180-30°×2=120°，又∵是的平分線，∴∠MEN=120÷2=60°.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，根據(jù)已知角利用三角形內(nèi)角和、角平分線的性質(zhì)計(jì)算相關(guān)角度即可，難度不大.3、D【解題分析】解：A．與不能合并，所以A錯(cuò)誤；B．，所以B錯(cuò)誤；C．，所以C錯(cuò)誤；D．，所以D正確．故選D．4、A【解題分析】由等腰三角形的兩邊長分別為6cm和2cm，分別從若2cm為腰長，6cm為底邊長與若2cm為底邊長，6cm為腰長去分析求解即可求得答案．【題目詳解】若2cm為腰長，6cm為底邊長，∵2+2=4＜6，不能組成三角形，∴不合題意，舍去；若2cm為底邊長，6cm為腰長，則此三角形的周長為：2+6+6=14cm．故選A．【題目點(diǎn)撥】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的三邊關(guān)系．此題比較簡單，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用．5、A【分析】先根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠1，同理再求出∠α即可【題目詳解】解：如圖，∠1=∠D+∠C=45°+90°=135°，

∠α=∠1+∠B=135°+30°=165°．

故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6、C【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：A.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.是最簡二次根式，故此選項(xiàng)正確．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查最簡二次根式，掌握最簡二次根式的定義是解答此題的關(guān)鍵．7、A【解題分析】兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，故①是假命題；如果∠1和∠2是對(duì)頂角，那么∠1=∠2，②是真命題；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角，③是假命題；若a2=b2，則a=±b，④是假命題，故選A．8、A【分析】首先確定的取值范圍，進(jìn)而利用不等式的性質(zhì)可得﹣的范圍，再確定4﹣的值即可．【題目詳解】解：∵＜，∴3＜＜4，∴﹣4＜﹣＜﹣3，∴0＜4﹣＜1，故選：A．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，注意首先估算被開方數(shù)在哪兩個(gè)相鄰的平方數(shù)之間，再估算該無理數(shù)在哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間．9、C【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【題目詳解】如圖，連接AD．∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm）．∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長為BM+MD的最小值，∴△BDM的周長最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．10、B【解題分析】，故①正確；，故②不正確；，故③正確；故選B.二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【分析】把所求多項(xiàng)式進(jìn)行變形，代入已知條件，即可得出答案．【題目詳解】∵，∴；故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了因式分解的應(yīng)用；把所求多項(xiàng)式進(jìn)行靈活變形是解題的關(guān)鍵．12、1【分析】設(shè)正方形A，B的邊長分別為a，b，根據(jù)圖形構(gòu)建方程組即可解決問題．【題目詳解】解：設(shè)正方形A，B的邊長分別為a，b．由圖甲得：，由圖乙得：，化簡得，∴，∵a+b>0，∴a+b=1，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查完全平方公式，正方形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題，屬于中考?？碱}型．13、【分析】根據(jù)平方差公式：因式分解即可．【題目詳解】解：==故答案為：．【題目點(diǎn)撥】此題考查的是因式分解，掌握利用平方差公式因式分解是解決此題的關(guān)鍵．14、【分析】根據(jù)分式有意義的條件，即可求出x的取值范圍.【題目詳解】解：∵分式有意義，∴，∴；故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分時(shí)有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式有意義的條件，即分母不等于0.15、1【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則展開，再代入計(jì)算即可．【題目詳解】∵m+n=3，mn=2，∴(1+m)(1+n)=1+n+m+mn=1+3+2=1．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則是解答本題的關(guān)鍵．注意不要漏項(xiàng)，漏字母，有同類項(xiàng)的合并同類項(xiàng)．16、4【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，進(jìn)而得出∠AEB=∠CBF，再利用角平分線的性質(zhì)得出∠ABF=∠CBF，進(jìn)而得出∠AEB=∠ABF，即可得出AB=AE，同理可得：BC=CF，即可得出答案．【題目詳解】∵平行四邊形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠AEB=∠CBF，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF，

∴∠AEB=∠ABF，

∴AB=AE，

同理可得：BC=CF，

∵AB=3cm，BC=5cm，

∴AE=3cm．CF=5cm，

∴DE=5-3=2cm，DF=5-3=2cm，

∴DE+DF=2+2=4cm，

故答案為：4cm．【題目點(diǎn)撥】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，得出AB=AE，BC=CF是解題關(guān)鍵．17、＜【解題分析】首先求出-1的值是多少；然后根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較的方法判斷即可．【題目詳解】解：-1=2-1=1，∵1＜，∴-1＜．故答案為：＜．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)＞0＞負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而?。?8、±9【分析】根據(jù)平方根及立方根的定義即可求出答案．【題目詳解】根據(jù)平方根的定義可知81的平方根是±9，的立方根是．故答案為：±9，．【題目點(diǎn)撥】本題考查了平方根及立方根的知識(shí)，難度不大，主要是掌握平方根及立方根的定義．三、解答題(共66分)19、（1）證明見解析；（2），證明見解析【分析】（1）通過證明，從而證明，得證．（2）根據(jù)為的中點(diǎn)得出，再證明，求得，結(jié)合（1）所證，可得．【題目詳解】（1）∵∴∵∴∴∴在△BDE和△ADC中∴∴（2），理由如下∵為的中點(diǎn)∴在△BEF和△CMF中∴∴由（1）得∴【題目點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)以及判定，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．20、（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）BF＝AE-CD【分析】（1）①根據(jù)等邊對(duì)等角，求到，再由含有60°角的等腰三角形是等邊三角形得到是等邊三角形，之后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)A做AG∥EF交BC于點(diǎn)G，由△DEF為等邊三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，根據(jù)線段的和差即可整理出結(jié)論；（2）根據(jù)題意畫出圖形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由線段的和差和等量代換即可得到結(jié)論．【題目詳解】（1）①證明：，且E與A重合，是等邊三角形在和中②如圖2，過點(diǎn)A做AG∥EF交BC于點(diǎn)G，∵∠ADB＝60°DE＝DF∴△DEF為等邊三角形∵AG∥EF∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°∴∠DAG＝∠AGD∴DA＝DG∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF由①易證△AGB≌△ADC∴BG＝CD∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE（2）如圖3，和（1）中②相同，過點(diǎn)A做AG∥EF交BC于點(diǎn)G，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，故．【題目點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21、（1）9；（2）80【分析】（1）按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算后代入即可求得答案；

（2）首先提取公因式xy，然后利用完全平方公式因式分解后代入即可求得答案．【題目詳解】解：（1）原式=xy+2（x-y）-4=5+8-4=9；

（2）原式=xy（x2-2xy+y2）=xy（x-y）2=5×16=80；【題目點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式及因式分解的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是對(duì)算式進(jìn)行變形，難度不大．22、(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（15，900），直線AB的函數(shù)關(guān)系式為：．（2）小明能在比賽開始前到達(dá)體育館.【分析】（1）從圖象可以看出：父子倆從出發(fā)到相遇時(shí)花費(fèi)了15分鐘，設(shè)小明步行的速度為x米/分，則小明父親騎車的速度為3x米/分，則路程和為1，即可列出方程求出小明的速度，再根據(jù)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；（2）直接利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出小明的父親從出發(fā)到體育館花費(fèi)的時(shí)間，經(jīng)過比較即可得出是否能趕上.【題目詳解】（1）從圖象可以看出：父子倆從出發(fā)到相遇時(shí)花費(fèi)了15分鐘設(shè)小明步行的速度為x米/分，則小明父親騎車的速度為3x米/分依題意得：15x+45x=1．解得：x=2．所以兩人相遇處離體育館的距離為2×15=900米．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（15，900）．設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為s=kt+b（k≠0）．由題意，直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）、B（15，900）得：解之，得∴直線AB的函數(shù)關(guān)系式為：．（2）在中，令S=0，得．解得：t=3．即小明的父親從出發(fā)到體育館花費(fèi)的時(shí)間為3分鐘，因而小明取票的時(shí)間也為3分鐘．∵3<25，∴小明能在比賽開始前到達(dá)體育館．23、（1）k=﹣2；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）.【解題分析】試題分析：（1）因?yàn)橹本€分別與軸，軸相交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為即直線經(jīng)過所以解之即可；

（2）因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，點(diǎn)P在直線上，設(shè)則而由此即可得到關(guān)于的方程，解方程即可求得．試題解析：(1)∵直線y=kx+8經(jīng)過A(4,0)，∴0=4k+8，∴k=?2.(2)∵點(diǎn)P在直線y=?2x+8上,設(shè)P(t,?2t+8)，∴PN=t，PM=?2t+8，∵四邊形PNOM是矩形，解得∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為24、；16.【分析】首先利用整式的乘法法則和平方差公式打開小括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)，最后利用整式的除法法則計(jì)算即可求解．【題目詳解】原式＝＝當(dāng)，時(shí)，∴原式=12+4=16【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值，解題的關(guān)鍵是利用整式的混合運(yùn)算法則，同時(shí)也注意利用乘法公式簡化計(jì)算．25、（1）該商家第一次購進(jìn)機(jī)器人1個(gè)；（2）每個(gè)機(jī)器人的標(biāo)價(jià)至少是140元．【分析】（1）設(shè)該商家第一次購進(jìn)機(jī)器人個(gè)，根據(jù)“所購進(jìn)數(shù)量是第一次的倍，但單價(jià)貴了元”列出分式方程解答即可；（2）設(shè)每個(gè)機(jī)器人的標(biāo)價(jià)是元，根據(jù)“全部銷售完畢的利潤率不低于”列出不等式解答即可．【題目詳解】解：（1）設(shè)該商家第一次購進(jìn)機(jī)器人個(gè)，依題意得：+10=解得=1．經(jīng)檢驗(yàn)=1是原方程的解．答：該商家第一次購進(jìn)機(jī)器人1個(gè)．（2）設(shè)每個(gè)機(jī)器人的標(biāo)價(jià)是元．則依題意得：解得．答：每個(gè)機(jī)器人的標(biāo)價(jià)至少是140元．【題目點(diǎn)撥】本題考查了分式方程與實(shí)際問題，不等式與實(shí)際問題相結(jié)合，解題的關(guān)鍵是找出題中等量關(guān)系，列出方程或不等式解答．26、（1）①30°；②60°﹣2α；（2）①BP＝AP+CP，理由見解析；②8﹣2n【分析】（1）先求出∠ABC＝60°，得出∠ABD＝60°﹣α，再由折疊得出∠A'BD＝60°﹣α，即可得出結(jié)論；（2）①先判斷出△BP'C≌△APC，得出CP'＝CP，∠BCP'＝∠ACP，再判斷出△CPP'是等邊三角形，得出PP'＝CP；②先求出∠BCP＝120°﹣α，再求出∠BCA'＝60°+α，判斷出點(diǎn)A'，C，P在同一條直線上，即：PA